Raisonnement par récurrence · Limites de suites, formes indéterminées, comparaison, convergence monotone
En première, on a appris à calculer les termes d'une suite et à reconnaître sa nature. En terminale, deux questions nouvelles se posent : comment prouver qu'une formule est vraie pour tous les entiers, et que devient $u_n$ lorsque $n$ devient très grand ? La première question se traite par le raisonnement par récurrence, une démonstration en deux temps qui fonctionne comme une chaîne de dominos. La seconde est la question de la limite : la suite se rapproche-t-elle d'un nombre, s'envole-t-elle vers l'infini, ou n'a-t-elle aucune limite ? La difficulté principale est de rédiger la récurrence sans oublier d'étape, et de ne pas conclure trop vite face à une forme indéterminée.
On veut prouver qu'une propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier $n \geqslant n_0$. Le principe de récurrence dit qu'il suffit de vérifier deux choses :
Initialisation :
$P(n_0)$ est vraie (le premier domino tombe).
Hérédité :
pour un entier $n \geqslant n_0$ fixé, si $P(n)$ est vraie, alors $P(n+1)$ est vraie (chaque domino renverse le suivant).
On conclut alors que $P(n)$ est vraie pour tout $n \geqslant n_0$. Les deux étapes sont indispensables : sans initialisation, aucun domino ne tombe ; sans hérédité, la chute s'arrête.
Méthode : rédiger une récurrence
Énoncer clairement la propriété $P(n)$ (une égalité, une inégalité, une divisibilité).
Initialisation : vérifier $P(n_0)$ par un calcul explicite.
Hérédité : écrire « Soit $n \geqslant n_0$. Supposons $P(n)$ vraie » (hypothèse de récurrence), puis utiliser cette hypothèse pour établir $P(n+1)$.
Conclusion : « $P(n)$ est vraie pour tout $n \geqslant n_0$ ».
La suite $(u_n)$ est définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = 2u_n - 1$. Montrons que pour tout $n$, $u_n = 2^n + 1$.
Conclusion. Pour tout entier $n \geqslant 0$, $u_n = 2^n + 1$.
Exercice 1 — Rédiger une récurrence, étape par étape (Tle)
La suite $(u_n)$ est définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = 2u_n + 1$. On veut montrer que pour tout entier $n$, $u_n = 3 \times 2^n - 1$. Compléter la démonstration.
Initialisation. $3 \times 2^{…} - 1 = …$ et $u_0 = …$ : la propriété est vraie au rang $0$.
qui est la formule au rang $n+1$. Conclusion : vraie pour tout $n \geqslant 1$.
Initialisation. $4^0 - 1 = 0 = 3 \times 0$ : multiple de $3$.
Hérédité. Soit $n \geqslant 0$. Supposons $4^n - 1 = 3k$ avec $k$ entier. Alors $4^{n+1} - 1 = 4 \times 4^n - 1 = 4(3k + 1) - 1 = 12k + 3 = 3(4k + 1)$, multiple de $3$. Conclusion : $4^n - 1$ est un multiple de $3$ pour tout $n \geqslant 0$.
Initialisation. $u_0 = 1$ et $0 \leqslant 1 \leqslant 3$. Vraie.
Hérédité. Soit $n \geqslant 0$. Supposons $0 \leqslant u_n \leqslant 3$. Alors $6 \leqslant u_n + 6 \leqslant 9$, et comme la fonction racine carrée est croissante, $\sqrt{6} \leqslant \sqrt{u_n + 6} \leqslant 3$, donc $0 \leqslant u_{n+1} \leqslant 3$. Conclusion : pour tout $n$, $0 \leqslant u_n \leqslant 3$.
Limite d'une suite (Tle)
Suite convergente :
$(u_n)$ converge vers le réel $\ell$ si $u_n$ se rapproche de $\ell$ autant qu'on veut lorsque $n$ grandit : tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les $u_n$ à partir d'un certain rang. On note $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \ell$.
Suite divergente vers $+\infty$ :
$u_n$ dépasse n'importe quel nombre $A$ à partir d'un certain rang. On note $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ (de même vers $-\infty$).
Pas de limite :
certaines suites ne convergent pas et ne tendent pas vers l'infini, comme $u_n = (-1)^n$, qui alterne entre $-1$ et $1$.
Pour une suite géométrique $u_n = u_0 \times q^n$, tout dépend donc de la raison $q$ : si $-1 < q < 1$, elle converge vers $0$ ; si $q > 1$ et $u_0 > 0$, elle tend vers $+\infty$.
Exercice 3 — Limites de référence et suites géométriques (Tle)
Donner la limite de chaque suite, en justifiant par une limite de référence.
a) $u_n = 5 + \dfrac{1}{n}$
b) $v_n = 3n^2 - 7$
c) $w_n = 0{,}8^n$
d) $x_n = 2 \times 1{,}05^n$
e) $y_n = 1 - \dfrac{3}{n^2}$
f) $z_n = (-2)^n$
Un capital de $2000$ € est placé à $4\,\%$ par an : $C_n = 2000 \times 1{,}04^n$. Donner la limite de $(C_n)$ et l'interpréter.
Un médicament s'élimine de $25\,\%$ par heure : $m_n = 200 \times 0{,}75^n$ (en mg). Donner la limite de $(m_n)$ et l'interpréter.
▶ Solution — Exercice 3
$\dfrac{1}{n} \to 0$, donc $u_n \to 5$.
$n^2 \to +\infty$, donc $3n^2 \to +\infty$ et $v_n \to +\infty$.
$-1 < 0{,}8 < 1$, donc $w_n = 0{,}8^n \to 0$.
$1{,}05 > 1$, donc $1{,}05^n \to +\infty$ et $x_n \to +\infty$.
$\dfrac{3}{n^2} \to 0$, donc $y_n \to 1$.
$-2 \leqslant -1$ : la suite $(-2)^n$ alterne entre des valeurs positives et négatives de plus en plus grandes en valeur absolue, elle n'a pas de limite.
$1{,}04 > 1$, donc $1{,}04^n \to +\infty$ et $C_n \to +\infty$ : le capital dépasse n'importe quelle somme si l'on attend assez longtemps (sans limite théorique).
$0 < 0{,}75 < 1$, donc $0{,}75^n \to 0$ et $m_n \to 0$ : la quantité de médicament dans l'organisme tend vers zéro, sans jamais l'atteindre exactement.
Opérations sur les limites (Tle)
Si $u_n \to \ell$ et $v_n \to \ell'$ (réels), alors $u_n + v_n \to \ell + \ell'$, $u_n v_n \to \ell \ell'$ et, si $\ell' \neq 0$, $\dfrac{u_n}{v_n} \to \dfrac{\ell}{\ell'}$. Avec des limites infinies, les règles sont celles du bon sens ($\ell + \infty = \infty$, $\ell \times (+\infty) = \pm\infty$ selon le signe de $\ell \neq 0$, $\dfrac{\ell}{\pm\infty} = 0$), sauf dans quatre cas où l'on ne peut pas conclure directement, les formes indéterminées : $$\text{«~}+\infty - \infty\text{~»}, \qquad \text{«~}0 \times \infty\text{~»}, \qquad \text{«~}\dfrac{\infty}{\infty}\text{~»}, \qquad \text{«~}\dfrac{0}{0}\text{~»}.$$
Méthode : lever une forme indéterminée
Repérer le terme dominant (la plus grande puissance de $n$, ou la plus grande base pour des puissances).
Le mettre en facteur au numérateur et au dénominateur.
Les autres termes tendent alors vers $0$ et la limite se lit directement.
A. $u_n = n^2 - 4n$ est de la forme « $+\infty - \infty$ ». On factorise : $u_n = n^2\left(1 - \dfrac{4}{n}\right)$. Or $n^2 \to +\infty$ et $1 - \dfrac{4}{n} \to 1$, donc $u_n \to +\infty$.
B. $v_n = \dfrac{3n + 2}{n - 1}$ est de la forme « $\dfrac{\infty}{\infty}$ ». On factorise par $n$ : $v_n = \dfrac{n\left(3 + \frac{2}{n}\right)}{n\left(1 - \frac{1}{n}\right)} = \dfrac{3 + \frac{2}{n}}{1 - \frac{1}{n}} \to \dfrac{3}{1} = 3$.
Exercice 4 — Lever une forme indéterminée, étape par étape (Tle)
Déterminer la limite de $w_n = \dfrac{5 \times 2^n + 1}{2^n}$.
Déterminer la limite de $x_n = n - \sqrt{n}$. Indication : $n = \sqrt{n} \times \sqrt{n}$.
▶ Solution — Exercice 4
$u_n = n^2\left(3 - \dfrac{5}{n} + \dfrac{1}{n^2}\right)$. Or $n^2 \to +\infty$ et $3 - \dfrac{5}{n} + \dfrac{1}{n^2} \to 3$, donc $u_n \to +\infty$ (produit d'une suite tendant vers $+\infty$ par une suite tendant vers $3 > 0$).
$x_n = \sqrt{n}\left(\sqrt{n} - 1\right)$. Or $\sqrt{n} \to +\infty$ et $\sqrt{n} - 1 \to +\infty$, donc $x_n \to +\infty$. La forme « $+\infty - \infty$ » est levée par la factorisation.
Théorèmes de comparaison (Tle)
On suppose les inégalités vraies à partir d'un certain rang.
Comparaison :
si $u_n \leqslant v_n$ et $u_n \to +\infty$, alors $v_n \to +\infty$. Si $u_n \leqslant v_n$ et $v_n \to -\infty$, alors $u_n \to -\infty$.
Encadrement (gendarmes) :
si $u_n \leqslant v_n \leqslant w_n$ et si $u_n$ et $w_n$ tendent vers le même réel $\ell$, alors $v_n \to \ell$.
Ces théorèmes servent dès qu'une suite contient un terme borné mais sans limite, comme $(-1)^n$, $\cos(n)$ ou $\sin(n)$.
Soit $u_n = \dfrac{(-1)^n}{n}$ pour $n \geqslant 1$. Comme $-1 \leqslant (-1)^n \leqslant 1$, on a $-\dfrac{1}{n} \leqslant u_n \leqslant \dfrac{1}{n}$. Or $-\dfrac{1}{n} \to 0$ et $\dfrac{1}{n} \to 0$ : d'après le théorème des gendarmes, $u_n \to 0$.
Exercice 5 — Encadrer pour conclure (Tle)
Déterminer la limite de chaque suite ($n \geqslant 1$) à l'aide d'un théorème de comparaison.
$u_n = 2 + \dfrac{\sin(n)}{n}$
$v_n = n + \cos(n)$
$w_n = \dfrac{3 + (-1)^n}{n^2}$
▶ Solution — Exercice 5
$-1 \leqslant \sin(n) \leqslant 1$, donc $2 - \dfrac{1}{n} \leqslant u_n \leqslant 2 + \dfrac{1}{n}$. Les deux suites encadrantes tendent vers $2$ : par le théorème des gendarmes, $u_n \to 2$.
$\cos(n) \geqslant -1$, donc $v_n \geqslant n - 1$. Or $n - 1 \to +\infty$ : par comparaison, $v_n \to +\infty$.
$-1 \leqslant (-1)^n \leqslant 1$, donc $2 \leqslant 3 + (-1)^n \leqslant 4$ et $\dfrac{2}{n^2} \leqslant w_n \leqslant \dfrac{4}{n^2}$. Les deux bornes tendent vers $0$ : $w_n \to 0$.
Suites monotones et convergence (Tle)
Majorée, minorée :
$(u_n)$ est majorée par $M$ si $u_n \leqslant M$ pour tout $n$ ; minorée par $m$ si $u_n \geqslant m$ pour tout $n$.
Théorème de convergence monotone :
une suite croissante et majorée converge ; une suite décroissante et minorée converge. (Le théorème donne l'existence de la limite, pas sa valeur.)
Croissante non majorée :
une suite croissante qui n'est pas majorée tend vers $+\infty$.
Limite d'une suite récurrente :
si $u_{n+1} = f(u_n)$ avec $f$ continue et si $u_n \to \ell$, alors $\ell$ vérifie $f(\ell) = \ell$. On trouve la limite en résolvant cette équation.
Méthode : étudier une suite $u_{n+1} = f(u_n)$
Montrer par récurrence un encadrement de $u_n$ (souvent $a \leqslant u_n \leqslant b$).
Montrer que la suite est monotone (signe de $u_{n+1} - u_n$, en utilisant l'encadrement).
Conclure à la convergence par le théorème de convergence monotone.
Déterminer la limite en résolvant $f(\ell) = \ell$ et en retenant la solution compatible avec l'encadrement.
Exercice 6 — Problème en contexte : une suite récurrente (Tle)
On reprend la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6}$. On a montré à l'exercice 2 que $0 \leqslant u_n \leqslant 3$ pour tout $n$.
Calculer $u_1$ et $u_2$ (arrondir au millième). Que conjecture-t-on sur le sens de variation ?
Montrer que $u_{n+1} - u_n \geqslant 0$ équivaut à $(u_n - 3)(u_n + 2) \leqslant 0$. En déduire que $(u_n)$ est croissante.
Justifier que $(u_n)$ converge.
Déterminer sa limite $\ell$.
▶ Solution — Exercice 6
$u_1 = \sqrt{7} \approx 2{,}646$ et $u_2 = \sqrt{\sqrt{7} + 6} \approx \sqrt{8{,}646} \approx 2{,}941$. La suite semble croissante et se rapprocher de $3$.
Comme $u_n \geqslant 0$ et $\sqrt{u_n + 6} \geqslant 0$, on a $\sqrt{u_n + 6} \geqslant u_n \iff u_n + 6 \geqslant u_n^2 \iff u_n^2 - u_n - 6 \leqslant 0$ (on élève au carré deux nombres positifs, ce qui conserve l'ordre). Le trinôme $x^2 - x - 6$ a pour racines $3$ et $-2$, donc $u_n^2 - u_n - 6 = (u_n - 3)(u_n + 2)$. Or $0 \leqslant u_n \leqslant 3$ donne $u_n - 3 \leqslant 0$ et $u_n + 2 > 0$ : le produit est négatif ou nul. Donc $u_{n+1} \geqslant u_n$ pour tout $n$ : la suite est croissante.
$(u_n)$ est croissante et majorée par $3$ : d'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers un réel $\ell$, avec $0 \leqslant \ell \leqslant 3$.
La fonction $f(x) = \sqrt{x + 6}$ est continue sur $[0 \,;\, 3]$, donc $\ell$ vérifie $\ell = \sqrt{\ell + 6}$, soit $\ell^2 - \ell - 6 = 0$, d'où $\ell = 3$ ou $\ell = -2$. Comme $\ell \geqslant 0$, $\ell = 3$ : $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 3$.
Exercice 7 — Problème en contexte : atteindre un seuil (Tle)
Un patient prend $200$ mg d'un médicament ; chaque heure, l'organisme élimine $25\,\%$ de la quantité présente. On note $m_n$ la quantité, en mg, après $n$ heures : $m_n = 200 \times 0{,}75^n$.
Justifier que $(m_n)$ est décroissante et donner sa limite.
Le médicament est considéré comme éliminé lorsque $m_n < 1$ mg. Compléter le tableau ci-dessous (arrondir au centième) et déterminer le premier rang $n$ pour lequel $m_n < 1$.
$n$
$16$
$17$
$18$
$19$
$m_n$
…
…
…
…
Décrire un algorithme (en français ou en Python) qui calcule ce rang à partir de $m_0 = 200$.
▶ Solution — Exercice 7
$m_{n+1} = 0{,}75\,m_n < m_n$ car $m_n > 0$ : la suite est décroissante. Comme $0 < 0{,}75 < 1$, $0{,}75^n \to 0$ et $m_n \to 0$.
$m_{16} = 200 \times 0{,}75^{16} \approx 2{,}00$ ; $m_{17} \approx 1{,}50$ ; $m_{18} \approx 1{,}13$ ; $m_{19} \approx 0{,}85$. Le premier rang pour lequel $m_n < 1$ est $n = 19$ : le médicament est éliminé au bout de $19$ heures.
On part de $n = 0$ et $m = 200$. Tant que $m \geqslant 1$ : on remplace $m$ par $0{,}75\,m$ et on ajoute $1$ à $n$. À la sortie de la boucle, $n$ est le rang cherché. En Python : n = 0 ; m = 200 ; while m >= 1: m = 0.75 * m ; n = n + 1 ; puis afficher n, qui vaut $19$.
Erreurs classiques à éviter
Erreur
Exemple faux
Correction
Oublier l'initialisation
« l'hérédité est vraie, donc c'est démontré »
vérifier $P(n_0)$ : sans premier domino, rien ne tombe
Supposer $P(n)$ « pour tout $n$ » dans l'hérédité
« supposons $P(n)$ vraie pour tout $n$ »
« soit $n$ fixé, supposons $P(n)$ vraie » : on suppose un seul rang
Conclure sur une forme indéterminée
$n^2 - n \to 0$ car « $\infty - \infty = 0$ »
factoriser : $n^2(1 - \frac{1}{n}) \to +\infty$
Croire que croissante suffit
« $(u_n)$ croissante donc $u_n \to +\infty$ »
croissante et non majorée ; si elle est majorée, elle converge
Oublier le cas $q \leqslant -1$
$(-2)^n \to +\infty$
$(-2)^n$ n'a pas de limite (signe alterné)
Exercice 8 — QCM (Tle)
Pour chaque question, une seule réponse est correcte.
La limite de la suite $u_n = 0{,}3^n$ est :
A. $+\infty$
B. $0{,}3$
C. $0$
D. elle n'existe pas
La limite de la suite $v_n = \dfrac{2n^2 + 1}{n^2 - 3}$ est :
A. $2$
B. $+\infty$
C. $0$
D. $-\dfrac{1}{3}$
Dans une démonstration par récurrence, l'hérédité consiste à :
A. vérifier que $P(0)$ est vraie
B. supposer $P(n)$ vraie pour tout entier $n$
C. calculer $u_{n+1}$ à partir de $u_n$
D. montrer que, pour un $n$ fixé, $P(n)$ vraie entraîne $P(n+1)$ vraie
Une suite croissante et majorée par $5$ :
A. tend vers $5$
B. converge vers un réel $\ell \leqslant 5$
C. tend vers $+\infty$
D. n'a pas de limite
▶ Solution — Exercice 8
Réponse C. $-1 < 0{,}3 < 1$, donc $0{,}3^n \to 0$.
A : c'est le cas $q > 1$.
B : la limite n'est pas la raison ; $0{,}3^n$ vaut $0{,}3$ seulement pour $n = 1$.
D : la suite est géométrique de raison positive inférieure à $1$, elle converge.
B : forme « $\frac{\infty}{\infty}$ » conclue trop vite ; les termes dominants se compensent.
C : confusion avec le cas où le dénominateur l'emporte.
D : quotient des termes constants, sans signification pour la limite.
Réponse D. L'hérédité est une implication : de $P(n)$ (pour un rang fixé) on déduit $P(n+1)$.
A : c'est l'initialisation.
B : supposer $P(n)$ pour tout $n$ revient à supposer ce qu'on veut démontrer.
C : calculer $u_{n+1}$ n'est qu'un outil éventuel, pas le principe.
Réponse B. Théorème de convergence monotone : elle converge, et sa limite est inférieure ou égale au majorant.
A : le majorant n'est pas forcément la limite ($u_n = 1 - \frac{1}{n}$ est majorée par $5$ et converge vers $1$).
C : impossible, elle est majorée.
D : une suite croissante majorée a toujours une limite.
Exercice 9 — Vrai ou faux ?
Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse et justifier :
Si $u_n \to 0$, alors $u_n = 0$ à partir d'un certain rang.
Toute suite croissante tend vers $+\infty$.
Pour tout réel $q$ tel que $-1 < q < 1$, $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n = 0$.
Si $0 \leqslant u_n \leqslant v_n$ pour tout $n$ et $v_n \to 0$, alors $u_n \to 0$.
L'hérédité seule suffit à prouver qu'une propriété est vraie pour tout $n$.
La suite $u_n = (-1)^n$ n'a pas de limite.
Si $u_n \to +\infty$ et $v_n \to -\infty$, alors $u_n + v_n \to 0$.
Si $u_{n+1} = f(u_n)$ avec $f$ continue et $u_n \to \ell$, alors $f(\ell) = \ell$.
▶ Solution — Exercice 9
Faux. $u_n = \dfrac{1}{n}$ tend vers $0$ sans jamais valoir $0$. Converger vers $\ell$, c'est s'en rapprocher autant qu'on veut, pas l'atteindre.
Faux. $u_n = 1 - \dfrac{1}{n}$ est croissante et converge vers $1$. Une suite croissante tend vers $+\infty$ seulement si elle n'est pas majorée.
Vrai. C'est la limite de référence des suites géométriques de raison strictement comprise entre $-1$ et $1$.
Vrai. C'est le théorème des gendarmes avec $0 \leqslant u_n \leqslant v_n$ : les deux bornes tendent vers $0$.
Faux. Contre-exemple : $P(n)$ : « $2^n$ est un multiple de $3$ ». Si $2^n = 3k$, alors $2^{n+1} = 3 \times 2k$ : l'hérédité est vraie. Pourtant $P(0)$ est fausse ($1$ n'est pas multiple de $3$), et $P(n)$ est fausse pour tout $n$. Sans initialisation, rien n'est prouvé.
Vrai. Elle vaut alternativement $1$ et $-1$ : elle ne se rapproche d'aucun réel et ne tend pas vers l'infini.
Faux. « $+\infty - \infty$ » est une forme indéterminée. Avec $u_n = n^2$ et $v_n = -n$, $u_n + v_n = n^2 - n \to +\infty$.
Vrai. En passant à la limite dans $u_{n+1} = f(u_n)$, la continuité de $f$ donne $\ell = f(\ell)$ : la limite est un point fixe de $f$.