Génération explicite et par récurrence · Suites arithmétiques et géométriques, variations
Une suite est une liste ordonnée de nombres : un premier terme, un deuxième, un troisième, et ainsi de suite. On la note $(u_n)$, et $u_n$ désigne le terme de rang $n$. Les suites servent à modéliser tout ce qui évolue par étapes : un capital qui rapporte des intérêts chaque année, une population qui croît, un médicament qui s'élimine. Deux familles reviennent sans cesse : les suites arithmétiques (on ajoute toujours le même nombre) et les suites géométriques (on multiplie toujours par le même nombre). La difficulté est de ne pas les confondre.
une suite $(u_n)$ associe à chaque entier $n$ un nombre $u_n$, appelé terme de rang $n$. Le premier terme est souvent $u_0$ (parfois $u_1$).
Génération explicite :
$u_n$ est donné directement en fonction de $n$, par une formule $u_n = f(n)$. On calcule n'importe quel terme sans connaître les précédents.
Génération par récurrence :
on donne le premier terme et une relation $u_{n+1} = f(u_n)$ qui passe d'un terme au suivant. Il faut calculer les termes de proche en proche.
A. Suite explicite $u_n = n^2 - 1$ : $u_0 = -1$, $u_1 = 0$, $u_2 = 3$, $u_3 = 8$. On a calculé $u_3$ directement avec $3^2 - 1$.
B. Suite par récurrence $v_0 = 2$ et $v_{n+1} = 3 v_n - 1$ : $v_1 = 3 \times 2 - 1 = 5$, $v_2 = 3 \times 5 - 1 = 14$, $v_3 = 3 \times 14 - 1 = 41$. Ici, il faut $v_2$ pour obtenir $v_3$.
Exercice 1 — Calculer des termes (1re)
La suite $(u_n)$ est définie par $u_n = 3n - 2$. Calculer $u_0$, $u_1$, $u_2$ et $u_5$.
La suite $(v_n)$ est définie par $v_0 = 1$ et $v_{n+1} = 2 v_n + 3$. Calculer $v_1$, $v_2$ et $v_3$.
La suite $(w_n)$ est définie par $w_n = n^2 + 1$. Compléter : $w_4 = …^2 + 1 = …$ Peut-on calculer $w_{10}$ sans connaître $w_9$ ? Et $v_{10}$ sans connaître $v_9$ ?
Pour la suite $(u_n)$ de la question 1, exprimer $u_{n+1}$ puis $u_n + 1$ en fonction de $n$. Expliquer la différence entre ces deux expressions.
$v_1 = 2 \times 1 + 3 = 5$ ; $v_2 = 2 \times 5 + 3 = 13$ ; $v_3 = 2 \times 13 + 3 = 29$. Chaque terme se calcule à partir du précédent.
$w_4 = 4^2 + 1 = 17$. La suite $(w_n)$ est définie de façon explicite : on calcule directement $w_{10} = 10^2 + 1 = 101$ sans passer par $w_9$. La suite $(v_n)$ est définie par récurrence : pour obtenir $v_{10}$, il faut connaître $v_9$, donc calculer tous les termes de proche en proche.
$u_{n+1} = 3(n + 1) - 2 = 3n + 3 - 2 = 3n + 1$, alors que $u_n + 1 = (3n - 2) + 1 = 3n - 1$. L'expression $u_{n+1}$ désigne le terme suivant (on remplace $n$ par $n + 1$ dans la formule) ; l'expression $u_n + 1$ désigne le terme de rang $n$ augmenté de $1$. Par exemple, pour $n = 2$ : $u_3 = 7$ et $u_2 + 1 = 5$.
Suites arithmétiques (1re)
Une suite est arithmétique lorsqu'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre $r$, appelé raison : $u_{n+1} = u_n + r$.
Terme général :
$u_n = u_0 + n\,r$ (à partir de $u_0$).
Sens de variation :
si $r > 0$, la suite est croissante ; si $r < 0$, elle est décroissante ; si $r = 0$, elle est constante.
Suite arithmétique de premier terme $u_0 = 5$ et de raison $r = 3$. Alors $u_n = 5 + 3n$, donc $u_{10} = 5 + 3 \times 10 = 35$. Comme $r = 3 > 0$, la suite est croissante.
Exercice 2 — Suites arithmétiques (1re)
La suite $(u_n)$ est arithmétique de premier terme $u_0 = 5$ et de raison $r = -2$. Compléter : $u_1 = 5 + (…) = …$ ; $u_2 = …$ ; $u_n = u_0 + n\,r = …$ ; $u_{10} = …$
La suite $(u_n)$ est arithmétique, avec $u_0 = 7$ et $u_3 = 16$. Déterminer sa raison $r$, puis exprimer $u_n$ en fonction de $n$ et calculer $u_{20}$.
La suite $(v_n)$ est arithmétique, avec $v_2 = 11$ et $v_5 = 26$. Déterminer sa raison $r$ et son premier terme $v_0$, puis exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
On utilise $u_3 = u_0 + 3r$ : $16 = 7 + 3r$, donc $3r = 9$ et $r = 3$. Alors $u_n = 7 + 3n$ et $u_{20} = 7 + 3 \times 20 = 67$.
Pour passer de $v_2$ à $v_5$, on ajoute trois fois la raison : $v_5 = v_2 + 3r$, donc $26 = 11 + 3r$, soit $r = 5$. Ensuite $v_2 = v_0 + 2r$, donc $v_0 = v_2 - 2r = 11 - 10 = 1$. Finalement $v_n = 1 + 5n$. Vérification : $v_5 = 1 + 25 = 26$. ✓
Suites géométriques (1re)
Une suite est géométrique lorsqu'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre $q$, appelé raison : $u_{n+1} = u_n \times q$.
Terme général :
$u_n = u_0 \times q^n$ (à partir de $u_0$).
Sens de variation (cas $u_0 > 0$) :
si $q > 1$, la suite est croissante ; si $0 < q < 1$, elle est décroissante ; si $q = 1$, elle est constante.
Suite géométrique de premier terme $v_0 = 2$ et de raison $q = 3$. Alors $v_n = 2 \times 3^n$, donc $v_4 = 2 \times 3^4 = 2 \times 81 = 162$. Comme $v_0 = 2 > 0$ et $q = 3 > 1$, la suite est croissante.
Méthode : reconnaître la nature d'une suite
Calculer les différences $u_1 - u_0$, $u_2 - u_1$, $u_3 - u_2$. Si elles sont toutes égales, la suite est arithmétique et cette valeur commune est la raison $r$.
Sinon, calculer les quotients $\dfrac{u_1}{u_0}$, $\dfrac{u_2}{u_1}$, $\dfrac{u_3}{u_2}$. S'ils sont tous égaux, la suite est géométrique et cette valeur commune est la raison $q$.
Si ni les différences ni les quotients ne sont constants, la suite n'est ni arithmétique ni géométrique.
Soit la suite $3$, $6$, $12$, $24$. Les différences sont $3$, $6$, $12$ : elles ne sont pas constantes, la suite n'est pas arithmétique. Les quotients sont $\dfrac{6}{3} = 2$, $\dfrac{12}{6} = 2$, $\dfrac{24}{12} = 2$ : ils sont constants, la suite est géométrique de raison $q = 2$.
Exercice 3 — Suites géométriques (1re)
La suite $(v_n)$ est géométrique de premier terme $v_0 = 3$ et de raison $q = 2$. Compléter : $v_1 = 3 \times … = …$ ; $v_2 = …$ ; $v_n = v_0 \times q^n = …$ ; $v_5 = …$
Pour chaque suite, calculer les quatre premiers termes, puis préciser sa nature (arithmétique, géométrique, ou ni l'une ni l'autre) en justifiant.
a) $u_n = 7 - 2n$
b) $v_0 = 3$ et $v_{n+1} = 2 v_n$
c) $w_n = n^2$
d) $t_n = 5 \times 0{,}5^n$
La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $3$ et vérifie $v_2 = 18$. Calculer $v_0$, puis $v_4$.
$u_0 = 7$, $u_1 = 5$, $u_2 = 3$, $u_3 = 1$. Les différences valent $-2$ à chaque fois : suite arithmétique de raison $r = -2$.
$v_0 = 3$, $v_1 = 6$, $v_2 = 12$, $v_3 = 24$. Chaque terme est le double du précédent : suite géométrique de raison $q = 2$.
$w_0 = 0$, $w_1 = 1$, $w_2 = 4$, $w_3 = 9$. Les différences ($1$, $3$, $5$) ne sont pas constantes : pas arithmétique. Les quotients $\dfrac{w_2}{w_1} = 4$ et $\dfrac{w_3}{w_2} = 2{,}25$ ne sont pas égaux : pas géométrique. La suite n'est ni arithmétique ni géométrique.
$t_0 = 5$, $t_1 = 2{,}5$, $t_2 = 1{,}25$, $t_3 = 0{,}625$. Chaque terme est la moitié du précédent : suite géométrique de raison $q = 0{,}5$. On le lit directement sur la formule, qui est de la forme $t_0 \times q^n$.
On représente une suite par des points isolés d'abscisses $0$, $1$, $2$, … Pour une suite arithmétique, les points sont alignés ; pour une suite géométrique (de premier terme positif), ils suivent une courbe de plus en plus raide (si $q > 1$). De façon générale, on étudie le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$ : si elle est positive pour tout $n$, la suite est croissante.
Exercice 4 — Terme général et variations (1re)
La suite $(u_n)$ est arithmétique de premier terme $u_0 = 12$ et de raison $r = -1{,}5$. La suite $(v_n)$ est géométrique de premier terme $v_0 = 100$ et de raison $q = 0{,}8$.
Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, puis calculer $u_8$.
La suite $(u_n)$ est-elle croissante ou décroissante ? Justifier.
À partir de quel rang a-t-on $u_n < 0$ ?
Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, puis calculer $v_3$.
La suite $(v_n)$ est-elle croissante ou décroissante ? Justifier.
Le premier terme $v_0 = 100$ est positif et la raison vérifie $0 < q < 1$ : la suite est décroissante. On le vérifie sur les premiers termes : $100$, $80$, $64$, $51{,}2$.
Exercice 5 — Problème en contexte : deux placements (1re)
On place un capital de $2000$ € sur un compte qui rapporte $4\,\%$ par an, les intérêts s'ajoutant chaque année au capital. On note $C_n$ le capital, en euros, au bout de $n$ années, avec $C_0 = 2000$.
Justifier que $(C_n)$ est géométrique et préciser sa raison.
Exprimer $C_n$ en fonction de $n$.
Calculer le capital au bout de $3$ ans (arrondir au centime).
Un second placement de $2000$ € rapporte $90$ € d'intérêts fixes chaque année ; on note $D_n$ le capital correspondant au bout de $n$ années. Préciser la nature de la suite $(D_n)$ et exprimer $D_n$ en fonction de $n$.
Comparer $C_3$ et $D_3$, puis $C_{10}$ et $D_{10}$ (arrondir au centime). Que peut-on en conclure ?
▶ Solution — Exercice 5
Augmenter de $4\,\%$ revient à multiplier par $1 + \dfrac{4}{100} = 1{,}04$. On passe donc de $C_n$ à $C_{n+1}$ en multipliant toujours par $1{,}04$ : la suite est géométrique de raison $q = 1{,}04$.
On ajoute chaque année la même somme de $90$ € : $(D_n)$ est arithmétique de raison $r = 90$, et $D_n = 2000 + 90n$.
$D_3 = 2000 + 270 = 2270$ €, supérieur à $C_3 \approx 2249{,}73$ €. En revanche, $D_{10} = 2000 + 900 = 2900$ € alors que $C_{10} = 2000 \times 1{,}04^{10} \approx 2000 \times 1{,}480244 \approx 2960{,}49$ €. Le placement à intérêts fixes est meilleur les premières années, mais la croissance géométrique finit par l'emporter sur la croissance arithmétique : au bout de dix ans, le premier placement rapporte davantage.
Exercice 6 — Problème en contexte : modéliser deux évolutions (1re)
Une ville compte $20\,000$ habitants en 2024 et perd $300$ habitants chaque année. On note $h_n$ le nombre d'habitants en $2024 + n$.
Préciser la nature de la suite $(h_n)$ et exprimer $h_n$ en fonction de $n$.
Calculer $h_5$.
En quelle année la population passera-t-elle pour la première fois sous $17\,000$ habitants ?
Un patient prend $200$ mg d'un médicament. Chaque heure, l'organisme élimine $25\,\%$ de la quantité présente. On note $m_n$ la quantité, en mg, restant dans l'organisme après $n$ heures.
Préciser la nature de la suite $(m_n)$ et sa raison.
Exprimer $m_n$ en fonction de $n$.
Calculer $m_2$ et $m_4$ (arrondir au dixième).
▶ Solution — Exercice 6
On retire chaque année la même quantité : $(h_n)$ est arithmétique de raison $r = -300$, et $h_n = 20\,000 - 300n$.
$h_5 = 20\,000 - 300 \times 5 = 18\,500$ habitants.
$h_n < 17\,000 \iff 20\,000 - 300n < 17\,000 \iff 300n > 3\,000 \iff n > 10$. Le premier rang est $n = 11$, soit l'année $2024 + 11 = 2035$. Vérification : $h_{10} = 17\,000$ (pas encore strictement en dessous) et $h_{11} = 16\,700$.
Éliminer $25\,\%$ revient à conserver $75\,\%$, c'est-à-dire à multiplier par $0{,}75$ : $(m_n)$ est géométrique de raison $q = 0{,}75$.
B ($5$) : $u_n^2$ a été confondu avec $2u_n$, ce qui donne $2 \times 3 - 1 = 5$.
C ($63$) : on a calculé un terme de trop, $u_3 = 8^2 - 1 = 63$.
Exercice 8 — Vrai ou faux ?
Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse et justifier :
Si $u_{n+1} = u_n + 5$ pour tout $n$, alors la suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $5$.
Si $u_{n+1} = 5\,u_n$ pour tout $n$, alors la suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $5$.
Pour une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$, on a $u_n = u_0 + n\,r$.
Une suite géométrique de raison $q > 1$ est toujours croissante.
La suite définie par $u_n = 2^n$ est géométrique de raison $2$.
Si $u_0 = 4$ et $u_1 = 8$, alors la suite $(u_n)$ est nécessairement géométrique de raison $2$.
Une suite peut être à la fois arithmétique et géométrique.
La suite $1$, $4$, $9$, $16$, … est géométrique.
▶ Solution — Exercice 8
Vrai. On passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours $5$ : c'est la définition d'une suite arithmétique de raison $5$.
Faux. On passe d'un terme au suivant en multipliant par $5$ : la suite est géométrique de raison $5$, pas arithmétique.
Vrai. Pour passer de $u_0$ à $u_n$, on ajoute $n$ fois la raison.
Faux. Cela dépend du signe du premier terme. Contre-exemple : $u_0 = -1$ et $q = 2$ donnent $-1$, $-2$, $-4$, $-8$, …, suite décroissante. La règle « $q > 1$ donc croissante » ne vaut que si $u_0 > 0$.
Vrai. $u_0 = 2^0 = 1$ et $u_{n+1} = 2^{n+1} = 2 \times 2^n = 2\,u_n$ : la suite est géométrique de premier terme $1$ et de raison $2$.
Faux. Deux termes ne suffisent pas à déterminer la nature d'une suite. La suite pourrait être arithmétique de raison $4$ ($4$, $8$, $12$, …), géométrique de raison $2$ ($4$, $8$, $16$, …), ou ni l'un ni l'autre.
Vrai. Une suite constante non nulle, par exemple $3$, $3$, $3$, …, est arithmétique de raison $r = 0$ et géométrique de raison $q = 1$.
Faux. Les quotients $\dfrac{4}{1} = 4$, $\dfrac{9}{4} = 2{,}25$ et $\dfrac{16}{9} \approx 1{,}78$ ne sont pas constants. Ce sont les carrés des entiers ($u_n = (n + 1)^2$), la suite n'est ni géométrique ni arithmétique (différences $3$, $5$, $7$).