Génération explicite et par récurrence · Suites arithmétiques et géométriques, variations
Une suite est une liste ordonnée de nombres : un premier terme, un deuxième, un troisième, et ainsi de suite. On la note $(u_n)$, et $u_n$ désigne le terme de rang $n$. Les suites servent à modéliser tout ce qui évolue par étapes : un capital qui rapporte des intérêts chaque année, une population qui croît, un médicament qui s'élimine. Deux familles reviennent sans cesse : les suites arithmétiques (on ajoute toujours le même nombre) et les suites géométriques (on multiplie toujours par le même nombre). La difficulté est de ne pas les confondre.
Vocabulaire et génération (1re)
Suite :
une suite $(u_n)$ associe à chaque entier $n$ un nombre $u_n$, appelé terme de rang $n$. Le premier terme est souvent $u_0$ (parfois $u_1$).
Génération explicite :
$u_n$ est donné directement en fonction de $n$, par une formule $u_n = f(n)$. On calcule n'importe quel terme sans connaître les précédents.
Génération par récurrence :
on donne le premier terme et une relation $u_{n+1} = f(u_n)$ qui passe d'un terme au suivant. Il faut calculer les termes de proche en proche.
A. Suite explicite $u_n = n^2 - 1$ : $u_0 = -1$, $u_1 = 0$, $u_2 = 3$, $u_3 = 8$. On a calculé $u_3$ directement avec $3^2 - 1$.
B. Suite par récurrence $v_0 = 2$ et $v_{n+1} = 3 v_n - 1$ : $v_1 = 3 \times 2 - 1 = 5$, $v_2 = 3 \times 5 - 1 = 14$, $v_3 = 3 \times 14 - 1 = 41$. Ici, il faut $v_2$ pour obtenir $v_3$.
Suites arithmétiques (1re)
Une suite est arithmétique lorsqu'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre $r$, appelé raison : $u_{n+1} = u_n + r$.
Terme général :
$u_n = u_0 + n\,r$ (à partir de $u_0$).
Sens de variation :
si $r > 0$, la suite est croissante ; si $r < 0$, elle est décroissante ; si $r = 0$, elle est constante.
Suite arithmétique de premier terme $u_0 = 5$ et de raison $r = 3$. Alors $u_n = 5 + 3n$, donc $u_{10} = 5 + 3 \times 10 = 35$. Comme $r = 3 > 0$, la suite est croissante.
Suites géométriques (1re)
Une suite est géométrique lorsqu'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre $q$, appelé raison : $u_{n+1} = u_n \times q$.
Terme général :
$u_n = u_0 \times q^n$ (à partir de $u_0$).
Sens de variation (cas $u_0 > 0$) :
si $q > 1$, la suite est croissante ; si $0 < q < 1$, elle est décroissante ; si $q = 1$, elle est constante.
Suite géométrique de premier terme $v_0 = 2$ et de raison $q = 3$. Alors $v_n = 2 \times 3^n$, donc $v_4 = 2 \times 3^4 = 2 \times 81 = 162$. Comme $v_0 = 2 > 0$ et $q = 3 > 1$, la suite est croissante.
Méthode : reconnaître la nature d'une suite
Calculer les différences $u_1 - u_0$, $u_2 - u_1$, $u_3 - u_2$. Si elles sont toutes égales, la suite est arithmétique et cette valeur commune est la raison $r$.
Sinon, calculer les quotients $\dfrac{u_1}{u_0}$, $\dfrac{u_2}{u_1}$, $\dfrac{u_3}{u_2}$. S'ils sont tous égaux, la suite est géométrique et cette valeur commune est la raison $q$.
Si ni les différences ni les quotients ne sont constants, la suite n'est ni arithmétique ni géométrique.
Soit la suite $3$, $6$, $12$, $24$. Les différences sont $3$, $6$, $12$ : elles ne sont pas constantes, la suite n'est pas arithmétique. Les quotients sont $\dfrac{6}{3} = 2$, $\dfrac{12}{6} = 2$, $\dfrac{24}{12} = 2$ : ils sont constants, la suite est géométrique de raison $q = 2$.
Représentation et sens de variation (1re)
On représente une suite par des points isolés d'abscisses $0$, $1$, $2$, … Pour une suite arithmétique, les points sont alignés ; pour une suite géométrique (de premier terme positif), ils suivent une courbe de plus en plus raide (si $q > 1$). De façon générale, on étudie le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$ : si elle est positive pour tout $n$, la suite est croissante.
Exercice 1 — Calculer des termes et reconnaître la nature
Pour chaque suite, calculer les quatre premiers termes, puis préciser sa nature (arithmétique, géométrique, ou ni l'une ni l'autre).
$u_n = 7 - 2n$.
$v_0 = 3$ et $v_{n+1} = 2 v_n$.
$w_n = n^2$.
▶ Solution — Exercice 1
$u_0 = 7$, $u_1 = 5$, $u_2 = 3$, $u_3 = 1$. Les différences valent $-2$ à chaque fois : la suite est arithmétique de raison $r = -2$.
$v_0 = 3$, $v_1 = 6$, $v_2 = 12$, $v_3 = 24$. Chaque terme est le double du précédent : la suite est géométrique de raison $q = 2$.
$w_0 = 0$, $w_1 = 1$, $w_2 = 4$, $w_3 = 9$. Les différences ($1$, $3$, $5$) ne sont pas constantes, et $w_0 = 0$ exclut une suite géométrique (et les quotients définis ne sont pas constants : $\dfrac{w_2}{w_1} = 4 \neq \dfrac{w_3}{w_2} = 2{,}25$) : la suite n'est ni arithmétique ni géométrique.
Exercice 2 — Terme général et variations
$(u_n)$ est une suite arithmétique de premier terme $u_0 = 12$ et de raison $r = -1{,}5$.
Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
Calculer $u_8$.
La suite est-elle croissante ou décroissante ? Justifier.
▶ Solution — Exercice 2
$u_n = u_0 + n\,r = 12 - 1{,}5\,n$.
$u_8 = 12 - 1{,}5 \times 8 = 12 - 12 = 0$.
La raison $r = -1{,}5$ est négative, donc la suite est décroissante.
Exercice 3 — Synthèse
4 pts
On place un capital de $2000$ € sur un compte qui rapporte $4\,\%$ par an. On note $C_n$ le capital, en euros, au bout de $n$ années, avec $C_0 = 2000$.
Justifier que $(C_n)$ est géométrique et préciser sa raison.
Exprimer $C_n$ en fonction de $n$.
Calculer le capital au bout de $3$ ans (arrondir au centime).
▶ Solution — Exercice 3
Augmenter de $4\,\%$ revient à multiplier par $1 + \dfrac{4}{100} = 1{,}04$. On passe donc de $C_n$ à $C_{n+1}$ en multipliant toujours par $1{,}04$ : la suite est géométrique de raison $q = 1{,}04$.