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Les puissances

4ᵉ3ᵉ
Notation, règles de calcul (4ᵉ) · Puissances de 10, écriture scientifique (3ᵉ)
Les puissances sont une écriture compacte pour les produits répétés : au lieu d'écrire $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$, on écrit $2^5$. Elles interviennent partout : notation scientifique, calculs de distances astronomiques, tailles microscopiques, informatique. La difficulté principale vient de la confusion entre puissance et multiplication ($2^3$ interprété comme $2 \times 3$) et de la gestion des signes et des parenthèses ($(-2)^2$ confondu avec $-2^2$).
Définition d'une puissance (4e – 3e)
Puissance entière positive :
pour tout nombre $a$ et tout entier $n \geqslant 2$ : $$a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ facteurs}}$$
Base :
le nombre que l'on multiplie par lui-même. Dans $3^4$, la base est $3$.
Exposant :
le nombre de fois que l'on multiplie la base. Dans $3^4$, l'exposant est $4$.
Cas particuliers :

 

  • $a^1 = a$ (un seul facteur) ;
  • $a^0 = 1$ pour tout $a \neq 0$ (on verra pourquoi plus loin).
  • $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$   (et non $2 \times 3 = 6$ !).
  • $5^2 = 5 \times 5 = 25$   (on dit « $5$ au carré »).
  • $10^4 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10\,000$.
  • $\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8}$.

Attention : $2^3$ ne signifie pas « $2$ fois $3$ ». L'exposant indique combien de fois on multiplie la base par elle-même. Cette confusion est l'une des erreurs les plus fréquentes.

Exercice 1 — Écrire et calculer des puissances (4e)

  1. Écrire chaque puissance sous forme d'un produit, puis calculer :

    • $A = 3^3$
    • $B = 2^5$
    • $C = 4^3$
    • $D = 10^3$
    • $E = 1^{10}$
    • $F = 0^4$

  2. Écrire chaque produit sous forme d'une puissance :

    • $G = 7 \times 7 \times 7 \times 7$
    • $H = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5$
▶ Solution — Exercice 1

  1. On déplie chaque puissance en produit :

    1. $A = 3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$.
    2. $B = 2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$.
    3. $C = 4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64$.
    4. $D = 10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1\,000$.
    5. $E = 1^{10} = 1$ (quel que soit l'exposant, $1$ élevé à n'importe quelle puissance donne $1$).
    6. $F = 0^4 = 0$ (quel que soit l'exposant strictement positif, $0$ élevé à cette puissance donne $0$).

  2. On compte le nombre de facteurs :

    1. $G = 7 \times 7 \times 7 \times 7 = 7^4$.
    2. $H = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^5$.
Signe et parenthèses (4e – 3e)

La place des parenthèses change complètement le résultat.

Avec parenthèses : $(-2)^4$ signifie $(-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2)$. On élève le nombre $-2$ (avec son signe) à la puissance $4$.

Sans parenthèses : $-2^4$ signifie $-(2^4) = -(2 \times 2 \times 2 \times 2)$. On calcule d'abord $2^4$, puis on applique le signe moins.

  • $(-2)^4 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = 4 \times 4 = 16$.
  • $-2^4 = -(2 \times 2 \times 2 \times 2) = -16$.
  • $(-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9$.
  • $-3^2 = -(3 \times 3) = -9$.
  • $(-1)^7 = -1$   (exposant impair : le résultat est négatif).
  • $(-1)^{100} = 1$   (exposant pair : le résultat est positif).

Règle de signe :

  • $(-a)^n$ avec $n$ pair : le résultat est positif (un nombre pair de signes « $-$ » s'annulent) ;
  • $(-a)^n$ avec $n$ impair : le résultat est négatif.
Exercice 2 — Parenthèses et signes (4e – 3e)

Calculer en détaillant chaque étape :

  • $A = (-5)^2$
  • $B = -5^2$
  • $C = (-1)^{13}$
  • $D = (-3)^3$
  • $E = -(-4)^2$
  • $F = (-2)^5$
▶ Solution — Exercice 2
  1. $A = (-5)^2 = (-5) \times (-5) = 25$   (exposant pair : résultat positif).
  2. $B = -5^2 = -(5 \times 5) = -25$   (pas de parenthèses autour du $-5$ : on calcule $5^2$ puis on applique le signe).
  3. $C = (-1)^{13} = -1$   (exposant impair : le résultat est négatif).
  4. $D = (-3)^3 = (-3) \times (-3) \times (-3) = 9 \times (-3) = -27$   (exposant impair).
  5. $E = -(-4)^2 = -((-4) \times (-4)) = -(16) = -16$   (on calcule d'abord $(-4)^2 = 16$, puis on applique le signe $-$ devant).
  6. $F = (-2)^5 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = 4 \times 4 \times (-2) = 16 \times (-2) = -32$   (exposant impair).
Règles de calcul sur les puissances (3e – 2de)

Pour tout nombre $a \neq 0$ et tous entiers $m$ et $n$ :

RègleFormuleJustification par le produit
Produit de puissances de même base$a^m \times a^n = a^{m+n}$$\underbrace{a \times \cdots \times a}_{m} \times \underbrace{a \times \cdots \times a}_{n} = \underbrace{a \times \cdots \times a}_{m+n}$
Quotient de puissances de même base$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$On simplifie les facteurs communs
Puissance d'une puissance$(a^m)^n = a^{m \times n}$$\underbrace{a^m \times a^m \times \cdots \times a^m}_{n} = a^{\underbrace{m + m + \cdots + m}_{n}} = a^{mn}$
Puissance d'un produit$(a \times b)^n = a^n \times b^n$$\underbrace{(a \times b) \times \cdots \times (a \times b)}_{n}$ : on regroupe les $a$ et les $b$
Puissance d'un quotient$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{\!n} = \dfrac{a^n}{b^n}$ \; ($b \neq 0$)Même principe : $\underbrace{\dfrac{a}{b} \times \cdots \times \dfrac{a}{b}}_{n} = \dfrac{a^n}{b^n}$

Attention : ces règles ne fonctionnent que pour des puissances de même base (sauf les deux dernières). On ne peut pas simplifier $2^3 \times 3^4$, car les bases sont différentes. De même, $(a + b)^2 \neq a^2 + b^2$ : l'exposant ne « distribue » pas sur une somme.

Exercice 3 — Appliquer les règles de calcul (3e – 2de)

Écrire chaque expression sous la forme $a^n$ ou la calculer :

  • $A = 3^4 \times 3^5$
  • $B = 7^8 \div 7^3$
  • $C = (5^3)^2$
  • $D = 2^6 \times 2$
  • $E = \dfrac{4^{10}}{4^7}$
  • $F = (10^2)^4$
  • $G = \left(\dfrac{3}{5}\right)^3$
  • $H = \left(\dfrac{2}{7}\right)^2$
▶ Solution — Exercice 3
  1. $A = 3^4 \times 3^5 = 3^{4+5} = 3^9$   (règle du produit : on additionne les exposants).
  2. $B = 7^8 \div 7^3 = 7^{8-3} = 7^5$   (règle du quotient : on soustrait les exposants).
  3. $C = (5^3)^2 = 5^{3 \times 2} = 5^6$   (puissance de puissance : on multiplie les exposants).
  4. $D = 2^6 \times 2 = 2^6 \times 2^1 = 2^{6+1} = 2^7$   ($2 = 2^1$).
  5. $E = \dfrac{4^{10}}{4^7} = 4^{10-7} = 4^3 = 64$.
  6. $F = (10^2)^4 = 10^{2 \times 4} = 10^8 = 100\,000\,000$.
  7. $G = \left(\dfrac{3}{5}\right)^3 = \dfrac{3^3}{5^3} = \dfrac{27}{125}$   (puissance d'un quotient : on élève le numérateur et le dénominateur).
  8. $H = \left(\dfrac{2}{7}\right)^2 = \dfrac{2^2}{7^2} = \dfrac{4}{49}$.
Exercice 4 — Calculs combinés (3e – 2de)

Simplifier chaque expression en une seule puissance :

  • $A = \dfrac{5^3 \times 5^4}{5^2}$
  • $B = \dfrac{(2^3)^4}{2^5}$
  • $C = \dfrac{6^9 \times 6}{6^4 \times 6^3}$
  • $D = (3^2 \times 3^4)^2$
  • $E = \dfrac{2^5 \times 2^{-3}}{2^4}$
  • $F = \left(\dfrac{4}{3}\right)^{-2}$
▶ Solution — Exercice 4
  1. $A = \dfrac{5^3 \times 5^4}{5^2} = \dfrac{5^{3+4}}{5^2} = \dfrac{5^7}{5^2} = 5^{7-2} = 5^5$.
  2. $B = \dfrac{(2^3)^4}{2^5} = \dfrac{2^{12}}{2^5} = 2^{12-5} = 2^7 = 128$.
  3. $C = \dfrac{6^9 \times 6}{6^4 \times 6^3} = \dfrac{6^{9+1}}{6^{4+3}} = \dfrac{6^{10}}{6^7} = 6^{10-7} = 6^3 = 216$.
  4. $D = (3^2 \times 3^4)^2 = (3^{2+4})^2 = (3^6)^2 = 3^{6 \times 2} = 3^{12}$.
  5. $E = \dfrac{2^5 \times 2^{-3}}{2^4} = \dfrac{2^{5+(-3)}}{2^4} = \dfrac{2^2}{2^4} = 2^{2-4} = 2^{-2} = \dfrac{1}{4}$.
  6. $F = \left(\dfrac{4}{3}\right)^{-2} = \dfrac{4^{-2}}{3^{-2}} = \dfrac{3^2}{4^2} = \dfrac{9}{16}$. \medskip Remarque sur F : élever une fraction à un exposant négatif revient à retourner la fraction puis à l'élever à l'exposant positif : $\left(\dfrac{4}{3}\right)^{-2} = \left(\dfrac{3}{4}\right)^2 = \dfrac{9}{16}$.
Exposant nul et exposant négatif (3e – 2de)

Pourquoi $a^0 = 1$ ? Observons le schéma descendant pour $a = 2$ :

$2^4$$2^3$$2^2$$2^1$$2^0$$2^{-1}$
$16$$8$$4$$2$$?$$?$
$\div 2$$\div 2$$\div 2$$\div 2$$\div 2$

À chaque étape, on divise par $2$. Pour que le schéma reste cohérent : $2^0 = 2 \div 2 = 1$ et $2^{-1} = 1 \div 2 = \dfrac{1}{2}$.

Règles : pour tout nombre $a \neq 0$ et tout entier $n \geqslant 1$ :

  • $a^0 = 1$ ;
  • $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$.
  • $5^0 = 1$ \qquad $(-7)^0 = 1$ \qquad $\left(\dfrac{3}{4}\right)^0 = 1$.
  • $2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}$.
  • $10^{-2} = \dfrac{1}{10^2} = \dfrac{1}{100} = 0{,}01$.
  • $3^{-1} = \dfrac{1}{3}$   (et non pas $-3$ !).

Attention : $a^0 = 1$ n'est pas une convention arbitraire : c'est la seule valeur qui rend la règle $a^m \times a^n = a^{m+n}$ cohérente pour $n = 0$ (car $a^m \times a^0 = a^m$ impose $a^0 = 1$). De même, $a^{-1} = \dfrac{1}{a}$ et non pas $-a$ : l'exposant négatif indique un inverse, pas un changement de signe.

Exercice 5 — Exposants nuls et négatifs (3e – 2de)

Calculer en détaillant :

  • $A = 7^0$
  • $B = (-4)^0$
  • $C = 3^{-2}$
  • $D = 10^{-3}$
  • $E = 2^{-4}$
  • $F = 5^{-1}$
▶ Solution — Exercice 5
  1. $A = 7^0 = 1$   (tout nombre non nul élevé à la puissance $0$ donne $1$).
  2. $B = (-4)^0 = 1$   (même règle, le signe de la base n'y change rien).
  3. $C = 3^{-2} = \dfrac{1}{3^2} = \dfrac{1}{9}$.
  4. $D = 10^{-3} = \dfrac{1}{10^3} = \dfrac{1}{1\,000} = 0{,}001$.
  5. $E = 2^{-4} = \dfrac{1}{2^4} = \dfrac{1}{16}$.
  6. $F = 5^{-1} = \dfrac{1}{5} = 0{,}2$   (et non pas $-5$ !).
Puissances de 10 et notation scientifique (4e – 2de)
Puissances de 10 :

 

  • $10^n$ ($n > 0$) : un $1$ suivi de $n$ zéros. Exemple : $10^6 = 1\,000\,000$.
  • $10^0 = 1$.
  • $10^{-n}$ ($n > 0$) : $0{,}0…01$ avec $n$ décimales. Exemple : $10^{-4} = 0{,}0001$.
Notation scientifique :
un nombre est en notation scientifique s'il est écrit sous la forme : $$a \times 10^n \quad \text{avec} \quad 1 \leqslant a < 10 \quad \text{et} \quad n \in \mathbb{Z}$$
  • $45\,000 = 4{,}5 \times 10^4$   (on décale la virgule de $4$ rangs vers la gauche).
  • $0{,}003\,2 = 3{,}2 \times 10^{-3}$   (on décale la virgule de $3$ rangs vers la droite).
  • $7{,}1 \times 10^0 = 7{,}1$   (le nombre est déjà entre $1$ et $10$).

La notation scientifique est indispensable pour exprimer les très grands nombres (distance Terre-Soleil : $1{,}5 \times 10^{11}$ m) et les très petits (taille d'un atome : $1 \times 10^{-10}$ m).

Exercice 6 — Puissances de 10 et notation scientifique (4e – 2de)

  1. Écrire sous forme d'un nombre décimal :

    • $10^5$
    • $10^{-3}$
    • $4{,}7 \times 10^3$
    • $8{,}02 \times 10^{-2}$
    • $6 \times 10^7$
    • $1{,}5 \times 10^{-4}$

  2. Écrire en notation scientifique :

    • $730\,000$
    • $0{,}000\,56$
    • $912{,}4$
▶ Solution — Exercice 6

  1. Conversion en nombre décimal :

    1. $10^5 = 100\,000$.
    2. $10^{-3} = 0{,}001$.
    3. $4{,}7 \times 10^3 = 4\,700$.
    4. $8{,}02 \times 10^{-2} = 0{,}0802$.
    5. $6 \times 10^7 = 60\,000\,000$.
    6. $1{,}5 \times 10^{-4} = 0{,}000\,15$.

  2. Notation scientifique :

    1. $730\,000 = 7{,}3 \times 10^5$   (on décale la virgule de $5$ rangs vers la gauche).
    2. $0{,}000\,56 = 5{,}6 \times 10^{-4}$   (on décale la virgule de $4$ rangs vers la droite).
    3. $912{,}4 = 9{,}124 \times 10^2$   (on décale la virgule de $2$ rangs vers la gauche).
Exercice 7 — Les puissances dans les sciences (2de)

  1. La distance moyenne Terre-Soleil est d'environ $1{,}5 \times 10^{8}$ km.

    1. Écrire cette distance en mètres, en notation scientifique.
    2. La lumière parcourt environ $3 \times 10^5$ km par seconde. Combien de secondes met-elle pour aller du Soleil à la Terre ? Donner le résultat en notation scientifique, puis en minutes.

  2. Un globule rouge mesure environ $7 \times 10^{-6}$ m de diamètre.

    1. Combien de globules rouges faut-il aligner pour obtenir une longueur de $1$ cm ($10^{-2}$ m) ? Donner le résultat en notation scientifique.
    2. Exprimer le diamètre d'un globule rouge en micromètres ($1~\mu\text{m} = 10^{-6}$ m).
▶ Solution — Exercice 7

  1. Distance Terre-Soleil :

    1. $1$ km $= 10^3$ m, donc : $$1{,}5 \times 10^8~\text{km} = 1{,}5 \times 10^8 \times 10^3~\text{m} = 1{,}5 \times 10^{11}~\text{m}$$
    2. Temps $= \dfrac{\text{distance}}{\text{vitesse}} = \dfrac{1{,}5 \times 10^8}{3 \times 10^5} = \dfrac{1{,}5}{3} \times 10^{8-5} = 0{,}5 \times 10^3 = 5 \times 10^2 = 500$. La lumière met $500$ secondes, soit $\dfrac{500}{60} \approx 8{,}3$ minutes.

  2. Globule rouge :

    1. Nombre de globules $= \dfrac{10^{-2}}{7 \times 10^{-6}} = \dfrac{1}{7} \times 10^{-2-(-6)} = \dfrac{1}{7} \times 10^4 \approx 1{,}43 \times 10^3$. Il faut environ $1\,430$ globules rouges.
    2. $7 \times 10^{-6}~\text{m} = 7 \times 10^{-6} \div 10^{-6}~\mu\text{m} = 7~\mu\text{m}$.
Erreurs classiques sur les puissances
ErreurExemple fauxCorrection
Confondre puissance et multiplication$2^3 = 6$$2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$
Oublier les parenthèses avec un signe $-$$(-3)^2 = -9$$(-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9$. C'est $-3^2$ qui vaut $-9$
Additionner les exposants lors d'une puissance de puissance$(a^3)^2 = a^5$$(a^3)^2 = a^{3 \times 2} = a^6$ (on multiplie les exposants)
Distribuer l'exposant sur une somme$(a+b)^2 = a^2 + b^2$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ : il manque le double produit
Confondre exposant négatif et opposé$3^{-1} = -3$$3^{-1} = \dfrac{1}{3}$ : l'exposant $-1$ signifie « inverse »
Croire que $a^0 = 0$$5^0 = 0$$5^0 = 1$ : le schéma $5^2 = 25$, $5^1 = 5$, $5^0 = ?$ ($\div 5$ à chaque étape) donne $1$
Exercice 8 — QCM (3e – 2de)

Pour chaque question, une seule réponse est correcte.

  1. $2^3 \times 2^4$ est égal à :

    • [A.] $2^{12}$
    • [B.] $4^7$
    • [C.] $2^7$
    • [D.] $2^{43}$

  2. $(-4)^2$ est égal à :

    • [A.] $-16$
    • [B.] $-8$
    • [C.] $8$
    • [D.] $16$

  3. $5^{-2}$ est égal à :

    • [A.] $-25$
    • [B.] $-10$
    • [C.] $\dfrac{1}{25}$
    • [D.] $\dfrac{1}{10}$

  4. $(10^3)^2$ est égal à :

    • [A.] $10^5$
    • [B.] $10^6$
    • [C.] $10^9$
    • [D.] $10^{32}$

  5. $0{,}000\,47$ s'écrit en notation scientifique :

    • [A.] $47 \times 10^{-5}$
    • [B.] $4{,}7 \times 10^{-4}$
    • [C.] $4{,}7 \times 10^{-3}$
    • [D.] $0{,}47 \times 10^{-3}$

  6. $\dfrac{3^8}{3^5}$ est égal à :

    • [A.] $3^3$
    • [B.] $1^3$
    • [C.] $3^{13}$
    • [D.] $3^{1{,}6}$
▶ Solution — Exercice 8

  1. Réponse C. $2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$.

    • A ($2^{12}$) : erreur de règle, on a multiplié les exposants ($3 \times 4 = 12$) au lieu de les additionner.
    • B ($4^7$) : erreur sur la base, on a multiplié les bases ($2 \times 2 = 4$) au lieu de les garder.
    • D ($2^{43}$) : erreur de lecture, on a « accolé » les exposants ($43$).

  2. Réponse D. $(-4)^2 = (-4) \times (-4) = 16$.

    • A ($-16$) : confusion $(-4)^2$ avec $-4^2 = -(4^2) = -16$.
    • B ($-8$) : confusion puissance et multiplication, $-4 \times 2 = -8$.
    • C ($8$) : confusion puissance et multiplication, $4 \times 2 = 8$.

  3. Réponse C. $5^{-2} = \dfrac{1}{5^2} = \dfrac{1}{25}$.

    • A ($-25$) : confusion exposant négatif et opposé, calcul de $-(5^2) = -25$.
    • B ($-10$) : confusion exposant négatif et opposé, avec en plus la confusion puissance/multiplication ($-5 \times 2 = -10$).
    • D ($\frac{1}{10}$) : confusion puissance et multiplication, $\frac{1}{5 \times 2} = \frac{1}{10}$.

  4. Réponse B. $(10^3)^2 = 10^{3 \times 2} = 10^6$.

    • A ($10^5$) : erreur de règle, on a additionné les exposants au lieu de les multiplier.
    • C ($10^9$) : erreur de calcul, $3 \times 2 = 6$ et non $9$.
    • D ($10^{32}$) : erreur de lecture, on a « accolé » les exposants ($32$).

  5. Réponse B. $0{,}000\,47 = 4{,}7 \times 10^{-4}$ (on décale la virgule de $4$ rangs vers la droite).

    • A ($47 \times 10^{-5}$) : calcul correct mais pas en notation scientifique (il faut $1 \leqslant a < 10$, or $47 \geqslant 10$).
    • C ($4{,}7 \times 10^{-3}$) : erreur de comptage du nombre de rangs ($3$ au lieu de $4$).
    • D ($0{,}47 \times 10^{-3}$) : calcul correct mais pas en notation scientifique ($0{,}47 < 1$).

  6. Réponse A. $\dfrac{3^8}{3^5} = 3^{8-5} = 3^3$.

    • B ($1^3$) : erreur sur la base, on a divisé $3 \div 3 = 1$ au lieu de garder la base.
    • C ($3^{13}$) : erreur de règle, on a additionné les exposants au lieu de les soustraire.
    • D ($3^{1{,}6}$) : erreur de règle, on a divisé les exposants ($8 \div 5 = 1{,}6$).
Exercice 9 — Vrai ou faux ?

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse et justifier :

  • [A.] $2^{10}$ est plus grand que $10^2$.
  • [B.] $(-5)^3 = -5^3$.
  • [C.] $0^0 = 1$.
  • [D.] $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ pour tous nombres $a$ et $b$.
  • [E.] $4^{-1} = -4$.
  • [F.] $10^{-5}$ est un nombre positif.
  • [G.] $a^3 \times a^5 = a^{15}$.
  • [H.] $2^3 \times 3^3 = 6^3$.
▶ Solution — Exercice 9
  1. Vrai. $2^{10} = 1\,024$ et $10^2 = 100$. On a bien $1\,024 > 100$. Cet exemple montre que la croissance exponentielle est très rapide : même avec une petite base, un grand exposant produit un nombre bien plus grand.
  2. Vrai. $(-5)^3 = (-5) \times (-5) \times (-5) = 25 \times (-5) = -125$. Et $-5^3 = -(5^3) = -125$. Les deux expressions donnent le même résultat. C'est parce que l'exposant est impair : les parenthèses ne changent pas le signe. En revanche, avec un exposant pair, $(-5)^2 = 25$ alors que $-5^2 = -25$ : le résultat serait différent.
  3. Faux. La règle $a^0 = 1$ n'est valable que pour $a \neq 0$. L'expression $0^0$ n'est pas définie au collège ni au lycée : dans ce cadre, on ne peut donc pas écrire $0^0 = 1$. (Dans certains contextes mathématiques avancés, on choisit une valeur par convention, mais ce n'est pas au programme.)
  4. Faux. Contre-exemple : $(2 + 3)^2 = 5^2 = 25$, mais $2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$. On a $25 \neq 13$. L'identité correcte est $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ : il manque le terme $2ab$ (ici $2 \times 2 \times 3 = 12$, et $13 + 12 = 25$). C'est l'une des erreurs de généralisation abusive les plus courantes.
  5. Faux. $4^{-1} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25$. L'exposant $-1$ signifie « inverse multiplicatif », pas « opposé ». La confusion vient du signe $-$ dans l'exposant, mais il ne change pas le signe du résultat.
  6. Vrai. $10^{-5} = \dfrac{1}{10^5} = \dfrac{1}{100\,000} = 0{,}000\,01$. C'est un nombre très petit, mais strictement positif. Un exposant négatif ne rend pas le résultat négatif : il donne l'inverse.
  7. Faux. $a^3 \times a^5 = a^{3+5} = a^8$ (on additionne les exposants), et non $a^{15}$ (on a multiplié les exposants par erreur).
  8. Vrai. $2^3 \times 3^3 = (2 \times 3)^3 = 6^3 = 216$. C'est l'application de la règle $(a \times b)^n = a^n \times b^n$, utilisée « dans l'autre sens ». Vérification : $2^3 \times 3^3 = 8 \times 27 = 216$ et $6^3 = 216$. ✓

Tu bloques sur un exercice ? Consulte la fiche Que faire quand je bloque ?
Tu veux retenir durablement ces méthodes ? Consulte la fiche Mémorisation et sciences cognitives.
Tu fais souvent les mêmes erreurs ? Remplis ton Carnet d'erreurs.

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