Primitives usuelles · Intégrale et aire, propriétés, valeur moyenne
Dériver, c'est passer d'une fonction à sa vitesse de variation. Chercher une primitive, c'est faire le chemin inverse : retrouver une fonction dont on connaît la dérivée. Ce calcul à rebours a une application spectaculaire : l'intégrale $\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$, qui mesure l'aire sous la courbe de $f$ entre $a$ et $b$, se calcule simplement comme $F(b) - F(a)$, où $F$ est une primitive de $f$. On peut ainsi calculer une aire, une distance parcourue à partir d'une vitesse, un volume écoulé à partir d'un débit, ou la valeur moyenne d'une grandeur. La difficulté principale est de reconnaître la forme d'une fonction pour lui associer la bonne primitive, sans confondre le sens de la dérivation.
$F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et $F' = f$.
Existence :
toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.
Unicité à une constante près :
si $F$ est une primitive de $f$, toutes les primitives de $f$ sont les fonctions $F + C$, où $C$ est une constante réelle. Une condition comme $F(0) = 2$ fixe la constante.
On lit les formules de dérivation à l'envers : pour $u$ dérivable,
Fonction
Une primitive
$u' \, \mathrm{e}^{u}$
$\mathrm{e}^{u}$
$\dfrac{u'}{u}$ (avec $u > 0$)
$\ln u$
$u' \, u^{n}$ ($n \neq -1$)
$\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$
$\dfrac{u'}{u^{2}}$ (avec $u \neq 0$)
$-\dfrac{1}{u}$
Une primitive d'une somme est la somme des primitives, et une primitive de $k\,f$ est $k$ fois une primitive de $f$.
Méthode : trouver une primitive
Repérer la forme : somme de fonctions usuelles, ou composée $u' \, g(u)$.
Pour une composée, identifier $u$, calculer $u'$ et vérifier qu'il apparaît (à un coefficient près) en facteur.
Ajuster le coefficient : si l'on obtient $3\,u'\mathrm{e}^{u}$ au lieu de $u'\mathrm{e}^{u}$, la primitive est $3\,\mathrm{e}^{u}$ ; si l'on a $\dfrac{u'}{2}\mathrm{e}^{u}$, c'est $\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{u}$.
Vérifier en dérivant le résultat : on doit retrouver $f$.
Compléter : $g(x) = 2x\,\mathrm{e}^{x^{2}}$ est de la forme $u' \mathrm{e}^{u}$ avec $u = …$ et $u' = …$, donc une primitive est $G(x) = …$
Compléter : $h(x) = \dfrac{2x + 1}{x^{2} + x + 3}$ est de la forme $\dfrac{u'}{u}$ avec $u = …$, qui est strictement positif car son discriminant vaut $… < 0$ ; une primitive est $H(x) = …$
Déterminer la primitive $F$ de $f(x) = 2x + 1$ qui vérifie $F(0) = 2$.
$u = x^{2}$ et $u' = 2x$ : $g = u' \mathrm{e}^{u}$, donc $G(x) = \mathrm{e}^{x^{2}}$.
$u = x^{2} + x + 3$, de discriminant $1 - 12 = -11 < 0$ et de coefficient dominant positif, donc $u > 0$ sur $\mathbb{R}$ ; $u' = 2x + 1$. Une primitive est $H(x) = \ln\left(x^{2} + x + 3\right)$.
Les primitives de $f$ sont $F(x) = x^{2} + x + C$. La condition $F(0) = 2$ donne $C = 2$ : $F(x) = x^{2} + x + 2$.
Exercice 2 — Primitives usuelles et composées (Tle)
Donner une primitive de chaque fonction sur l'intervalle indiqué, puis vérifier en dérivant.
a) $f(x) = x^{4} - 2x$ sur $\mathbb{R}$
b) $g(x) = \dfrac{5}{x}$ sur $\mathopen{]}0 \,;\, +\infty\mathclose{[}$
c) $h(x) = \dfrac{3}{x^{2}}$ sur $\mathopen{]}0 \,;\, +\infty\mathclose{[}$
d) $k(x) = (x + 1)^{3}$ sur $\mathbb{R}$
e) $m(x) = x\,\mathrm{e}^{x^{2}}$ sur $\mathbb{R}$
f) $n(x) = \dfrac{1}{2x + 1}$ sur $\left]-\dfrac{1}{2} \,;\, +\infty\right[$
l'intégrale de $f$ entre $a$ et $b$, notée $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$, est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites $x = a$ et $x = b$.
Théorème fondamental :
si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a \,;\, b]$, alors
$$\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x = \Big[F(x)\Big]_{a}^{b} = F(b) - F(a).$$
Le résultat ne dépend pas de la primitive choisie : la constante $C$ disparaît dans la différence.
Cas $f \leqslant 0$ :
l'intégrale est négative et vaut l'opposé de l'aire entre la courbe et l'axe.
$\displaystyle\int_{0}^{2} x^{2}\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = \dfrac{8}{3} - 0 = \dfrac{8}{3}$ : l'aire sous la parabole entre $0$ et $2$ vaut $\dfrac{8}{3}$ unités d'aire, soit environ $2{,}67$.
Exercice 3 — Calculer une intégrale, étape par étape (Tle)
Compléter : une primitive de $f(x) = 2x + 1$ est $F(x) = …$, donc $\displaystyle\int_{1}^{3} (2x + 1)\,\mathrm{d}x = \Big[…\Big]_{1}^{3} = F(3) - F(1) = … - … = …$
Retrouver ce résultat par un calcul d'aire : le domaine sous la droite $y = 2x + 1$ entre $x = 1$ et $x = 3$ est un trapèze.
Calculer :
a) $I = \displaystyle\int_{0}^{1} x^{2}\,\mathrm{d}x$
b) $J = \displaystyle\int_{0}^{\ln 2} \mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x$
c) $K = \displaystyle\int_{1}^{\mathrm{e}} \dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x$
Le trapèze a pour bases $f(1) = 3$ et $f(3) = 7$, et pour hauteur $3 - 1 = 2$ : aire $= \dfrac{(3 + 7) \times 2}{2} = 10$. Les deux calculs concordent. ✓
Sur $[0 \,;\, 2]$, $x^{2} - 3x = x(x - 3) \leqslant 0$ : la courbe est sous l'axe des abscisses. L'intégrale est négative et l'aire du domaine entre la courbe et l'axe vaut $\dfrac{10}{3}$ unités d'aire.
Propriétés de l'intégrale (Tle)
Pour $f$ et $g$ continues, $k$ réel :
Linéarité :
$\displaystyle\int_{a}^{b} \big(f(x) + g(x)\big)\mathrm{d}x = \int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x + \int_{a}^{b} g(x)\,\mathrm{d}x$ et $\displaystyle\int_{a}^{b} k\,f(x)\,\mathrm{d}x = k \int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$.
$\displaystyle\int_{a}^{a} f(x)\,\mathrm{d}x = 0$ et $\displaystyle\int_{b}^{a} f(x)\,\mathrm{d}x = -\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$.
Positivité et ordre :
si $f \geqslant 0$ sur $[a \,;\, b]$, alors $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x \geqslant 0$ ; si $f \leqslant g$ sur $[a \,;\, b]$, alors $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x \leqslant \int_{a}^{b} g(x)\,\mathrm{d}x$.
Valeur moyenne :
$\mu = \dfrac{1}{b - a} \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$ : c'est la hauteur du rectangle de largeur $b - a$ qui a la même aire que le domaine sous la courbe.
Exercice 4 — Utiliser les propriétés (Tle)
On sait que $\displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x = 5$ et $\displaystyle\int_{2}^{5} f(x)\,\mathrm{d}x = -1$.
Calculer $\displaystyle\int_{0}^{5} f(x)\,\mathrm{d}x$, $\displaystyle\int_{5}^{0} f(x)\,\mathrm{d}x$ et $\displaystyle\int_{0}^{2} \big(3f(x) + 1\big)\mathrm{d}x$.
Calculer la valeur moyenne de $f$ sur $[0 \,;\, 5]$.
Sans calculer d'intégrale, comparer $\displaystyle\int_{0}^{1} x^{2}\,\mathrm{d}x$ et $\displaystyle\int_{0}^{1} x\,\mathrm{d}x$. Vérifier ensuite par le calcul.
Sur $[0 \,;\, 1]$, $x^{2} \leqslant x$ (car $0 \leqslant x \leqslant 1$), donc $\displaystyle\int_{0}^{1} x^{2}\,\mathrm{d}x \leqslant \int_{0}^{1} x\,\mathrm{d}x$. Vérification : $\dfrac{1}{3} \leqslant \dfrac{1}{2}$. ✓
Exercice 5 — Aire entre deux courbes (Tle)
Soient $f(x) = x + 2$ et $g(x) = x^{2}$.
Montrer que $f(x) - g(x) = -(x - 2)(x + 1)$ et en déduire que $f(x) \geqslant g(x)$ sur $[-1 \,;\, 2]$.
L'aire du domaine compris entre les deux courbes sur $[-1 \,;\, 2]$ vaut $\displaystyle\int_{-1}^{2} \big(f(x) - g(x)\big)\mathrm{d}x$. Calculer cette aire.
▶ Solution — Exercice 5
$f(x) - g(x) = -x^{2} + x + 2$. Le trinôme $x^{2} - x - 2$ a pour racines $2$ et $-1$, donc $-x^{2} + x + 2 = -(x - 2)(x + 1)$. Sur $[-1 \,;\, 2]$, $x - 2 \leqslant 0$ et $x + 1 \geqslant 0$, donc $-(x - 2)(x + 1) \geqslant 0$ : $f(x) \geqslant g(x)$, la droite est au-dessus de la parabole.
Exercice 6 — Problème en contexte : vidange d'une cuve (Tle)
Une cuve se vide. Le débit d'écoulement, en litres par minute, à l'instant $t$ (en minutes) est $d(t) = 20\,\mathrm{e}^{-0{,}2t}$, pour $t \geqslant 0$. Le volume écoulé entre les instants $0$ et $T$ est $\displaystyle V(T) = \int_{0}^{T} d(t)\,\mathrm{d}t$.
Montrer que $D(t) = -100\,\mathrm{e}^{-0{,}2t}$ est une primitive de $d$.
Calculer le volume écoulé pendant les dix premières minutes (arrondir au dixième de litre).
En déduire le débit moyen sur ces dix minutes.
Calculer $\lim\limits_{T \to +\infty} V(T)$. Que représente cette limite ?
Débit moyen $= \dfrac{1}{10} V(10) \approx 8{,}65$ litres par minute (la valeur moyenne de $d$ sur $[0 \,;\, 10]$).
$V(T) = 100\left(1 - \mathrm{e}^{-0{,}2T}\right)$ et $\mathrm{e}^{-0{,}2T} \to 0$ quand $T \to +\infty$, donc $V(T) \to 100$. La cuve contenait $100$ litres : c'est le volume total qui finit par s'écouler, la vidange devenant de plus en plus lente.
Exercice 7 — Problème en contexte : de la vitesse à la distance (Tle)
Un mobile a pour vitesse, en mètres par seconde, $v(t) = -0{,}5t^{2} + 4t$ pour $t \in [0 \,;\, 8]$ (en secondes). La distance parcourue entre les instants $0$ et $8$ est $\displaystyle\int_{0}^{8} v(t)\,\mathrm{d}t$.
Vérifier que $v(t) \geqslant 0$ sur $[0 \,;\, 8]$ et déterminer l'instant où la vitesse est maximale.
Calculer la distance parcourue (valeur exacte puis arrondie au décimètre).
En déduire la vitesse moyenne sur le trajet.
▶ Solution — Exercice 7
$v(t) = t(4 - 0{,}5t)$ ; sur $[0 \,;\, 8]$, $t \geqslant 0$ et $4 - 0{,}5t \geqslant 0$, donc $v(t) \geqslant 0$. $v'(t) = -t + 4$ s'annule en $t = 4$ en passant du positif au négatif : la vitesse est maximale à $t = 4$ s et vaut $v(4) = -8 + 16 = 8$ m/s.
Vitesse moyenne $= \dfrac{1}{8} \times \dfrac{128}{3} = \dfrac{16}{3} \approx 5{,}3$ m/s. C'est la valeur moyenne de $v$ sur $[0 \,;\, 8]$, inférieure à la vitesse maximale de $8$ m/s.
Erreurs classiques à éviter
Erreur
Exemple faux
Correction
Dériver au lieu de « remonter »
primitive de $x^{3}$ : $3x^{2}$
$\dfrac{x^{4}}{4}$ : on augmente l'exposant, on divise par le nouvel exposant
Confondre $\dfrac{1}{x}$ et $\dfrac{1}{x^{2}}$
primitive de $\dfrac{1}{x}$ : $-\dfrac{1}{x^{2}}$
$\ln x$ (sur $\mathopen{]}0 \,;\, +\infty\mathclose{[}$) ; $-\dfrac{1}{x^{2}}$ est la dérivée
Oublier le coefficient de $u'$
primitive de $\mathrm{e}^{3x}$ : $\mathrm{e}^{3x}$
$\dfrac{1}{3}\mathrm{e}^{3x}$ : dériver pour vérifier
Si $f \leqslant 0$ sur $[a \,;\, b]$, alors $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$ :
A. est l'aire du domaine entre la courbe et l'axe
B. est positive
C. est nulle
D. est l'opposé de l'aire du domaine entre la courbe et l'axe
Une primitive de $x \mapsto \mathrm{e}^{2x}$ est :
A. $\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{2x}$
B. $\mathrm{e}^{2x}$
C. $2\mathrm{e}^{2x}$
D. $\mathrm{e}^{x^{2}}$
▶ Solution — Exercice 8
Réponse B. $\left(\dfrac{x^{4}}{4}\right)' = \dfrac{4x^{3}}{4} = x^{3}$.
A : c'est la dérivée de $x^{3}$, pas une primitive.
C : la dérivée de $x^{4}$ est $4x^{3}$, il manque la division par $4$.
D : la dérivée de $4x^{4}$ est $16x^{3}$.
Réponse C. $\Big[x^{2}\Big]_{0}^{1} = 1 - 0 = 1$. C'est l'aire du triangle de base $1$ et de hauteur $2$.
A : on a pris la valeur $2x$ en $x = 1$ sans intégrer.
B : confusion avec $\displaystyle\int_{0}^{1} x\,\mathrm{d}x = \dfrac{1}{2}$.
D : la fonction n'est pas nulle sur $[0 \,;\, 1]$, son intégrale non plus.
Réponse D. Une fonction négative donne une intégrale négative, égale à l'opposé de l'aire.
A : l'aire est positive, l'intégrale est négative.
B : le signe de l'intégrale suit celui de la fonction.
C : elle n'est nulle que si $f$ est nulle.
Réponse A. $\left(\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{2x}\right)' = \dfrac{1}{2} \times 2\mathrm{e}^{2x} = \mathrm{e}^{2x}$.
B : la dérivée de $\mathrm{e}^{2x}$ est $2\mathrm{e}^{2x}$, il manque le coefficient $\dfrac{1}{2}$.
C : c'est la dérivée de $\mathrm{e}^{2x}$.
D : la dérivée de $\mathrm{e}^{x^{2}}$ est $2x\,\mathrm{e}^{x^{2}}$.
Exercice 9 — Vrai ou faux ?
Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse et justifier :
Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle.
Deux primitives d'une même fonction sur un intervalle diffèrent d'une constante.
Si $F$ est une primitive de $f$, alors $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x = F(a) - F(b)$.
Si $f \geqslant 0$ sur $[a \,;\, b]$ (avec $a < b$), alors $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x \geqslant 0$.
Une primitive de $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ sur $\mathopen{]}0 \,;\, +\infty\mathclose{[}$ est $x \mapsto -\dfrac{1}{x^{2}}$.
$\displaystyle\int_{3}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x = 0$ pour toute fonction $f$ continue.
La valeur moyenne de $f$ sur $[a \,;\, b]$ est $\dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$.
$\displaystyle\int_{0}^{2} x\,\mathrm{d}x = 4$.
▶ Solution — Exercice 9
Vrai. C'est le théorème d'existence des primitives, admis en terminale.
Vrai. Si $F' = G' = f$, alors $(F - G)' = 0$, donc $F - G$ est constante sur l'intervalle.
Faux. C'est $F(b) - F(a)$ : la borne du haut d'abord. L'ordre inverse change le signe.
Vrai. C'est la positivité de l'intégrale : l'aire sous une courbe située au-dessus de l'axe est positive.
Faux. $-\dfrac{1}{x^{2}}$ est la dérivée de $\dfrac{1}{x}$. Une primitive de $\dfrac{1}{x}$ sur $\mathopen{]}0 \,;\, +\infty\mathclose{[}$ est $\ln x$.
Vrai. $F(3) - F(3) = 0$ : un domaine de largeur nulle a une aire nulle.
Vrai. C'est la définition : le rectangle de largeur $b - a$ et de hauteur $\mu$ a la même aire que le domaine sous la courbe.
Faux. $\displaystyle\int_{0}^{2} x\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{2} = 2$ : c'est l'aire d'un triangle de base $2$ et de hauteur $2$.