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La fonction exponentielle

1ʳᵉ
Définition et courbe · Propriétés algébriques, signe, variations, équations
La fonction exponentielle est la fonction qui décrit toutes les évolutions à vitesse proportionnelle à la quantité présente : intérêts composés, croissance d'une population, désintégration radioactive. Elle se reconnaît à une propriété unique : elle est égale à sa propre dérivée. On la note $\mathrm{e}^x$, elle est toujours strictement positive et strictement croissante. La difficulté principale est de manipuler ses propriétés algébriques sans les confondre avec celles des puissances usuelles.

Prérequis : Puissances, Dérivation. Pour s'entraîner : Exercices : fonction exponentielle.

Définition (1re)

La fonction exponentielle, notée $\exp$, est l'unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ qui vérifie $$\exp' = \exp \qquad \text{et} \qquad \exp(0) = 1.$$ On note $\exp(x) = \mathrm{e}^x$, où $\mathrm{e} = \exp(1) \approx 2{,}718$. Sa dérivée est elle-même : si $f(x) = \mathrm{e}^x$, alors $f'(x) = \mathrm{e}^x$.

Exercice 1 — Comprendre la définition (1re)
  1. Compléter : $\exp(0) = …$ ; $\exp(1) = \mathrm{e} \approx …$ ; la dérivée de la fonction $x \mapsto \mathrm{e}^x$ est …
  2. Soit $f(x) = \mathrm{e}^x$. Donner les valeurs exactes de $f'(0)$ et $f'(1)$, puis déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$.
  3. Montrer que la fonction $g(x) = 2\,\mathrm{e}^x$ vérifie $g' = g$. La fonction $h(x) = \mathrm{e}^x + 1$ vérifie-t-elle $h' = h$ ?
▶ Solution — Exercice 1
  1. $\exp(0) = 1$ ; $\exp(1) = \mathrm{e} \approx 2{,}718$ ; la dérivée de $x \mapsto \mathrm{e}^x$ est la fonction elle-même, $x \mapsto \mathrm{e}^x$.
  2. Comme $f' = f$, $f'(0) = \mathrm{e}^0 = 1$ et $f'(1) = \mathrm{e}^1 = \mathrm{e}$. La tangente au point d'abscisse $0$ a pour équation $y = f'(0)(x - 0) + f(0) = 1 \times x + 1 = x + 1$.
  3. D'après la formule $(k\,u)' = k\,u'$, $g'(x) = 2\,\mathrm{e}^x = g(x)$ : la fonction $g$ vérifie bien $g' = g$. En revanche, $h'(x) = \mathrm{e}^x + 0 = \mathrm{e}^x$, alors que $h(x) = \mathrm{e}^x + 1$ : on a $h' \neq h$, la constante ajoutée disparaît en dérivant.
Propriétés algébriques (1re)

Pour tous réels $a$ et $b$ et tout entier $n$ :

PropriétéFormule
Produit$\mathrm{e}^{a} \times \mathrm{e}^{b} = \mathrm{e}^{a+b}$
Inverse$\mathrm{e}^{-a} = \dfrac{1}{\mathrm{e}^{a}}$
Quotient$\dfrac{\mathrm{e}^{a}}{\mathrm{e}^{b}} = \mathrm{e}^{a-b}$
Puissance$\left(\mathrm{e}^{a}\right)^{n} = \mathrm{e}^{na}$

$\mathrm{e}^{3x} \times \mathrm{e}^{-x} = \mathrm{e}^{3x + (-x)} = \mathrm{e}^{2x}$.    $\dfrac{\mathrm{e}^{5}}{\mathrm{e}^{2}} = \mathrm{e}^{5 - 2} = \mathrm{e}^{3}$.    $\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{3} = \mathrm{e}^{3x}$.

Exercice 2 — Simplifier, étape par étape (1re)

Compléter chaque étape.

  1. $A = \dfrac{\mathrm{e}^{3} \times \mathrm{e}^{5}}{\mathrm{e}^{2}} = \dfrac{\mathrm{e}^{… + …}}{\mathrm{e}^{2}} = \dfrac{\mathrm{e}^{…}}{\mathrm{e}^{2}} = \mathrm{e}^{… - 2} = \mathrm{e}^{…}$
  2. $B = \left(\mathrm{e}^{2x}\right)^{2} \times \mathrm{e}^{-x} = \mathrm{e}^{…} \times \mathrm{e}^{-x} = \mathrm{e}^{… + (-x)} = \mathrm{e}^{…}$
▶ Solution — Exercice 2
  1. $A = \dfrac{\mathrm{e}^{3} \times \mathrm{e}^{5}}{\mathrm{e}^{2}} = \dfrac{\mathrm{e}^{3 + 5}}{\mathrm{e}^{2}} = \dfrac{\mathrm{e}^{8}}{\mathrm{e}^{2}} = \mathrm{e}^{8 - 2} = \mathrm{e}^{6}$. On a utilisé la règle du produit (on additionne les exposants), puis celle du quotient (on les soustrait).
  2. $B = \left(\mathrm{e}^{2x}\right)^{2} \times \mathrm{e}^{-x} = \mathrm{e}^{4x} \times \mathrm{e}^{-x} = \mathrm{e}^{4x + (-x)} = \mathrm{e}^{3x}$. On a utilisé la règle de la puissance (on multiplie l'exposant par $2$), puis celle du produit.
Exercice 3 — Simplifier avec les propriétés (1re)

Écrire chaque expression sous la forme $\mathrm{e}^{k}$, $\mathrm{e}^{kx}$ ou sous la forme la plus simple possible.

  • a) $A = \mathrm{e}^{4} \times \mathrm{e}^{-1}$
  • b) $B = \dfrac{\mathrm{e}^{7}}{\mathrm{e}^{3}}$
  • c) $C = \left(\mathrm{e}^{2x}\right)^{3}$
  • d) $D = \dfrac{\mathrm{e}^{5x} \times \mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{2x}}$
  • e) $E = \mathrm{e}^{x} \times \mathrm{e}^{-x}$
  • f) $F = \dfrac{1}{\mathrm{e}^{-2x}}$
  • g) $G = \dfrac{\mathrm{e}^{x + 1}}{\mathrm{e}}$
  • h) $H = \left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)\left(\mathrm{e}^{x} - 1\right)$
▶ Solution — Exercice 3
  1. $A = \mathrm{e}^{4} \times \mathrm{e}^{-1} = \mathrm{e}^{4 + (-1)} = \mathrm{e}^{3}$.
  2. $B = \dfrac{\mathrm{e}^{7}}{\mathrm{e}^{3}} = \mathrm{e}^{7 - 3} = \mathrm{e}^{4}$.
  3. $C = \left(\mathrm{e}^{2x}\right)^{3} = \mathrm{e}^{2x \times 3} = \mathrm{e}^{6x}$.
  4. $D = \dfrac{\mathrm{e}^{5x} \times \mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{2x}} = \dfrac{\mathrm{e}^{6x}}{\mathrm{e}^{2x}} = \mathrm{e}^{6x - 2x} = \mathrm{e}^{4x}$.
  5. $E = \mathrm{e}^{x} \times \mathrm{e}^{-x} = \mathrm{e}^{x + (-x)} = \mathrm{e}^{0} = 1$.
  6. $F = \dfrac{1}{\mathrm{e}^{-2x}} = \mathrm{e}^{2x}$, car l'inverse de $\mathrm{e}^{-2x}$ est $\mathrm{e}^{2x}$ (règle de l'inverse : $\mathrm{e}^{-a} = \dfrac{1}{\mathrm{e}^{a}}$).
  7. $G = \dfrac{\mathrm{e}^{x + 1}}{\mathrm{e}} = \dfrac{\mathrm{e}^{x} \times \mathrm{e}^{1}}{\mathrm{e}^{1}} = \mathrm{e}^{x}$. On peut aussi écrire $\mathrm{e}^{(x + 1) - 1} = \mathrm{e}^{x}$.
  8. $H$ est une identité remarquable $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ avec $a = \mathrm{e}^{x}$ et $b = 1$ : $H = \left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2} - 1 = \mathrm{e}^{2x} - 1$.
Signe et variations (1re)

Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^x > 0$ : la fonction exponentielle est toujours strictement positive. Comme sa dérivée $\mathrm{e}^x$ est elle aussi strictement positive, la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Sa courbe passe par le point $(0 \,;\, 1)$ et reste au-dessus de l'axe des abscisses.

Méthode : équations et inéquations

La fonction exponentielle étant strictement croissante, pour tous réels $a$ et $b$ : $$\mathrm{e}^{a} = \mathrm{e}^{b} \iff a = b \qquad \text{et} \qquad \mathrm{e}^{a} < \mathrm{e}^{b} \iff a < b.$$ On se ramène donc à une équation (ou une inéquation) du premier degré sur les exposants.

Résoudre $\mathrm{e}^{2x - 1} = \mathrm{e}^{5}$. Puisque l'exponentielle est strictement croissante : $\mathrm{e}^{2x-1} = \mathrm{e}^{5} \iff 2x - 1 = 5 \iff x = 3$.

Résoudre $\mathrm{e}^{x} > 1$. Comme $1 = \mathrm{e}^{0}$, on a $\mathrm{e}^{x} > \mathrm{e}^{0} \iff x > 0$. L'ensemble des solutions est $\mathopen{]}0 \,;\, +\infty\mathclose{[}$.

Exercice 4 — Résoudre des équations et des inéquations (1re)

Résoudre dans $\mathbb{R}$.

  • a) $\mathrm{e}^{3x - 2} = \mathrm{e}^{x + 4}$
  • b) $\mathrm{e}^{x} = 1$
  • c) $\mathrm{e}^{2x} \leqslant \mathrm{e}^{6}$
  • d) $\mathrm{e}^{x^2} = \mathrm{e}^{4}$
  • e) $\mathrm{e}^{2x + 1} > 1$
  • f) $\mathrm{e}^{x} \times \mathrm{e}^{3} = \mathrm{e}^{7}$
  • g) $\mathrm{e}^{-x} \geqslant \mathrm{e}^{2}$
▶ Solution — Exercice 4

Dans chaque cas, on utilise la stricte croissance de la fonction exponentielle : $\mathrm{e}^{a} = \mathrm{e}^{b} \iff a = b$ et $\mathrm{e}^{a} < \mathrm{e}^{b} \iff a < b$.

  1. $\mathrm{e}^{3x - 2} = \mathrm{e}^{x + 4} \iff 3x - 2 = x + 4 \iff 2x = 6 \iff x = 3$. $S = \{3\}$.
  2. Comme $1 = \mathrm{e}^{0}$ : $\mathrm{e}^{x} = \mathrm{e}^{0} \iff x = 0$. $S = \{0\}$.
  3. $\mathrm{e}^{2x} \leqslant \mathrm{e}^{6} \iff 2x \leqslant 6 \iff x \leqslant 3$. $S = \mathopen{]}-\infty \,;\, 3\mathclose{]}$.
  4. $\mathrm{e}^{x^2} = \mathrm{e}^{4} \iff x^2 = 4 \iff x = -2$ ou $x = 2$. $S = \{-2 \,;\, 2\}$. Attention à ne pas oublier la solution négative.
  5. Comme $1 = \mathrm{e}^{0}$ : $\mathrm{e}^{2x + 1} > \mathrm{e}^{0} \iff 2x + 1 > 0 \iff x > -\dfrac{1}{2}$. $S = \left]-\dfrac{1}{2} \,;\, +\infty\right[$.
  6. $\mathrm{e}^{x} \times \mathrm{e}^{3} = \mathrm{e}^{x + 3}$, donc $\mathrm{e}^{x + 3} = \mathrm{e}^{7} \iff x + 3 = 7 \iff x = 4$. $S = \{4\}$.
  7. $\mathrm{e}^{-x} \geqslant \mathrm{e}^{2} \iff -x \geqslant 2 \iff x \leqslant -2$. On a changé le sens de l'inégalité en multipliant par $-1$. $S = \mathopen{]}-\infty \,;\, -2\mathclose{]}$.
Exercice 5 — Signe et dérivée avec l'exponentielle (1re)
  1. Étudier le signe de $g(x) = (x - 2)\,\mathrm{e}^{x}$ sur $\mathbb{R}$.

  2. On considère $h(x) = x\,\mathrm{e}^{x}$, définie sur $\mathbb{R}$.

    1. Calculer $h'(x)$ et montrer que $h'(x) = (x + 1)\,\mathrm{e}^{x}$.
    2. Étudier le signe de $h'(x)$.
    3. Dresser le tableau de variations de $h$ et préciser la valeur exacte de son minimum, puis une valeur approchée au centième.
▶ Solution — Exercice 5

  1. Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^{x} > 0$. Le signe de $g(x)$ est donc celui du facteur $x - 2$, qui s'annule en $2$ :

    $g(x) < 0$ sur $\mathopen{]}-\infty \,;\, 2\mathclose{[}$, $g(2) = 0$ et $g(x) > 0$ sur $\mathopen{]}2 \,;\, +\infty\mathclose{[}$.

  2.  

    1. $h$ est un produit avec $u = x$ et $v = \mathrm{e}^{x}$, donc $u' = 1$ et $v' = \mathrm{e}^{x}$ :

      $$\begin{aligned}h'(x) &= u'v + uv' = 1 \times \mathrm{e}^{x} + x \times \mathrm{e}^{x} \\ h'(x) &= (1 + x)\,\mathrm{e}^{x} = (x + 1)\,\mathrm{e}^{x}.\end{aligned}$$

    2. Comme $\mathrm{e}^{x} > 0$, le signe de $h'(x)$ est celui de $x + 1$ : $h'(x) < 0$ pour $x < -1$, $h'(-1) = 0$ et $h'(x) > 0$ pour $x > -1$.

    3. La fonction $h$ est décroissante sur $\mathopen{]}-\infty \,;\, -1\mathclose{]}$ et croissante sur $\mathopen{[}-1 \,;\, +\infty\mathclose{[}$. Son minimum vaut $h(-1) = -1 \times \mathrm{e}^{-1} = -\dfrac{1}{\mathrm{e}} \approx -0{,}37$ :

Exercice 6 — Problème en contexte (1re)

Une population de bactéries, en milliers d'individus, est modélisée par $P(t) = 1000\,\mathrm{e}^{0{,}1 t}$, où $t$ est le temps en heures.

  1. Calculer la population initiale $P(0)$.
  2. Calculer $P(10)$ (arrondir à l'unité).
  3. Expliquer, sans dérivée, pourquoi la population est strictement croissante.
  4. Calculer le quotient $\dfrac{P(20)}{P(10)}$ et interpréter le résultat.
  5. Montrer que, pour tout $t \geqslant 0$, $P(t + 10) = \mathrm{e} \times P(t)$. Que signifie cette égalité ?
▶ Solution — Exercice 6
  1. $P(0) = 1000\,\mathrm{e}^{0} = 1000 \times 1 = 1000$, soit un million de bactéries (la population est en milliers).
  2. $P(10) = 1000\,\mathrm{e}^{0{,}1 \times 10} = 1000\,\mathrm{e}^{1} \approx 1000 \times 2{,}718 \approx 2718$.
  3. Lorsque $t$ augmente, l'exposant $0{,}1\,t$ augmente aussi ; or la fonction exponentielle est strictement croissante, donc $\mathrm{e}^{0{,}1 t}$ augmente, et $P(t)$ également. La population est donc strictement croissante.
  4. $\dfrac{P(20)}{P(10)} = \dfrac{1000\,\mathrm{e}^{2}}{1000\,\mathrm{e}^{1}} = \mathrm{e}^{2 - 1} = \mathrm{e} \approx 2{,}718$. Entre la dixième et la vingtième heure, la population est multipliée par $\mathrm{e}$, soit environ par $2{,}7$.
  5. $P(t + 10) = 1000\,\mathrm{e}^{0{,}1(t + 10)} = 1000\,\mathrm{e}^{0{,}1 t + 1} = 1000\,\mathrm{e}^{0{,}1 t} \times \mathrm{e}^{1} = \mathrm{e} \times P(t)$. Toutes les dix heures, quelle que soit l'heure de départ, la population est multipliée par le même facteur $\mathrm{e}$ : c'est la marque d'une croissance exponentielle.
Erreurs classiques à éviter
ErreurExemple fauxCorrection
Multiplier les exposants au lieu de les additionner$\mathrm{e}^{a} \times \mathrm{e}^{b} = \mathrm{e}^{ab}$$\mathrm{e}^{a} \times \mathrm{e}^{b} = \mathrm{e}^{a+b}$
Croire que $\mathrm{e}^x$ peut être nul ou négatif$\mathrm{e}^{x} = 0$ a une solution$\mathrm{e}^{x} > 0$ toujours, jamais nul
Confondre $\mathrm{e}^{a-b}$ et $\mathrm{e}^{a} - \mathrm{e}^{b}$$\dfrac{\mathrm{e}^a}{\mathrm{e}^b} = \mathrm{e}^a - \mathrm{e}^b$$\dfrac{\mathrm{e}^a}{\mathrm{e}^b} = \mathrm{e}^{a-b}$
Oublier que $1 = \mathrm{e}^{0}$« $\mathrm{e}^x = 1$ impossible »$\mathrm{e}^x = \mathrm{e}^0 \iff x = 0$
Exercice 7 — QCM (1re)

Pour chaque question, une seule réponse est correcte.

  1. $\mathrm{e}^{3} \times \mathrm{e}^{4}$ est égal à :

    • A. $\mathrm{e}^{12}$
    • B. $\mathrm{e}^{7}$
    • C. $2\,\mathrm{e}^{7}$
    • D. $\mathrm{e}^{34}$

  2. L'équation $\mathrm{e}^{x} = 0$ :

    • A. a pour solution $x = 0$
    • B. a pour solution $x = 1$
    • C. a une infinité de solutions
    • D. n'a aucune solution

  3. $\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}$ est égal à :

    • A. $\mathrm{e}^{2x}$
    • B. $\mathrm{e}^{x^2}$
    • C. $2\,\mathrm{e}^{x}$
    • D. $\mathrm{e}^{x + 2}$

  4. L'inéquation $\mathrm{e}^{2x - 1} < \mathrm{e}^{3}$ équivaut à :

    • A. $2x - 1 > 3$
    • B. $x < 3$
    • C. $x < 2$
    • D. $x < 1$
▶ Solution — Exercice 7

  1. Réponse B. $\mathrm{e}^{3} \times \mathrm{e}^{4} = \mathrm{e}^{3 + 4} = \mathrm{e}^{7}$ : on additionne les exposants.

    • A ($\mathrm{e}^{12}$) : les exposants ont été multipliés.
    • C ($2\,\mathrm{e}^{7}$) : un coefficient $2$ est apparu sans raison (confusion avec une somme $\mathrm{e}^{7} + \mathrm{e}^{7} = 2\,\mathrm{e}^{7}$).
    • D ($\mathrm{e}^{34}$) : les exposants ont été « accolés ».

  2. Réponse D. Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^{x} > 0$ : l'exponentielle ne s'annule jamais.

    • A : confusion avec $\mathrm{e}^{0} = 1$ (et non $0$).
    • B : confusion avec $\mathrm{e}^{1} = \mathrm{e}$.
    • C : la courbe ne touche jamais l'axe des abscisses, il n'y a aucune solution.

  3. Réponse A. $\left(\mathrm{e}^{a}\right)^{n} = \mathrm{e}^{na}$, donc $\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2} = \mathrm{e}^{2x}$.

    • B ($\mathrm{e}^{x^2}$) : la puissance a été appliquée à l'exposant. Pour $x = 3$, $\left(\mathrm{e}^{3}\right)^{2} = \mathrm{e}^{6}$ alors que $\mathrm{e}^{3^2} = \mathrm{e}^{9}$.
    • C ($2\,\mathrm{e}^{x}$) : le carré a été confondu avec le double.
    • D ($\mathrm{e}^{x + 2}$) : on a ajouté $2$ à l'exposant au lieu de le multiplier par $2$.

  4. Réponse C. Par stricte croissance, $\mathrm{e}^{2x - 1} < \mathrm{e}^{3} \iff 2x - 1 < 3 \iff 2x < 4 \iff x < 2$.

    • A : le sens de l'inégalité a été inversé ; l'exponentielle est croissante, elle conserve l'ordre.
    • B : on a comparé $x$ à $3$ sans tenir compte de l'exposant $2x - 1$.
    • D : erreur de calcul, $2x - 1 < 3$ donne $2x < 4$ et non $2x < 2$.
Exercice 8 — Vrai ou faux ?

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse et justifier :

  1. $\mathrm{e}^{-x}$ est négatif pour tout réel $x$.
  2. Pour tous réels $a$ et $b$, $\mathrm{e}^{a + b} = \mathrm{e}^{a} + \mathrm{e}^{b}$.
  3. La fonction exponentielle est croissante sur $\mathbb{R}$.
  4. $\mathrm{e}^{2x} = \left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}$.
  5. La courbe de la fonction exponentielle coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse $0$.
  6. Si $\mathrm{e}^{a} = \mathrm{e}^{b}$, alors $a = b$.
  7. $\mathrm{e}^{x} \times \mathrm{e}^{-x} = 0$.
  8. La dérivée de la fonction $x \mapsto 5\,\mathrm{e}^{x}$ est $x \mapsto 5\,\mathrm{e}^{x}$.
▶ Solution — Exercice 8
  1. Faux. $\mathrm{e}^{-x} = \dfrac{1}{\mathrm{e}^{x}}$ est l'inverse d'un nombre strictement positif : il est strictement positif. Le signe moins dans l'exposant ne rend pas le résultat négatif.
  2. Faux. La règle est $\mathrm{e}^{a + b} = \mathrm{e}^{a} \times \mathrm{e}^{b}$. Contre-exemple avec $a = b = 0$ : $\mathrm{e}^{0} = 1$, alors que $\mathrm{e}^{0} + \mathrm{e}^{0} = 2$.
  3. Vrai. Sa dérivée est $\mathrm{e}^{x} > 0$ pour tout $x$, donc la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
  4. Vrai. $\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2} = \mathrm{e}^{2x}$ d'après la règle $\left(\mathrm{e}^{a}\right)^{n} = \mathrm{e}^{na}$.
  5. Faux. La courbe ne coupe jamais l'axe des abscisses, car $\mathrm{e}^{x} > 0$ pour tout $x$. Au point d'abscisse $0$, elle coupe l'axe des ordonnées, au point de coordonnées $(0 \,;\, 1)$.
  6. Vrai. La fonction exponentielle est strictement croissante, donc deux réels différents ont des images différentes : $\mathrm{e}^{a} = \mathrm{e}^{b}$ impose $a = b$.
  7. Faux. $\mathrm{e}^{x} \times \mathrm{e}^{-x} = \mathrm{e}^{x + (-x)} = \mathrm{e}^{0} = 1$. Un produit de deux nombres strictement positifs ne peut pas être nul.
  8. Vrai. D'après la formule $(k\,u)' = k\,u'$ et $\left(\mathrm{e}^{x}\right)' = \mathrm{e}^{x}$, la dérivée de $5\,\mathrm{e}^{x}$ est $5\,\mathrm{e}^{x}$.

Tu bloques sur un exercice ? Consulte la fiche Que faire quand je bloque ?
Tu veux retenir durablement ces méthodes ? Consulte la fiche Mémorisation et sciences cognitives.
Tu fais souvent les mêmes erreurs ? Remplis ton Carnet d'erreurs.

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