La fonction exponentielle

La fonction exponentielle est la fonction qui décrit toutes les évolutions à vitesse proportionnelle à la quantité présente : intérêts composés, croissance d'une population, désintégration radioactive. Elle se reconnaît à une propriété unique : elle est égale à sa propre dérivée. On la note $\mathrm{e}^x$, elle est toujours strictement positive et strictement croissante. La difficulté principale est de manipuler ses propriétés algébriques sans les confondre avec celles des puissances usuelles.

Définition (1^re)

La fonction exponentielle, notée $\exp$, est l'unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ qui vérifie $$\exp' = \exp \qquad \text{et} \qquad \exp(0) = 1.$$ On note $\exp(x) = \mathrm{e}^x$, où $\mathrm{e} = \exp(1) \approx 2{,}718$. Sa dérivée est elle-même : si $f(x) = \mathrm{e}^x$, alors $f'(x) = \mathrm{e}^x$.

Propriétés algébriques (1^re)

Pour tous réels $a$ et $b$ et tout entier $n$ :

Propriété	Formule
Produit	$\mathrm{e}^{a} \times \mathrm{e}^{b} = \mathrm{e}^{a+b}$
Inverse	$\mathrm{e}^{-a} = \dfrac{1}{\mathrm{e}^{a}}$
Quotient	$\dfrac{\mathrm{e}^{a}}{\mathrm{e}^{b}} = \mathrm{e}^{a-b}$
Puissance	$\left(\mathrm{e}^{a}\right)^{n} = \mathrm{e}^{na}$

$\mathrm{e}^{3x} \times \mathrm{e}^{-x} = \mathrm{e}^{3x + (-x)} = \mathrm{e}^{2x}$. $\dfrac{\mathrm{e}^{5}}{\mathrm{e}^{2}} = \mathrm{e}^{5 - 2} = \mathrm{e}^{3}$. $\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{3} = \mathrm{e}^{3x}$.

Signe et variations (1^re)

Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^x > 0$ : la fonction exponentielle est toujours strictement positive. Comme sa dérivée $\mathrm{e}^x$ est elle aussi strictement positive, la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Sa courbe passe par le point $(0 \,;\, 1)$ et reste au-dessus de l'axe des abscisses.

Méthode : équations et inéquations

La fonction exponentielle étant strictement croissante, pour tous réels $a$ et $b$ : $$\mathrm{e}^{a} = \mathrm{e}^{b} \iff a = b \qquad \text{et} \qquad \mathrm{e}^{a} < \mathrm{e}^{b} \iff a < b.$$ On se ramène donc à une équation (ou une inéquation) du premier degré sur les exposants.

Résoudre $\mathrm{e}^{2x - 1} = \mathrm{e}^{5}$. Puisque l'exponentielle est strictement croissante : $\mathrm{e}^{2x-1} = \mathrm{e}^{5} \iff 2x - 1 = 5 \iff x = 3$.

Résoudre $\mathrm{e}^{x} > 1$. Comme $1 = \mathrm{e}^{0}$, on a $\mathrm{e}^{x} > \mathrm{e}^{0} \iff x > 0$. L'ensemble des solutions est $\mathopen{]}0 \,;\, +\infty\mathclose{[}$.

Exercice 1 — Simplifier avec les propriétés

Écrire chaque expression sous la forme $\mathrm{e}^{k}$ ou $\mathrm{e}^{kx}$.

a) $\mathrm{e}^{4} \times \mathrm{e}^{-1}$
b) $\dfrac{\mathrm{e}^{7}}{\mathrm{e}^{3}}$
c) $\left(\mathrm{e}^{2x}\right)^{3}$
d) $\dfrac{\mathrm{e}^{5x} \times \mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{2x}}$

▶ Solution — Exercice 1

$\mathrm{e}^{4} \times \mathrm{e}^{-1} = \mathrm{e}^{4 + (-1)} = \mathrm{e}^{3}$.
$\dfrac{\mathrm{e}^{7}}{\mathrm{e}^{3}} = \mathrm{e}^{7 - 3} = \mathrm{e}^{4}$.
$\left(\mathrm{e}^{2x}\right)^{3} = \mathrm{e}^{2x \times 3} = \mathrm{e}^{6x}$.
$\dfrac{\mathrm{e}^{5x} \times \mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{2x}} = \dfrac{\mathrm{e}^{6x}}{\mathrm{e}^{2x}} = \mathrm{e}^{6x - 2x} = \mathrm{e}^{4x}$.

Exercice 2 — Résoudre des équations et des inéquations

Résoudre dans $\mathbb{R}$.

$\mathrm{e}^{3x - 2} = \mathrm{e}^{x + 4}$.
$\mathrm{e}^{x} = 1$.
$\mathrm{e}^{2x} \leqslant \mathrm{e}^{6}$.

▶ Solution — Exercice 2

$\mathrm{e}^{3x - 2} = \mathrm{e}^{x + 4} \iff 3x - 2 = x + 4 \iff 2x = 6 \iff x = 3$.
Comme $1 = \mathrm{e}^{0}$, $\mathrm{e}^{x} = \mathrm{e}^{0} \iff x = 0$.
$\mathrm{e}^{2x} \leqslant \mathrm{e}^{6} \iff 2x \leqslant 6 \iff x \leqslant 3$. L'ensemble des solutions est $\mathopen{]}-\infty \,;\, 3\mathclose{]}$.

Exercice 3 — Synthèse

4 pts

Une population de bactéries, en milliers, est modélisée par $P(t) = 1000\,\mathrm{e}^{0{,}1 t}$, où $t$ est le temps en heures.

Calculer la population initiale $P(0)$.
Calculer $P(10)$ (arrondir à l'unité).
Expliquer, sans dérivée, pourquoi la population est strictement croissante.

▶ Solution — Exercice 3

$P(0) = 1000\,\mathrm{e}^{0} = 1000 \times 1 = 1000$ (en milliers).
$P(10) = 1000\,\mathrm{e}^{0{,}1 \times 10} = 1000\,\mathrm{e}^{1} \approx 1000 \times 2{,}718 \approx 2718$.
Lorsque $t$ augmente, l'exposant $0{,}1\,t$ augmente aussi ; or la fonction exponentielle est strictement croissante, donc $\mathrm{e}^{0{,}1 t}$ augmente, et $P(t)$ également. La population est donc strictement croissante.

Erreurs classiques à éviter

Erreur	Exemple faux	Correction
Multiplier les exposants au lieu de les additionner	$\mathrm{e}^{a} \times \mathrm{e}^{b} = \mathrm{e}^{ab}$	$\mathrm{e}^{a} \times \mathrm{e}^{b} = \mathrm{e}^{a+b}$
Croire que $\mathrm{e}^x$ peut être nul ou négatif	$\mathrm{e}^{x} = 0$ a une solution	$\mathrm{e}^{x} > 0$ toujours, jamais nul
Confondre $\mathrm{e}^{a-b}$ et $\mathrm{e}^{a} - \mathrm{e}^{b}$	$\dfrac{\mathrm{e}^a}{\mathrm{e}^b} = \mathrm{e}^a - \mathrm{e}^b$	$\dfrac{\mathrm{e}^a}{\mathrm{e}^b} = \mathrm{e}^{a-b}$
Oublier que $1 = \mathrm{e}^{0}$	« $\mathrm{e}^x = 1$ impossible »	$\mathrm{e}^x = \mathrm{e}^0 \iff x = 0$