Accueil › Maîtriser les primitives et les intégrales

Maîtriser les primitives et les intégrales

Fiche de cours : Primitives et intégrales.

Pourquoi cette fiche ?

Chercher une primitive, c'est dériver à l'envers : la plupart des erreurs viennent de ce renversement, quand on dérive au lieu de remonter, quand on oublie le coefficient qui compense la dérivée intérieure, ou quand on confond $\dfrac{1}{x}$ et $\dfrac{1}{x^{2}}$. Calculer une intégrale ajoute une seule étape, $F(b) - F(a)$, mais demande de garder le sens des signes : une intégrale peut être négative alors qu'une aire ne l'est jamais.

Cette fiche isole chaque geste : les primitives usuelles, la détection des erreurs classiques, la reconnaissance des formes $u'\,g(u)$, le choix de la primitive qui vérifie une condition, le calcul d'intégrales, les aires, les propriétés, puis un problème où l'intégrale mesure une quantité accumulée.

Remonter d'une dérivée à une primitive

Le réflexe de vérification

Une primitive proposée se vérifie toujours en la dérivant : on doit retrouver exactement la fonction de départ. Ce contrôle prend dix secondes et élimine la quasi-totalité des erreurs.

Exercice 1 — Primitives usuelles

Donner une primitive de chaque fonction (sur $\mathopen{]}0 \,;\, +\infty\mathclose{[}$ lorsque c'est nécessaire).

  • a) $f(x) = x^{5}$
  • b) $g(x) = 3$
  • c) $h(x) = \dfrac{1}{x^{2}}$
  • d) $k(x) = \mathrm{e}^{x}$
  • e) $m(x) = \dfrac{1}{x}$
  • f) $n(x) = 4x^{3} - 2x + 7$
▶ Solution — Exercice 1
  1. $F(x) = \dfrac{x^{6}}{6}$.
  2. $G(x) = 3x$.
  3. $H(x) = -\dfrac{1}{x}$.
  4. $K(x) = \mathrm{e}^{x}$.
  5. $M(x) = \ln x$.
  6. $N(x) = x^{4} - x^{2} + 7x$.

Chaque réponse se vérifie en dérivant : par exemple $\left(x^{4} - x^{2} + 7x\right)' = 4x^{3} - 2x + 7$. ✓

Exercice 2 — Démasquer l'erreur

Chaque affirmation contient une erreur. La repérer, l'expliquer, puis donner une primitive correcte.

  1. « Une primitive de $x^{2}$ est $2x$. »
  2. « Une primitive de $\mathrm{e}^{5x}$ est $\mathrm{e}^{5x}$. »
  3. « Une primitive de $\dfrac{1}{x}$ sur $\mathopen{]}0 \,;\, +\infty\mathclose{[}$ est $-\dfrac{1}{x^{2}}$. »
  4. « Une primitive de $(2x + 3)^{4}$ est $\dfrac{(2x + 3)^{5}}{5}$. »
▶ Solution — Exercice 2
  1. $2x$ est la dérivée de $x^{2}$. Une primitive est $\dfrac{x^{3}}{3}$, dont la dérivée est $x^{2}$.
  2. La dérivée de $\mathrm{e}^{5x}$ est $5\mathrm{e}^{5x}$, pas $\mathrm{e}^{5x}$ : il manque le coefficient compensateur. Une primitive est $\dfrac{1}{5}\mathrm{e}^{5x}$.
  3. $-\dfrac{1}{x^{2}}$ est la dérivée de $\dfrac{1}{x}$. Une primitive de $\dfrac{1}{x}$ est $\ln x$.
  4. La dérivée de $\dfrac{(2x + 3)^{5}}{5}$ est $\dfrac{5 \times 2 (2x + 3)^{4}}{5} = 2(2x + 3)^{4}$ : il manque le facteur $\dfrac{1}{2}$ qui compense $u' = 2$. Une primitive est $\dfrac{(2x + 3)^{5}}{10}$.
Reconnaître la forme $u'\,g(u)$

Repérer une fonction « intérieure » $u$, calculer $u'$, vérifier qu'il apparaît en facteur (à un coefficient près). Formes à connaître : $u'\mathrm{e}^{u} \to \mathrm{e}^{u}$ ; $\dfrac{u'}{u} \to \ln u$ ($u > 0$) ; $u' u^{n} \to \dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ ; $\dfrac{u'}{u^{2}} \to -\dfrac{1}{u}$.

Exercice 3 — Reconnaître la forme $u'\,g(u)$

Donner une primitive de chaque fonction sur l'intervalle indiqué.

  • a) $f(x) = \dfrac{x}{x^{2} + 1}$ sur $\mathbb{R}$
  • b) $g(x) = 3x^{2}\,\mathrm{e}^{x^{3}}$ sur $\mathbb{R}$
  • c) $h(x) = 2x\left(x^{2} + 1\right)^{3}$ sur $\mathbb{R}$
  • d) $k(x) = \dfrac{1}{3x - 2}$ sur $\left]\dfrac{2}{3} \,;\, +\infty\right[$
  • e) $m(x) = \mathrm{e}^{-x}$ sur $\mathbb{R}$
  • f) $n(x) = \dfrac{2x + 2}{\left(x^{2} + 2x + 5\right)^{2}}$ sur $\mathbb{R}$
▶ Solution — Exercice 3
  1. $u = x^{2} + 1 > 0$, $u' = 2x$ : $f = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{u'}{u}$, donc $F(x) = \dfrac{1}{2}\ln\left(x^{2} + 1\right)$.
  2. $u = x^{3}$, $u' = 3x^{2}$ : $g = u'\mathrm{e}^{u}$, donc $G(x) = \mathrm{e}^{x^{3}}$.
  3. $u = x^{2} + 1$, $u' = 2x$ : $h = u' u^{3}$, donc $H(x) = \dfrac{\left(x^{2} + 1\right)^{4}}{4}$.
  4. $u = 3x - 2 > 0$, $u' = 3$ : $k = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{u'}{u}$, donc $K(x) = \dfrac{1}{3}\ln(3x - 2)$.
  5. $u = -x$, $u' = -1$ : $m = -u'\mathrm{e}^{u}$, donc $M(x) = -\mathrm{e}^{-x}$. Vérification : $\left(-\mathrm{e}^{-x}\right)' = -(-1)\mathrm{e}^{-x} = \mathrm{e}^{-x}$. ✓
  6. $u = x^{2} + 2x + 5$ (discriminant $4 - 20 < 0$, donc $u > 0$), $u' = 2x + 2$ : $n = \dfrac{u'}{u^{2}}$, donc $N(x) = -\dfrac{1}{x^{2} + 2x + 5}$.
Exercice 4 — La primitive qui vérifie une condition
  1. Déterminer la primitive $F$ de $f(x) = 3x^{2} - 1$ telle que $F(1) = 0$.
  2. Déterminer la primitive $G$ de $g(x) = \mathrm{e}^{2x}$ telle que $G(0) = 1$.
  3. Déterminer la primitive $H$ de $h(x) = \dfrac{1}{x}$ sur $\mathopen{]}0 \,;\, +\infty\mathclose{[}$ telle que $H(\mathrm{e}) = 3$.
▶ Solution — Exercice 4
  1. Les primitives sont $F(x) = x^{3} - x + C$. $F(1) = 1 - 1 + C = C = 0$, donc $F(x) = x^{3} - x$.
  2. $G(x) = \dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{2x} + C$ et $G(0) = \dfrac{1}{2} + C = 1$, donc $C = \dfrac{1}{2}$ : $G(x) = \dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{2x} + \dfrac{1}{2}$.
  3. $H(x) = \ln x + C$ et $H(\mathrm{e}) = 1 + C = 3$, donc $C = 2$ : $H(x) = \ln x + 2$.

Calculer des intégrales et des aires

Le théorème fondamental

$\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x = \Big[F(x)\Big]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$ : on écrit la primitive entre crochets, puis borne du haut moins borne du bas. Si $f \geqslant 0$, c'est l'aire sous la courbe ; si $f \leqslant 0$, c'est l'opposé de l'aire.

Exercice 5 — Calculer des intégrales
  • a) $I = \displaystyle\int_{1}^{2} \left(3x^{2} - 2x\right)\mathrm{d}x$
  • b) $J = \displaystyle\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{2x}\,\mathrm{d}x$
  • c) $K = \displaystyle\int_{1}^{4} \dfrac{1}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x$
  • d) $L = \displaystyle\int_{2}^{3} \dfrac{1}{x - 1}\,\mathrm{d}x$
  • e) $M = \displaystyle\int_{-1}^{1} x^{3}\,\mathrm{d}x$
  • f) $N = \displaystyle\int_{0}^{4} \left(x^{2} - 4x\right)\mathrm{d}x$
▶ Solution — Exercice 5
  1. $I = \Big[x^{3} - x^{2}\Big]_{1}^{2} = (8 - 4) - (1 - 1) = 4$.
  2. $J = \left[\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{2x}\right]_{0}^{1} = \dfrac{\mathrm{e}^{2}}{2} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{\mathrm{e}^{2} - 1}{2} \approx 3{,}19$.
  3. $K = \Big[2\sqrt{x}\Big]_{1}^{4} = 2 \times 2 - 2 \times 1 = 2$.
  4. $L = \Big[\ln(x - 1)\Big]_{2}^{3} = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 \approx 0{,}69$.
  5. $M = \left[\dfrac{x^{4}}{4}\right]_{-1}^{1} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4} = 0$ : la courbe de $x^{3}$ est symétrique par rapport à l'origine, les deux aires (sous l'axe puis au-dessus) se compensent.
  6. $N = \left[\dfrac{x^{3}}{3} - 2x^{2}\right]_{0}^{4} = \dfrac{64}{3} - 32 = -\dfrac{32}{3}$ : sur $[0 \,;\, 4]$, $x^{2} - 4x = x(x - 4) \leqslant 0$, la courbe est sous l'axe, l'aire du domaine vaut $\dfrac{32}{3}$.
Exercice 6 — Aires

Soient $f(x) = 4 - x^{2}$ et $g(x) = x^{2}$.

  1. Calculer l'aire du domaine compris entre la courbe de $f$ et l'axe des abscisses sur $[-2 \,;\, 2]$.
  2. Résoudre $f(x) \geqslant g(x)$. En déduire l'aire du domaine compris entre les deux courbes (valeur exacte puis arrondie au centième).
▶ Solution — Exercice 6
  1. Sur $[-2 \,;\, 2]$, $f(x) = 4 - x^{2} \geqslant 0$. $\mathcal{A}_{1} = \displaystyle\int_{-2}^{2} \left(4 - x^{2}\right)\mathrm{d}x = \left[4x - \dfrac{x^{3}}{3}\right]_{-2}^{2} = \left(8 - \dfrac{8}{3}\right) - \left(-8 + \dfrac{8}{3}\right) = 16 - \dfrac{16}{3} = \dfrac{32}{3} \approx 10{,}67$ unités d'aire.
  2. $4 - x^{2} \geqslant x^{2} \iff x^{2} \leqslant 2 \iff -\sqrt{2} \leqslant x \leqslant \sqrt{2}$. Sur cet intervalle, la parabole $f$ est au-dessus de $g$ : $$\mathcal{A}_{2} = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \left(4 - 2x^{2}\right)\mathrm{d}x = \left[4x - \dfrac{2x^{3}}{3}\right]_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} = 2\left(4\sqrt{2} - \dfrac{2 \times 2\sqrt{2}}{3}\right) = 2 \times \dfrac{8\sqrt{2}}{3} = \dfrac{16\sqrt{2}}{3} \approx 7{,}54.$$ (On a utilisé $\left(\sqrt{2}\right)^{3} = 2\sqrt{2}$ et la symétrie des bornes.)

Propriétés et applications

Exercice 7 — Utiliser les propriétés

On sait que $\displaystyle\int_{1}^{4} f(x)\,\mathrm{d}x = 6$ et $\displaystyle\int_{1}^{4} g(x)\,\mathrm{d}x = -2$.

  1. Calculer $\displaystyle\int_{1}^{4} \big(2f(x) - g(x)\big)\mathrm{d}x$, $\displaystyle\int_{4}^{1} f(x)\,\mathrm{d}x$ et $\displaystyle\int_{1}^{4} \big(f(x) + 3\big)\mathrm{d}x$.
  2. Donner la valeur moyenne de $f$ sur $[1 \,;\, 4]$.
  3. Sans calculer, encadrer $\displaystyle\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x^{2}}\,\mathrm{d}x$ en encadrant d'abord $\mathrm{e}^{x^{2}}$ sur $[0 \,;\, 1]$.
▶ Solution — Exercice 7
  1. Linéarité : $2 \times 6 - (-2) = 14$. Bornes échangées : $-6$. Linéarité avec la constante : $6 + 3 \times (4 - 1) = 6 + 9 = 15$.
  2. $\mu = \dfrac{1}{4 - 1} \times 6 = 2$.
  3. Pour $0 \leqslant x \leqslant 1$, $0 \leqslant x^{2} \leqslant 1$, donc $1 \leqslant \mathrm{e}^{x^{2}} \leqslant \mathrm{e}$. Par croissance de l'intégrale, $\displaystyle\int_{0}^{1} 1\,\mathrm{d}x \leqslant \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x^{2}}\,\mathrm{d}x \leqslant \int_{0}^{1} \mathrm{e}\,\mathrm{d}x$, soit $1 \leqslant \displaystyle\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x^{2}}\,\mathrm{d}x \leqslant \mathrm{e} \approx 2{,}72$. (Cette intégrale n'a pas de primitive exprimable avec les fonctions usuelles : l'encadrement est la seule voie.)
Exercice 8 — Une quantité accumulée

Le nombre de naissances par an dans une population est modélisé par $r(t) = 100\,\mathrm{e}^{0{,}05t}$, où $t$ est le temps en années depuis 2025. Le nombre total de naissances entre les instants $0$ et $10$ est $\displaystyle\int_{0}^{10} r(t)\,\mathrm{d}t$.

  1. Donner une primitive de $r$.
  2. Calculer le nombre total de naissances sur la période 2025-2035 (arrondir à l'unité).
  3. En déduire le nombre moyen de naissances par an sur cette période. Comparer avec $r(0)$ et $r(10)$.
▶ Solution — Exercice 8
  1. $u = 0{,}05t$, $u' = 0{,}05$ : $r = \dfrac{100}{0{,}05} \times 0{,}05\,\mathrm{e}^{0{,}05t}$, donc $R(t) = 2000\,\mathrm{e}^{0{,}05t}$. Vérification : $R'(t) = 2000 \times 0{,}05\,\mathrm{e}^{0{,}05t} = 100\,\mathrm{e}^{0{,}05t}$. ✓
  2. $\displaystyle\int_{0}^{10} r(t)\,\mathrm{d}t = \Big[2000\,\mathrm{e}^{0{,}05t}\Big]_{0}^{10} = 2000\left(\mathrm{e}^{0{,}5} - 1\right) \approx 1297$ naissances.
  3. Moyenne : $\dfrac{1297}{10} \approx 130$ naissances par an. C'est compris entre $r(0) = 100$ et $r(10) = 100\,\mathrm{e}^{0{,}5} \approx 165$ : la valeur moyenne d'une fonction croissante est comprise entre ses valeurs aux bornes.

Pour s'auto-évaluer

Cinq questions à se poser
  • Ai-je remonté (exposant $+1$, division par le nouvel exposant) et non dérivé ?
  • Ai-je dérivé ma primitive pour vérifier qu'elle redonne exactement la fonction ?
  • Pour une forme $u'\,g(u)$, ai-je ajusté le coefficient qui compense $u'$ ?
  • Dans $F(b) - F(a)$, ai-je bien mis la borne du haut en premier ?
  • Si la fonction est négative, ai-je distingué l'intégrale (négative) de l'aire (positive) ?
← Retour aux fiches
© eduLaTeX 2026