Pourquoi cette fiche ?
Les équations différentielles de terminale se résolvent avec deux formules seulement, et c'est précisément ce qui rend les erreurs si fréquentes : on applique la formule sans avoir mis l'équation sous la bonne forme, on oublie la constante, on prend $b$ pour la solution constante, ou l'on calcule $C$ comme si la constante d'équilibre n'existait pas.
Cette fiche isole chaque geste : vérifier qu'une fonction est solution, résoudre $y' = ay$ avec une condition initiale, démasquer les erreurs classiques, résoudre $y' = ay + b$ dans toutes ses écritures, exploiter une solution particulière, étudier une solution, puis modéliser deux situations concrètes, dont l'une fait intervenir le logarithme pour remonter le temps.
Vérifier
Deux calculs séparés
On calcule d'un côté $f'(x)$, de l'autre le membre de droite avec $f$ à la place de $y$, et l'on compare. Ne jamais partir de l'égalité à démontrer.
- $f(x) = 5\,\mathrm{e}^{-2x}$ est-elle solution de $y' = -2y$ ?
- $g(x) = 2\,\mathrm{e}^{3x} - 1$ est-elle solution de $y' = 3y + 3$ ?
- $h(x) = \mathrm{e}^{x} + x + 1$ est-elle solution de $y' = y - x$ ?
- $k(x) = (x + 1)\,\mathrm{e}^{x}$ est-elle solution de $y' = y + \mathrm{e}^{x}$ ? de $y' = y + x\,\mathrm{e}^{x}$ ?
▶ Solution — Exercice 1
- $f'(x) = -10\,\mathrm{e}^{-2x}$ et $-2f(x) = -10\,\mathrm{e}^{-2x}$ : oui.
- $g'(x) = 6\,\mathrm{e}^{3x}$ et $3g(x) + 3 = 6\,\mathrm{e}^{3x} - 3 + 3 = 6\,\mathrm{e}^{3x}$ : oui.
- $h'(x) = \mathrm{e}^{x} + 1$ et $h(x) - x = \mathrm{e}^{x} + 1$ : oui.
- $k'(x) = \mathrm{e}^{x} + (x + 1)\,\mathrm{e}^{x} = k(x) + \mathrm{e}^{x}$ : solution de la première. Pour la seconde, il faudrait $k'(x) = k(x) + x\,\mathrm{e}^{x}$, or $k'(x) - k(x) = \mathrm{e}^{x} \neq x\,\mathrm{e}^{x}$ : non.
Résoudre $y' = ay$
Isoler $y'$ d'abord
Dans $2y' + y = 0$ ou $5y' = y$, le coefficient $a$ n'apparaît qu'une fois l'équation écrite $y' = a\,y$. La condition initiale se traite en dernier, en remplaçant $x$ par la valeur donnée dans $C\,\mathrm{e}^{ax}$.
Résoudre chaque équation sur $\mathbb{R}$, puis déterminer la solution vérifiant la condition donnée.
- $y' = -4y$ et $y(0) = 3$.
- $y' + 2y = 0$ et $y(1) = 2$.
- $5y' = y$ et $y(0) = -1$.
- $3y' - 2y = 0$ et $y(3) = 5$.
▶ Solution — Exercice 2
- $y = C\,\mathrm{e}^{-4x}$ ; $C = 3$ : $y = 3\,\mathrm{e}^{-4x}$.
- $y' = -2y$, $y = C\,\mathrm{e}^{-2x}$ ; $y(1) = C\,\mathrm{e}^{-2} = 2$, $C = 2\,\mathrm{e}^{2}$ : $y = 2\,\mathrm{e}^{2 - 2x}$.
- $y' = \dfrac{1}{5}y$, $y = C\,\mathrm{e}^{x/5}$ ; $C = -1$ : $y = -\mathrm{e}^{x/5}$.
- $y' = \dfrac{2}{3}y$, $y = C\,\mathrm{e}^{2x/3}$ ; $y(3) = C\,\mathrm{e}^{2} = 5$, $C = 5\,\mathrm{e}^{-2}$ : $y = 5\,\mathrm{e}^{2x/3 - 2}$.
Démasquer les erreurs
Chaque raisonnement contient une erreur. La repérer et la corriger.
- « $y' = 4y$ a pour solution $\mathrm{e}^{4x}$ ; celle qui vérifie $y(0) = 3$ est donc $\mathrm{e}^{4x} + 2$. »
- « Les solutions de $y' = -2y + 8$ sont les fonctions $C\,\mathrm{e}^{-2x} + 8$. »
- « $y' = 3y - 6$ avec $y(0) = 4$ : $y = C\,\mathrm{e}^{3x} + 2$, donc $C = 4$. »
- « $2y' = 3y$, donc $a = 3$ et les solutions sont $C\,\mathrm{e}^{3x}$. »
- « Toutes les solutions de $y' = 2y + 6$ tendent vers $-3$ en $+\infty$. »
▶ Solution — Exercice 3
- Les solutions sont $C\,\mathrm{e}^{4x}$ ; ajouter $2$ ne donne pas une solution. Avec $y(0) = 3$ : $C = 3$ et $y = 3\,\mathrm{e}^{4x}$.
- La solution constante est $-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{8}{-2} = 4$, pas $8$ : solutions $C\,\mathrm{e}^{-2x} + 4$.
- $y(0) = C + 2 = 4$ donne $C = 2$, pas $4$ : $y = 2\,\mathrm{e}^{3x} + 2$.
- Il faut isoler $y'$ : $y' = \dfrac{3}{2}y$, donc $a = \dfrac{3}{2}$ et les solutions sont $C\,\mathrm{e}^{3x/2}$.
- Avec $a = 2 > 0$, $\mathrm{e}^{2x} \to +\infty$ : seule la solution constante $-3$ reste en $-3$ ; les autres tendent vers $+\infty$ (si $C > 0$) ou $-\infty$ (si $C < 0$). La convergence vers l'équilibre n'a lieu que pour $a < 0$.
Résoudre $y' = ay + b$
Résoudre chaque équation avec sa condition initiale.
- $y' = 2y + 4$ et $y(0) = 1$.
- $y' + 2y = 8$ et $y(0) = 0$.
- $5y' = y - 10$ et $y(0) = 12$.
- $y' = -y + 3$ et $y(\ln 2) = 1$.
▶ Solution — Exercice 4
- Constante $-\dfrac{4}{2} = -2$ ; $y = C\,\mathrm{e}^{2x} - 2$ ; $C - 2 = 1$, $C = 3$ : $y = 3\,\mathrm{e}^{2x} - 2$.
- $y' = -2y + 8$, constante $4$ ; $y = C\,\mathrm{e}^{-2x} + 4$ ; $C + 4 = 0$ : $y = 4 - 4\,\mathrm{e}^{-2x}$.
- $y' = 0{,}2y - 2$, constante $\dfrac{2}{0{,}2} = 10$ ; $y = C\,\mathrm{e}^{0{,}2x} + 10$ ; $C + 10 = 12$ : $y = 2\,\mathrm{e}^{0{,}2x} + 10$.
- Constante $3$ ; $y = C\,\mathrm{e}^{-x} + 3$ ; $y(\ln 2) = C\,\mathrm{e}^{-\ln 2} + 3 = \dfrac{C}{2} + 3 = 1$, $C = -4$ : $y = 3 - 4\,\mathrm{e}^{-x}$.
Avec une solution particulière
Le principe
Si $\varphi$ est une solution particulière de $y' = ay + f(x)$, alors $y - \varphi$ est solution de $y' = ay$ : les solutions sont les $C\,\mathrm{e}^{ax} + \varphi(x)$.
- Vérifier que $\varphi(x) = \mathrm{e}^{x}$ est solution de $(E_1)$ : $y' = -y + 2\,\mathrm{e}^{x}$. En déduire toutes les solutions de $(E_1)$, puis celle qui vérifie $y(0) = 3$.
- Vérifier que $\psi(x) = -x - 1$ est solution de $(E_2)$ : $y' = y + x$. En déduire toutes les solutions de $(E_2)$, puis celle qui vérifie $y(0) = 0$.
▶ Solution — Exercice 5
- $\varphi'(x) = \mathrm{e}^{x}$ et $-\varphi(x) + 2\,\mathrm{e}^{x} = \mathrm{e}^{x}$ : solution. Solutions de $(E_1)$ : $y = C\,\mathrm{e}^{-x} + \mathrm{e}^{x}$. Avec $y(0) = C + 1 = 3$ : $y = 2\,\mathrm{e}^{-x} + \mathrm{e}^{x}$.
- $\psi'(x) = -1$ et $\psi(x) + x = -1$ : solution. Solutions de $(E_2)$ : $y = C\,\mathrm{e}^{x} - x - 1$. Avec $y(0) = C - 1 = 0$ : $y = \mathrm{e}^{x} - x - 1$. (On retrouve la fonction dont la positivité traduit l'inégalité $\mathrm{e}^{x} \geqslant x + 1$.)
Étudier une solution
On considère l'équation $y' = 0{,}5y - 2$.
- Déterminer la solution $f$ vérifiant $f(0) = 3$ et la solution $g$ vérifiant $g(0) = 5$.
- Étudier le sens de variation de $f$ et de $g$, puis leurs limites en $+\infty$.
- Résoudre $f(x) = 0$.
- Que se passe-t-il pour la solution vérifiant $y(0) = 4$ ? Expliquer pourquoi l'équilibre $4$ est dit instable.
▶ Solution — Exercice 6
- Constante $-\dfrac{-2}{0{,}5} = 4$ ; solutions $C\,\mathrm{e}^{0{,}5x} + 4$. $f$ : $C + 4 = 3$, $f(x) = 4 - \mathrm{e}^{0{,}5x}$. $g$ : $C = 1$, $g(x) = 4 + \mathrm{e}^{0{,}5x}$.
- $f'(x) = -0{,}5\,\mathrm{e}^{0{,}5x} < 0$ : $f$ décroissante, $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$. $g'(x) = 0{,}5\,\mathrm{e}^{0{,}5x} > 0$ : $g$ croissante, $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$.
- $4 - \mathrm{e}^{0{,}5x} = 0 \iff \mathrm{e}^{0{,}5x} = 4 \iff x = 2\ln 4 = 4\ln 2 \approx 2{,}77$.
- $C = 0$ : la solution est la constante $4$. Mais dès que la valeur initiale s'écarte de $4$, même très peu, la solution s'en éloigne indéfiniment (car $a > 0$) : l'équilibre ne « rattrape » pas les solutions voisines, il est instable. Pour $a < 0$ ce serait l'inverse.
Problèmes en contexte
Le nombre $N(t)$ de noyaux de carbone 14 dans un échantillon vérifie $N' = -\lambda\,N$, où $\lambda > 0$ est la constante de désintégration et $t$ est en années. La demi-vie du carbone 14 est de $5730$ ans : au bout de ce temps, la moitié des noyaux initiaux subsiste.
- Exprimer $N(t)$ en fonction de $N_0 = N(0)$ et de $\lambda$.
- Déterminer la valeur exacte de $\lambda$, puis une valeur approchée.
- Un échantillon ne contient plus que $25$ % de son carbone 14 initial. Quel est son âge ?
- Un autre en contient encore $60$ %. Quel est son âge, à l'année près ?
▶ Solution — Exercice 7
- $N(t) = N_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t}$.
- $N(5730) = \dfrac{N_0}{2} \iff \mathrm{e}^{-5730\lambda} = \dfrac{1}{2} \iff \lambda = \dfrac{\ln 2}{5730} \approx 1{,}21 \times 10^{-4}$ par an.
- $\mathrm{e}^{-\lambda t} = 0{,}25 = \dfrac{1}{4} \iff t = \dfrac{\ln 4}{\lambda} = \dfrac{2\ln 2}{\ln 2} \times 5730 = 11\,460$ ans : deux demi-vies.
- $\mathrm{e}^{-\lambda t} = 0{,}6 \iff t = -\dfrac{\ln 0{,}6}{\lambda} = \dfrac{5730\,\ln(5/3)}{\ln 2} \approx 4\,223$ ans.
La vitesse $v(t)$ (en m/s) d'un parachutiste en chute, parachute ouvert, vérifie $v' = 10 - 0{,}5\,v$ ($t$ en secondes) : la gravité l'accélère, la résistance de l'air, proportionnelle à la vitesse, le freine.
- Résoudre l'équation avec $v(0) = 0$ (saut depuis un point fixe, parachute déjà ouvert).
- Déterminer la vitesse limite et le temps nécessaire pour atteindre $19$ m/s.
- Le parachutiste ouvre en réalité son parachute alors qu'il tombe à $50$ m/s. Résoudre l'équation avec $v(0) = 50$, décrire l'évolution de la vitesse et calculer le temps nécessaire pour descendre à $22$ m/s.
- Que retrouve-t-on dans les deux situations ?
▶ Solution — Exercice 8
- $v' = -0{,}5v + 10$, constante $\dfrac{10}{0{,}5} = 20$ ; $v(t) = C\,\mathrm{e}^{-0{,}5t} + 20$ avec $C + 20 = 0$ : $v(t) = 20 - 20\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}$.
- $\lim\limits_{t \to +\infty} v(t) = 20$ m/s : vitesse limite. $20 - 20\,\mathrm{e}^{-0{,}5t} = 19 \iff \mathrm{e}^{-0{,}5t} = \dfrac{1}{20} \iff t = 2\ln 20 \approx 6{,}0$ s.
- $C + 20 = 50$, $C = 30$ : $v(t) = 20 + 30\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}$. $v'(t) = -15\,\mathrm{e}^{-0{,}5t} < 0$ : la vitesse décroît de $50$ vers $20$ m/s. $30\,\mathrm{e}^{-0{,}5t} = 2 \iff t = 2\ln 15 \approx 5{,}4$ s.
- La même vitesse limite $20$ m/s, atteinte par valeurs inférieures dans le premier cas, supérieures dans le second : la valeur d'équilibre $-\dfrac{b}{a}$ ne dépend pas de la condition initiale, seul $C$ en dépend.
Pour s'auto-évaluer
Cinq questions à se poser
- Ai-je mis l'équation sous la forme $y' = ay + b$ avant de lire $a$ et $b$ ?
- Ai-je écrit la solution constante $-\dfrac{b}{a}$, et non $b$ ?
- Ma solution générale contient-elle bien une constante $C$ qui multiplie l'exponentielle ?
- Pour calculer $C$, ai-je tenu compte de la constante $-\dfrac{b}{a}$ dans $y(x_0)$ ?
- Ai-je vérifié ma solution en la dérivant et en la remplaçant dans l'équation ?