Vérifier une solution · Résoudre y' = ay et y' = ay + b, condition initiale, modélisation
Jusqu'ici, une équation avait pour inconnue un nombre. Dans une équation différentielle, l'inconnue est une fonction $y$, et l'équation relie $y$ à sa dérivée $y'$. C'est le langage naturel des sciences : une population qui croît proportionnellement à sa taille, un café qui refroidit d'autant plus vite qu'il est chaud, un médicament éliminé à un rythme proportionnel à la quantité présente. En terminale, on résout deux types d'équations : $y' = ay$, dont les solutions sont les fonctions $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{ax}$, et $y' = ay + b$, dont les solutions s'en déduisent en ajoutant la solution constante $-\dfrac{b}{a}$. Une condition initiale fixe la constante $C$ et donne une solution unique. Les gestes à maîtriser sont peu nombreux mais précis : vérifier qu'une fonction est solution, mettre l'équation sous la forme $y' = ay + b$, écrire la solution générale, puis ajuster $C$.
une équation différentielle est une égalité entre une fonction inconnue $y$, sa dérivée $y'$ et éventuellement la variable $x$. Exemples : $y' = 3y$, $y' = -2y + 6$, $y' = y + \mathrm{e}^{x}$.
Solution :
une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$ est solution si, pour tout $x$ de $I$, l'égalité est vraie quand on remplace $y$ par $f(x)$ et $y'$ par $f'(x)$.
Résoudre :
c'est trouver toutes les solutions. Il y en a en général une infinité, une seule si l'on impose une condition initiale $y(x_0) = y_0$.
Méthode : vérifier qu'une fonction est solution
Calculer $f'(x)$.
Calculer séparément le membre de droite en remplaçant $y$ par $f(x)$.
Comparer : si les deux expressions sont égales pour tout $x$, $f$ est solution.
$f(x) = 3\,\mathrm{e}^{2x}$ est-elle solution de $y' = 2y$ ? On a $f'(x) = 6\,\mathrm{e}^{2x}$ et $2f(x) = 6\,\mathrm{e}^{2x}$ : oui. En revanche $g(x) = \mathrm{e}^{2x} + 1$ ne l'est pas : $g'(x) = 2\,\mathrm{e}^{2x}$ mais $2g(x) = 2\,\mathrm{e}^{2x} + 2$.
Exercice 1 — Vérifier qu'une fonction est solution, étape par étape (Tle)
Soit $g(x) = \mathrm{e}^{-x} + 2$. Compléter : $g'(x) = …$ ; $-g(x) + 2 = … = …$ ; donc $g$ est solution de l'équation $y' = …$
Vérifier que $h(x) = x\,\mathrm{e}^{x}$ est solution de $y' = y + \mathrm{e}^{x}$.
Vérifier que $k(x) = \mathrm{e}^{x^{2}}$ est solution de $y' = 2x\,y$.
La fonction $m(x) = \mathrm{e}^{3x} + 1$ est-elle solution de $y' = 3y$ ? de $y' = 3y - 3$ ?
▶ Solution — Exercice 1
$g'(x) = -\mathrm{e}^{-x}$ ; $-g(x) + 2 = -\mathrm{e}^{-x} - 2 + 2 = -\mathrm{e}^{-x}$ ; donc $g$ est solution de $y' = -y + 2$.
$k'(x) = 2x\,\mathrm{e}^{x^{2}}$ (dérivée de $\mathrm{e}^{u}$ avec $u = x^{2}$) et $2x\,k(x) = 2x\,\mathrm{e}^{x^{2}}$ : $k$ est solution.
$m'(x) = 3\,\mathrm{e}^{3x}$. Or $3m(x) = 3\,\mathrm{e}^{3x} + 3 \neq m'(x)$ : $m$ n'est pas solution de $y' = 3y$. Mais $3m(x) - 3 = 3\,\mathrm{e}^{3x} = m'(x)$ : $m$ est solution de $y' = 3y - 3$.
L'équation $y' = ay$ (Tle)
Soit $a$ un réel non nul.
Théorème :
les solutions sur $\mathbb{R}$ de $y' = ay$ sont les fonctions $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{ax}$, où $C$ est un réel quelconque.
Condition initiale :
pour tous réels $x_0$ et $y_0$, il existe une unique solution vérifiant $y(x_0) = y_0$. En particulier, si $y(0) = y_0$, alors $C = y_0$.
Lecture :
$a > 0$ donne une croissance exponentielle ($C > 0$), $a < 0$ une décroissance vers $0$. La fonction nulle ($C = 0$) est toujours solution.
Les solutions de $y' = -3y$ sont les fonctions $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{-3x}$. Celle qui vérifie $y(0) = 4$ est $x \mapsto 4\,\mathrm{e}^{-3x}$. Pour $2y' + y = 0$, on écrit d'abord $y' = -\dfrac{1}{2}y$ : solutions $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{-x/2}$.
Exercice 2 — Résoudre $y' = ay$ (Tle)
Résoudre sur $\mathbb{R}$ : $y' = 3y$ ; $2y' + y = 0$ ; $y' - 5y = 0$.
Déterminer la solution de $y' = 3y$ telle que $y(0) = 4$.
Déterminer la solution de $2y' + y = 0$ telle que $y(2) = 1$.
Une population de bactéries a une vitesse de croissance proportionnelle à son effectif, avec un coefficient $0{,}4$ par heure : $N' = 0{,}4\,N$. Il y a $500$ bactéries à $t = 0$. Exprimer $N(t)$ et calculer le temps de doublement.
▶ Solution — Exercice 2
$y' = 3y$ : $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{3x}$. $2y' + y = 0 \iff y' = -\dfrac{1}{2}y$ : $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{-x/2}$. $y' - 5y = 0 \iff y' = 5y$ : $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{5x}$. Dans les trois cas, $C$ décrit $\mathbb{R}$.
$y(0) = C = 4$ : $y(x) = 4\,\mathrm{e}^{3x}$.
$y(x) = C\,\mathrm{e}^{-x/2}$ et $y(2) = C\,\mathrm{e}^{-1} = 1$, donc $C = \mathrm{e}$ et $y(x) = \mathrm{e} \times \mathrm{e}^{-x/2} = \mathrm{e}^{1 - x/2}$.
$N(t) = 500\,\mathrm{e}^{0{,}4t}$. Doublement : $500\,\mathrm{e}^{0{,}4t} = 1000 \iff \mathrm{e}^{0{,}4t} = 2 \iff t = \dfrac{\ln 2}{0{,}4} \approx 1{,}73$ h, soit environ $1$ h $44$ min.
L'équation $y' = ay + b$ (Tle)
Soit $a$ un réel non nul et $b$ un réel.
Solution particulière :
la fonction constante $x \mapsto -\dfrac{b}{a}$ est solution (sa dérivée est nulle et $a \times \left(-\dfrac{b}{a}\right) + b = 0$). C'est la valeur d'équilibre.
Théorème :
les solutions sur $\mathbb{R}$ de $y' = ay + b$ sont les fonctions $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{ax} - \dfrac{b}{a}$, $C \in \mathbb{R}$.
Condition initiale :
elle détermine $C$ de manière unique. Attention : $y(0) = C - \dfrac{b}{a}$, donc $C = y(0) + \dfrac{b}{a}$.
Comportement :
si $a < 0$, toutes les solutions tendent vers $-\dfrac{b}{a}$ en $+\infty$ ; si $a > 0$, elles s'en éloignent.
Méthode : résoudre $y' = ay + b$ avec une condition initiale
Mettre l'équation sous la forme $y' = ay + b$ et identifier $a$ et $b$.
Écrire la solution constante $-\dfrac{b}{a}$ (résoudre $ay + b = 0$).
Écrire la solution générale $y(x) = C\,\mathrm{e}^{ax} - \dfrac{b}{a}$.
Utiliser la condition initiale pour calculer $C$, puis vérifier.
Solution constante $-\dfrac{-8}{4} = 2$, $y(x) = C\,\mathrm{e}^{4x} + 2$ ; $y(1) = C\,\mathrm{e}^{4} + 2 = 2$ donne $C = 0$ : la solution est la fonction constante $y = 2$. Quand la condition initiale coïncide avec la valeur d'équilibre, la solution reste à l'équilibre.
Avec une solution particulière donnée : $y' = ay + f(x)$ (Tle)
Soit $\varphi$ une solution particulière de $y' = ay + f(x)$, où $f$ est une fonction donnée.
Principe :
$y$ est solution de $y' = ay + f(x)$ si et seulement si $y - \varphi$ est solution de $y' = ay$.
Conséquence :
les solutions sont les fonctions $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{ax} + \varphi(x)$, $C \in \mathbb{R}$. L'équation $y' = ay + b$ en est le cas particulier où $\varphi$ est la constante $-\dfrac{b}{a}$.
Exercice 4 — Solution générale à partir d'une solution particulière (Tle)
On considère l'équation $(E)$ : $y' = 2y + \mathrm{e}^{2x}$.
Vérifier que $\varphi(x) = x\,\mathrm{e}^{2x}$ est solution de $(E)$.
Soit $y$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ et $z = y - \varphi$. Montrer que $y$ est solution de $(E)$ si et seulement si $z$ est solution de $y' = 2y$.
En déduire toutes les solutions de $(E)$.
Déterminer la solution de $(E)$ vérifiant $y(0) = 3$.
▶ Solution — Exercice 4
$\varphi'(x) = \mathrm{e}^{2x} + 2x\,\mathrm{e}^{2x}$ et $2\varphi(x) + \mathrm{e}^{2x} = 2x\,\mathrm{e}^{2x} + \mathrm{e}^{2x}$ : égaux, $\varphi$ est solution.
$z' = y' - \varphi'$. Si $y$ est solution de $(E)$ : $z' = (2y + \mathrm{e}^{2x}) - (2\varphi + \mathrm{e}^{2x}) = 2(y - \varphi) = 2z$. Réciproquement, si $z' = 2z$ : $y' = z' + \varphi' = 2z + 2\varphi + \mathrm{e}^{2x} = 2y + \mathrm{e}^{2x}$, donc $y$ est solution de $(E)$.
Les solutions de $z' = 2z$ sont $z(x) = C\,\mathrm{e}^{2x}$, donc celles de $(E)$ sont $y(x) = C\,\mathrm{e}^{2x} + x\,\mathrm{e}^{2x} = (C + x)\,\mathrm{e}^{2x}$, $C \in \mathbb{R}$.
$f'(x) = 4\,\mathrm{e}^{-0{,}5x} > 0$ : $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. (On retrouve $f' = -0{,}5f + 4 = -4 + 4\,\mathrm{e}^{-0{,}5x} + 4$. ✓)
$\lim\limits_{x \to +\infty} \mathrm{e}^{-0{,}5x} = 0$, donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 8$ : la courbe admet la droite $y = 8$ pour asymptote horizontale, et reste en dessous puisque $f(x) < 8$.
Exercice 6 — Problème en contexte : refroidissement d'un café (Tle)
La température $T(t)$ d'un café (en degrés Celsius, $t$ en minutes) dans une pièce à $20$ °C vérifie la loi de Newton : la vitesse de refroidissement est proportionnelle à l'écart avec la température ambiante, soit $T' = -k\,(T - 20)$ avec $k > 0$. À $t = 0$ le café est à $80$ °C ; après $5$ minutes il est à $60$ °C.
Écrire l'équation sous la forme $T' = aT + b$ et justifier que les solutions sont les fonctions $t \mapsto C\,\mathrm{e}^{-kt} + 20$.
Déterminer $C$ à l'aide de la température initiale.
Déterminer la valeur exacte de $k$, puis une valeur approchée à $10^{-3}$.
Au bout de combien de temps le café atteint-il $40$ °C ?
Quelle est la limite de $T(t)$ en $+\infty$ ? Interpréter.
$\lim\limits_{t \to +\infty} T(t) = 20$ : le café tend vers la température de la pièce sans jamais l'atteindre. Le refroidissement est rapide au début (grand écart) puis ralentit.
Exercice 7 — Problème en contexte : un médicament en perfusion (Tle)
Un patient reçoit un médicament par perfusion continue au débit de $6$ mg par heure. Simultanément, l'organisme élimine chaque heure $20$ % de la quantité présente. On note $Q(t)$ la quantité de médicament dans le sang (en mg) à l'instant $t$ (en heures), avec $Q(0) = 0$.
Justifier que $Q$ vérifie $Q' = -0{,}2\,Q + 6$.
Déterminer $Q(t)$.
Déterminer la limite de $Q$ en $+\infty$. Pourquoi cette valeur est-elle appelée quantité d'équilibre ?
Au bout de combien de temps la quantité atteint-elle $90$ % de la quantité d'équilibre ?
On arrête la perfusion lorsque $Q = 27$ mg. Quelle équation différentielle vérifie alors $Q$ ? Au bout de combien de temps la quantité aura-t-elle été divisée par deux ?
▶ Solution — Exercice 7
La variation par heure est l'apport ($+6$) moins l'élimination ($20$ % de $Q$, soit $0{,}2Q$) : $Q' = 6 - 0{,}2Q$.
Pour chaque question, une seule réponse est correcte.
Les solutions de $y' = -3y$ sont les fonctions :
A. $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{3x}$
B. $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{-3x}$
C. $x \mapsto -3\,\mathrm{e}^{x} + C$
D. $x \mapsto \mathrm{e}^{-3x} + C$
La solution de $y' = 2y$ vérifiant $y(0) = 5$ est :
A. $x \mapsto 5\,\mathrm{e}^{2x}$
B. $x \mapsto 2\,\mathrm{e}^{5x}$
C. $x \mapsto \mathrm{e}^{2x} + 4$
D. $x \mapsto 5\,\mathrm{e}^{2x} + 5$
Une solution constante de $y' = 4y - 8$ est :
A. $y = 8$
B. $y = -2$
C. $y = 4$
D. $y = 2$
Si $f$ est une solution de $y' = -2y + 6$, alors $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$ vaut :
A. $6$
B. $0$
C. $3$
D. $+\infty$
▶ Solution — Exercice 8
Réponse B. Pour $y' = ay$, les solutions sont $C\,\mathrm{e}^{ax}$ avec ici $a = -3$.
A : erreur de signe dans l'exposant.
C : la dérivée de $-3\,\mathrm{e}^{x} + C$ est $-3\,\mathrm{e}^{x}$, qui n'est pas $-3$ fois la fonction.
D : la constante doit multiplier l'exponentielle, pas s'ajouter ; $\mathrm{e}^{-3x} + C$ n'est solution que si $C = 0$.
Réponse A. Solutions $C\,\mathrm{e}^{2x}$ et $y(0) = C = 5$.
B : les rôles de $a$ et de $y(0)$ sont échangés.
C : $y(0) = 5$ est bien vérifié, mais $y' = 2\,\mathrm{e}^{2x}$ alors que $2y = 2\,\mathrm{e}^{2x} + 8$ : pas solution.
D : $y(0) = 10$, et la fonction n'est pas solution de $y' = 2y$.
Réponse D. On résout $4y - 8 = 0$ : $y = 2$.
A : c'est $-b$, pas $-\dfrac{b}{a}$.
B : erreur de signe : $-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-8}{4} = 2$.
C : c'est le coefficient $a$, sans rapport.
Réponse C. Les solutions sont $C\,\mathrm{e}^{-2x} + 3$ et $\mathrm{e}^{-2x} \to 0$ : toutes tendent vers $3$.
A : $6$ est $b$, pas la valeur d'équilibre $-\dfrac{b}{a}$.
B : la partie exponentielle tend vers $0$, mais il reste la constante $3$.
D : avec $a = -2 < 0$, l'exponentielle décroît vers $0$, pas d'explosion.
Exercice 9 — Vrai ou faux ?
Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse et justifier :
La fonction $x \mapsto \mathrm{e}^{2x} + 1$ est solution de $y' = 2y$.
L'équation $y' = ay$ admet une infinité de solutions.
L'équation $y' = ay$ avec la condition $y(0) = y_0$ admet une unique solution.
La fonction nulle est solution de $y' = ay + b$ pour toutes valeurs de $a$ et $b$.
Toutes les solutions de $y' = -y + 5$ tendent vers $5$ en $+\infty$.
La solution de $y' = 3y + 6$ vérifiant $y(0) = 0$ est $x \mapsto 6\,\mathrm{e}^{3x}$.
Si $y' = 2y$ et $y(0) = 0$, alors $y$ est la fonction nulle.
Les solutions de $y' = ay + b$ sont les fonctions $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{ax} + b$.
▶ Solution — Exercice 9
Faux. Sa dérivée est $2\,\mathrm{e}^{2x}$ alors que $2y = 2\,\mathrm{e}^{2x} + 2$. On ne peut pas ajouter une constante à une solution de $y' = ay$.
Vrai. Une pour chaque valeur du réel $C$ dans $C\,\mathrm{e}^{ax}$.
Vrai. La condition initiale impose $C = y_0$.
Faux. Pour la fonction nulle, $y' = 0$ et $ay + b = b$ : elle n'est solution que si $b = 0$.
Vrai. Les solutions sont $C\,\mathrm{e}^{-x} + 5$ et $\mathrm{e}^{-x} \to 0$ en $+\infty$.
Faux. Solution constante $-2$, solutions $C\,\mathrm{e}^{3x} - 2$, et $y(0) = 0$ donne $C = 2$ : la solution est $2\,\mathrm{e}^{3x} - 2$. D'ailleurs $6\,\mathrm{e}^{3x}$ ne vaut pas $0$ en $0$.
Vrai. $y = C\,\mathrm{e}^{2x}$ avec $C = y(0) = 0$.
Faux. La solution constante est $-\dfrac{b}{a}$, pas $b$ : les solutions sont $C\,\mathrm{e}^{ax} - \dfrac{b}{a}$.