Loi de probabilité · Espérance, variance, écart-type, transformation affine
Une variable aléatoire associe un nombre au résultat d'une expérience du hasard : le gain à un jeu, le nombre de pannes, la durée d'attente. On résume son comportement par trois nombres : l'espérance, qui donne la valeur moyenne attendue sur un grand nombre de répétitions ; la variance et l'écart-type, qui mesurent la dispersion autour de cette moyenne. L'espérance est l'outil de décision : un jeu est équitable lorsque l'espérance de gain est nulle. La difficulté est de bien construire la loi de probabilité avant tout calcul.
Variable aléatoire et loi de probabilité (1re)
Variable aléatoire :
une variable aléatoire $X$ associe un nombre réel à chaque issue de l'expérience.
Loi de probabilité :
c'est la donnée de toutes les valeurs $x_i$ prises par $X$ et de leurs probabilités $P(X = x_i)$. On la présente dans un tableau. La somme de toutes les probabilités vaut $1$.
On lance un dé équilibré et $X$ donne le numéro obtenu. Alors $X$ prend les valeurs $1$ à $6$, chacune avec la probabilité $\dfrac{1}{6}$. La somme des probabilités vaut bien $6 \times \dfrac{1}{6} = 1$.
Espérance (1re)
L'espérance de $X$ est la moyenne des valeurs, pondérée par leurs probabilités : $$E(X) = \sum x_i \, P(X = x_i) = x_1 P(X = x_1) + x_2 P(X = x_2) + \dots$$ Elle représente la valeur moyenne obtenue si l'on répète l'expérience un très grand nombre de fois.
Soit $X$ de loi $P(X = 0) = 0{,}5$, $P(X = 1) = 0{,}3$, $P(X = 2) = 0{,}2$. Alors $$E(X) = 0 \times 0{,}5 + 1 \times 0{,}3 + 2 \times 0{,}2 = 0{,}3 + 0{,}4 = 0{,}7.$$
Variance et écart-type (1re)
La variance mesure la dispersion des valeurs autour de l'espérance. On la calcule le plus souvent avec la formule $$V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2,$$ où $E(X^2) = \sum x_i^2 \, P(X = x_i)$. L'écart-type est $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ ; il s'exprime dans la même unité que $X$.
Avec la loi précédente, $E(X^2) = 0^2 \times 0{,}5 + 1^2 \times 0{,}3 + 2^2 \times 0{,}2 = 0{,}3 + 0{,}8 = 1{,}1$.
Donc $V(X) = 1{,}1 - 0{,}7^2 = 1{,}1 - 0{,}49 = 0{,}61$ et $\sigma(X) = \sqrt{0{,}61} \approx 0{,}78$.
Transformation affine (1re)
Si $a$ et $b$ sont deux réels, alors $E(aX + b) = a\,E(X) + b$ et $V(aX + b) = a^2\,V(X)$. Ajouter une constante décale l'espérance mais ne change pas la dispersion ; multiplier par $a$ multiplie la variance par $a^2$.
Un jeu coûte $3$ € la partie. On tire une boule : on gagne $10$ € avec une probabilité de $0{,}1$, $5$ € avec une probabilité de $0{,}2$, et rien avec une probabilité de $0{,}7$. On note $G$ le gain net (gain obtenu moins le coût de la partie).
Donner la loi de probabilité de $G$.
Calculer $E(G)$.
Le jeu est-il favorable au joueur ? Justifier.
▶ Solution — Exercice 3
Le gain net vaut $10 - 3 = 7$ (probabilité $0{,}1$), $5 - 3 = 2$ (probabilité $0{,}2$) ou $0 - 3 = -3$ (probabilité $0{,}7$).
L'espérance de gain est $-1$ € : en moyenne, le joueur perd $1$ € par partie. Le jeu n'est pas favorable au joueur (il serait équitable si l'espérance était nulle).