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Les variables aléatoires

1ʳᵉ
Loi de probabilité · Espérance, variance, écart-type, transformation affine
Une variable aléatoire associe un nombre au résultat d'une expérience du hasard : le gain à un jeu, le nombre de pannes, la durée d'attente. On résume son comportement par trois nombres : l'espérance, qui donne la valeur moyenne attendue sur un grand nombre de répétitions ; la variance et l'écart-type, qui mesurent la dispersion autour de cette moyenne. L'espérance est l'outil de décision : un jeu est équitable lorsque l'espérance de gain est nulle. La difficulté est de bien construire la loi de probabilité avant tout calcul.

Prérequis : Probabilités et statistiques. Pour s'entraîner : Exercices : variables aléatoires.

Variable aléatoire et loi de probabilité (1re)
Variable aléatoire :
une variable aléatoire $X$ associe un nombre réel à chaque issue de l'expérience.
Loi de probabilité :
c'est la donnée de toutes les valeurs $x_i$ prises par $X$ et de leurs probabilités $P(X = x_i)$. On la présente dans un tableau. La somme de toutes les probabilités vaut $1$.

On lance un dé équilibré et $X$ donne le numéro obtenu. Alors $X$ prend les valeurs $1$ à $6$, chacune avec la probabilité $\dfrac{1}{6}$. La somme des probabilités vaut bien $6 \times \dfrac{1}{6} = 1$.

Exercice 1 — Construire une loi de probabilité (1re)

  1. On lance deux fois de suite une pièce équilibrée et on note $X$ le nombre de « pile » obtenus.

    1. Lister les quatre issues possibles de l'expérience.
    2. Donner la loi de probabilité de $X$ dans un tableau.
    3. Vérifier que la somme des probabilités vaut $1$.

  2. Compléter la loi de probabilité suivante :

    $x_i$$1$$2$$3$
    $P(X = x_i)$$0{,}2$$0{,}5$…
  3. On lance un dé équilibré. La variable aléatoire $Y$ vaut $1$ si le résultat est $6$, et $0$ sinon. Donner la loi de probabilité de $Y$.
▶ Solution — Exercice 1

  1.  

    1. En notant P pour pile et F pour face, les issues sont : PP, PF, FP et FF. Elles sont équiprobables, chacune de probabilité $\dfrac{1}{4}$.

    2. $X$ vaut $2$ pour PP, $1$ pour PF et FP, $0$ pour FF :

      $x_i$$0$$1$$2$
      $P(X = x_i)$$\dfrac{1}{4}$$\dfrac{1}{2}$$\dfrac{1}{4}$
    3. $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{4}{4} = 1$. ✓
  2. La somme des probabilités doit valoir $1$ : $P(X = 3) = 1 - 0{,}2 - 0{,}5 = 0{,}3$.
  3. $Y = 1$ correspond à l'unique face $6$, donc $P(Y = 1) = \dfrac{1}{6}$ ; $Y = 0$ correspond aux cinq autres faces, donc $P(Y = 0) = \dfrac{5}{6}$. Vérification : $\dfrac{1}{6} + \dfrac{5}{6} = 1$.
Espérance (1re)

L'espérance de $X$ est la moyenne des valeurs, pondérée par leurs probabilités : $$E(X) = \sum x_i \, P(X = x_i) = x_1 P(X = x_1) + x_2 P(X = x_2) + \dots$$ Elle représente la valeur moyenne obtenue si l'on répète l'expérience un très grand nombre de fois.

Soit $X$ de loi $P(X = 0) = 0{,}5$, $P(X = 1) = 0{,}3$, $P(X = 2) = 0{,}2$. Alors $$E(X) = 0 \times 0{,}5 + 1 \times 0{,}3 + 2 \times 0{,}2 = 0{,}3 + 0{,}4 = 0{,}7.$$

Exercice 2 — Calculer une espérance, étape par étape (1re)

  1. La variable aléatoire $X$ a la loi de probabilité suivante.

    $x_i$$-1$$0$$2$$5$
    $P(X = x_i)$$0{,}2$$0{,}3$$0{,}4$$0{,}1$
    1. Vérifier que cette loi est bien définie.
    2. Compléter : $E(X) = (-1) \times … + 0 \times … + 2 \times … + 5 \times … = … + … + … + … = …$
  2. Calculer l'espérance du nombre de « pile » obtenus en deux lancers (variable $X$ de l'exercice 1). Interpréter le résultat.
  3. On lance un dé équilibré et on note $Z$ le numéro obtenu. Calculer $E(Z)$. Ce résultat est-il une valeur possible de $Z$ ? Que représente-t-il ?
▶ Solution — Exercice 2

  1.  

    1. La somme des probabilités est $0{,}2 + 0{,}3 + 0{,}4 + 0{,}1 = 1$ : la loi est bien définie.
    2. $E(X) = (-1) \times 0{,}2 + 0 \times 0{,}3 + 2 \times 0{,}4 + 5 \times 0{,}1 = -0{,}2 + 0 + 0{,}8 + 0{,}5 = 1{,}1$.
  2. $E(X) = 0 \times \dfrac{1}{4} + 1 \times \dfrac{1}{2} + 2 \times \dfrac{1}{4} = 0 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1$. Si l'on répète un grand nombre de fois les deux lancers, on obtient en moyenne un « pile » par expérience.
  3. Chaque face a la probabilité $\dfrac{1}{6}$ : $E(Z) = \dfrac{1}{6}(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = \dfrac{21}{6} = 3{,}5$. Ce n'est pas une valeur possible de $Z$ (un dé n'affiche jamais $3{,}5$) : l'espérance est la moyenne des résultats sur un très grand nombre de lancers, pas un résultat attendu à chaque lancer.
Variance et écart-type (1re)

La variance mesure la dispersion des valeurs autour de l'espérance. On la calcule le plus souvent avec la formule $$V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2,$$ où $E(X^2) = \sum x_i^2 \, P(X = x_i)$. L'écart-type est $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ ; il s'exprime dans la même unité que $X$.

Avec la loi précédente, $E(X^2) = 0^2 \times 0{,}5 + 1^2 \times 0{,}3 + 2^2 \times 0{,}2 = 0{,}3 + 0{,}8 = 1{,}1$.

Donc $V(X) = 1{,}1 - 0{,}7^2 = 1{,}1 - 0{,}49 = 0{,}61$ et $\sigma(X) = \sqrt{0{,}61} \approx 0{,}78$.

Transformation affine (1re)

Si $a$ et $b$ sont deux réels, alors $E(aX + b) = a\,E(X) + b$ et $V(aX + b) = a^2\,V(X)$. Ajouter une constante décale l'espérance mais ne change pas la dispersion ; multiplier par $a$ multiplie la variance par $a^2$.

Méthode : calculer espérance, variance, écart-type
  1. Dresser le tableau de la loi de probabilité (vérifier que la somme vaut $1$).
  2. Calculer $E(X) = \sum x_i\, P(X = x_i)$.
  3. Calculer $E(X^2) = \sum x_i^2\, P(X = x_i)$, puis $V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2$ et $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$.
Exercice 3 — Variance et écart-type (1re)

  1. On reprend la variable aléatoire $X$ de l'exercice 2, de loi $P(X = -1) = 0{,}2$, $P(X = 0) = 0{,}3$, $P(X = 2) = 0{,}4$, $P(X = 5) = 0{,}1$, pour laquelle $E(X) = 1{,}1$.

    1. Calculer $E(X^2)$.
    2. En déduire $V(X)$, puis $\sigma(X)$ (arrondir au centième).
  2. On reprend la variable $Z$ (numéro obtenu avec un dé équilibré), pour laquelle $E(Z) = 3{,}5$. Calculer $E(Z^2)$, $V(Z)$ et $\sigma(Z)$ (arrondir au centième).
  3. On reprend la variable $Y$ de l'exercice 1 (qui vaut $1$ si le dé donne $6$, et $0$ sinon). Calculer $E(Y)$, $V(Y)$ et $\sigma(Y)$ (arrondir au centième).
▶ Solution — Exercice 3

  1.  

    1. $E(X^2) = (-1)^2 \times 0{,}2 + 0^2 \times 0{,}3 + 2^2 \times 0{,}4 + 5^2 \times 0{,}1 = 0{,}2 + 0 + 1{,}6 + 2{,}5 = 4{,}3$.
    2. $V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2 = 4{,}3 - 1{,}1^2 = 4{,}3 - 1{,}21 = 3{,}09$, donc $\sigma(X) = \sqrt{3{,}09} \approx 1{,}76$.

  2. $E(Z^2) = \dfrac{1}{6}\left(1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2\right) = \dfrac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \dfrac{91}{6}$.

    $$\begin{aligned}V(Z) &= E(Z^2) - \big(E(Z)\big)^2 = \dfrac{91}{6} - 3{,}5^2 = \dfrac{91}{6} - \dfrac{49}{4} \\ V(Z) &= \dfrac{182}{12} - \dfrac{147}{12} = \dfrac{35}{12} \approx 2{,}92\end{aligned}$$

    et $\sigma(Z) = \sqrt{\dfrac{35}{12}} \approx 1{,}71$.

  3. $E(Y) = 0 \times \dfrac{5}{6} + 1 \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{6}$. Comme $Y$ ne prend que les valeurs $0$ et $1$, on a $Y^2 = Y$, donc $E(Y^2) = \dfrac{1}{6}$. Alors $$V(Y) = \dfrac{1}{6} - \left(\dfrac{1}{6}\right)^2 = \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{36} = \dfrac{6}{36} - \dfrac{1}{36} = \dfrac{5}{36} \approx 0{,}14 \qquad \text{et} \qquad \sigma(Y) = \sqrt{\dfrac{5}{36}} = \dfrac{\sqrt{5}}{6} \approx 0{,}37.$$
Exercice 4 — Transformation affine (1re)

La variable aléatoire $X$ vérifie $E(X) = 1{,}1$ et $V(X) = 3{,}09$.

  1. On pose $Y = 2X + 3$. Calculer $E(Y)$, $V(Y)$ et $\sigma(Y)$ (arrondir au centième).
  2. On pose $Z = 10 - X$. Calculer $E(Z)$ et $V(Z)$.
  3. La température $T$ d'une pièce, en degrés Celsius, est une variable aléatoire d'espérance $20$ et d'écart-type $2$. En degrés Fahrenheit, cette température s'écrit $F = 1{,}8\,T + 32$. Calculer $E(F)$ et $\sigma(F)$.
▶ Solution — Exercice 4
  1. $E(Y) = 2\,E(X) + 3 = 2 \times 1{,}1 + 3 = 5{,}2$ ; $V(Y) = 2^2\,V(X) = 4 \times 3{,}09 = 12{,}36$ ; $\sigma(Y) = \sqrt{12{,}36} \approx 3{,}52$. On remarque que $\sigma(Y) = 2\,\sigma(X)$ : multiplier par $2$ double l'écart-type, et ajouter $3$ ne change pas la dispersion.
  2. $Z = -X + 10$, donc $E(Z) = -E(X) + 10 = -1{,}1 + 10 = 8{,}9$ et $V(Z) = (-1)^2\,V(X) = 3{,}09$. Changer le signe ne modifie pas la variance.
  3. $E(F) = 1{,}8\,E(T) + 32 = 1{,}8 \times 20 + 32 = 36 + 32 = 68$. Pour l'écart-type, $V(F) = 1{,}8^2\,V(T) = 3{,}24 \times 4 = 12{,}96$, donc $\sigma(F) = \sqrt{12{,}96} = 3{,}6$. On retrouve $\sigma(F) = 1{,}8\,\sigma(T)$ : l'écart-type est multiplié par $1{,}8$, et le décalage de $32$ n'intervient pas.
Exercice 5 — Problème en contexte : un jeu (1re)

Un jeu coûte $3$ € la partie. On tire une boule : on gagne $10$ € avec une probabilité de $0{,}1$, $5$ € avec une probabilité de $0{,}2$, et rien avec une probabilité de $0{,}7$. On note $G$ le gain net (somme reçue moins le prix de la partie).

  1. Donner la loi de probabilité de $G$.
  2. Calculer $E(G)$.
  3. Le jeu est-il favorable au joueur ? Justifier.
  4. Quel devrait être le prix de la partie pour que le jeu soit équitable ?
  5. Calculer $V(G)$ et $\sigma(G)$ (arrondir au centième).
▶ Solution — Exercice 5

  1. Le gain net vaut $10 - 3 = 7$ (probabilité $0{,}1$), $5 - 3 = 2$ (probabilité $0{,}2$) ou $0 - 3 = -3$ (probabilité $0{,}7$) :

    $g_i$$7$$2$$-3$
    $P(G = g_i)$$0{,}1$$0{,}2$$0{,}7$
  2. $E(G) = 7 \times 0{,}1 + 2 \times 0{,}2 + (-3) \times 0{,}7 = 0{,}7 + 0{,}4 - 2{,}1 = -1$.
  3. L'espérance de gain est $-1$ € : en moyenne, le joueur perd $1$ € par partie. Le jeu n'est pas favorable au joueur (il serait équitable si l'espérance était nulle).
  4. Notons $B$ la somme reçue, sans tenir compte du prix : $E(B) = 10 \times 0{,}1 + 5 \times 0{,}2 + 0 \times 0{,}7 = 1 + 1 = 2$ €. Le jeu est équitable lorsque le prix de la partie est égal à cette espérance : il faudrait fixer le prix à $2$ €. On peut aussi raisonner avec le gain net : $E(G) = E(B) - p = 0 \iff p = E(B) = 2$.
  5. $E(G^2) = 7^2 \times 0{,}1 + 2^2 \times 0{,}2 + (-3)^2 \times 0{,}7 = 4{,}9 + 0{,}8 + 6{,}3 = 12$, donc $V(G) = 12 - (-1)^2 = 11$ et $\sigma(G) = \sqrt{11} \approx 3{,}32$. Vérification par la transformation affine : $G = B - 3$, donc $V(G) = V(B)$ ; or $E(B^2) = 100 \times 0{,}1 + 25 \times 0{,}2 = 15$ et $V(B) = 15 - 2^2 = 11$. ✓
Exercice 6 — Problème en contexte : comparer deux loteries (1re)

Deux loteries proposent chacune des billets à $5$ €. Pour la loterie 1, le billet rapporte $50$ € avec une probabilité de $0{,}1$ et rien sinon ; on note $X_1$ la somme reçue. Pour la loterie 2, le billet rapporte $4$ € avec une probabilité de $0{,}5$ et $6$ € sinon ; on note $X_2$ la somme reçue.

  1. Calculer $E(X_1)$ et $E(X_2)$.
  2. Calculer $V(X_1)$, $\sigma(X_1)$, $V(X_2)$ et $\sigma(X_2)$.
  3. Quelle loterie est la plus « risquée » ? Interpréter les écarts-types.
  4. Ces jeux sont-ils équitables ?
▶ Solution — Exercice 6
  1. $E(X_1) = 50 \times 0{,}1 + 0 \times 0{,}9 = 5$ et $E(X_2) = 4 \times 0{,}5 + 6 \times 0{,}5 = 2 + 3 = 5$. Les deux loteries rapportent en moyenne la même somme.
  2. Pour la loterie 1 : $E(X_1^2) = 50^2 \times 0{,}1 + 0^2 \times 0{,}9 = 250$, donc $V(X_1) = 250 - 5^2 = 225$ et $\sigma(X_1) = \sqrt{225} = 15$. Pour la loterie 2 : $E(X_2^2) = 4^2 \times 0{,}5 + 6^2 \times 0{,}5 = 8 + 18 = 26$, donc $V(X_2) = 26 - 5^2 = 1$ et $\sigma(X_2) = 1$.
  3. La loterie 1 est beaucoup plus risquée : son écart-type de $15$ € traduit des résultats très dispersés autour de la moyenne (le plus souvent $0$ €, rarement $50$ €). La loterie 2 a un écart-type de $1$ € : la somme reçue est toujours proche de $5$ €. À espérance égale, l'écart-type mesure le risque.
  4. Le billet coûte $5$ € et l'espérance de la somme reçue est $5$ € dans les deux cas : le gain net a une espérance nulle, les deux jeux sont équitables.
Erreurs classiques à éviter
ErreurExemple fauxCorrection
Oublier de pondérer par les probabilités$E(X) = \dfrac{x_1 + x_2 + \dots}{n}$$E(X) = \sum x_i\, P(X = x_i)$
Calculer $\big(E(X)\big)^2$ au lieu de $E(X^2)$$V(X) = E(X)^2 - E(X^2)$$V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2$
Confondre variance et écart-type$\sigma(X) = V(X)$$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$
Oublier le coût dans un jeu$E(\text{gain}) = E(\text{tirage})$retrancher la mise : gain net
Exercice 7 — QCM (1re)

Pour chaque question, une seule réponse est correcte.

  1. La variable aléatoire $X$ a pour loi $P(X = 0) = 0{,}5$, $P(X = 1) = 0{,}3$ et $P(X = 2) = 0{,}2$. Alors $E(X)$ vaut :

    • A. $0{,}7$
    • B. $1$
    • C. $3$
    • D. $1{,}1$

  2. L'écart-type $\sigma(X)$ est égal à :

    • A. $V(X)$
    • B. $V(X)^2$
    • C. $\sqrt{V(X)}$
    • D. $E(X^2) - E(X)$

  3. Si $E(X) = 3$ et $Y = 2X - 1$, alors $E(Y)$ vaut :

    • A. $6$
    • B. $5$
    • C. $2$
    • D. $3$

  4. Si $V(X) = 4$ et $Y = 3X$, alors $V(Y)$ vaut :

    • A. $12$
    • B. $4$
    • C. $7$
    • D. $36$
▶ Solution — Exercice 7

  1. Réponse A. $E(X) = 0 \times 0{,}5 + 1 \times 0{,}3 + 2 \times 0{,}2 = 0 + 0{,}3 + 0{,}4 = 0{,}7$.

    • B ($1$) : moyenne simple des valeurs $\dfrac{0 + 1 + 2}{3}$, sans pondération par les probabilités.
    • C ($3$) : somme des valeurs, sans les probabilités.
    • D ($1{,}1$) : c'est $E(X^2) = 0 + 0{,}3 + 0{,}8$, pas $E(X)$.

  2. Réponse C. Par définition, $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$.

    • A : confusion entre variance et écart-type.
    • B : c'est l'inverse : $V(X) = \sigma(X)^2$.
    • D : la variance vaut $E(X^2) - \big(E(X)\big)^2$, avec un carré, et il manque la racine.

  3. Réponse B. $E(Y) = E(2X - 1) = 2\,E(X) - 1 = 6 - 1 = 5$.

    • A ($6$) : le $-1$ a été oublié.
    • C ($2$) : le facteur $2$ a été oublié ($3 - 1$).
    • D ($3$) : on a cru que l'espérance ne changeait pas.

  4. Réponse D. $V(Y) = V(3X) = 3^2\,V(X) = 9 \times 4 = 36$.

    • A ($12$) : on a multiplié par $3$ au lieu de $3^2$ ; c'est l'écart-type qui est multiplié par $3$, pas la variance.
    • B ($4$) : on a cru que la variance ne changeait pas ; c'est vrai pour une addition de constante, pas pour une multiplication.
    • C ($7$) : on a ajouté $3$ à la variance.
Exercice 8 — Vrai ou faux ?

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse et justifier :

  1. La somme des probabilités d'une loi de probabilité vaut toujours $1$.
  2. L'espérance d'une variable aléatoire est toujours l'une des valeurs prises par cette variable.
  3. Une variance peut être négative.
  4. Si $X$ prend toujours la valeur $5$, alors $V(X) = 0$.
  5. $E(X + 10) = E(X) + 10$.
  6. $V(X + 10) = V(X) + 10$.
  7. Un jeu est équitable lorsque l'espérance du gain net est nulle.
  8. Si $E(X) = 2$, alors $E(X^2) = 4$.
▶ Solution — Exercice 8
  1. Vrai. Les valeurs $x_i$ recouvrent toutes les issues possibles : la somme des $P(X = x_i)$ vaut $1$. C'est la première vérification à faire sur un tableau de loi.
  2. Faux. Contre-exemple : pour le numéro d'un dé, $E(X) = 3{,}5$, qui n'est pas une face du dé. L'espérance est une moyenne, pas une valeur possible.
  3. Faux. La variance est la moyenne pondérée des carrés des écarts à l'espérance : c'est une somme de termes positifs, elle est toujours positive ou nulle. Une variance négative signale une erreur de calcul, souvent $E(X)^2 - E(X^2)$ au lieu de $E(X^2) - E(X)^2$.
  4. Vrai. $E(X) = 5$ et $E(X^2) = 25$, donc $V(X) = 25 - 5^2 = 0$. Une variable constante n'a aucune dispersion.
  5. Vrai. C'est la propriété $E(aX + b) = a\,E(X) + b$ avec $a = 1$ et $b = 10$.
  6. Faux. $V(aX + b) = a^2\,V(X)$, donc $V(X + 10) = V(X)$. Ajouter une constante décale toutes les valeurs sans modifier leur dispersion.
  7. Vrai. Si $E(G) = 0$, le joueur ne gagne ni ne perd en moyenne sur un grand nombre de parties. Si $E(G) < 0$, le jeu lui est défavorable ; si $E(G) > 0$, il lui est favorable.
  8. Faux. $E(X^2) = V(X) + \big(E(X)\big)^2 = V(X) + 4 \geqslant 4$, avec égalité seulement si $V(X) = 0$. Contre-exemple : $X$ vaut $0$ ou $4$ avec la probabilité $\dfrac{1}{2}$ chacune ; alors $E(X) = 2$ mais $E(X^2) = \dfrac{0 + 16}{2} = 8$.

Tu bloques sur un exercice ? Consulte la fiche Que faire quand je bloque ?
Tu veux retenir durablement ces méthodes ? Consulte la fiche Mémorisation et sciences cognitives.
Tu fais souvent les mêmes erreurs ? Remplis ton Carnet d'erreurs.

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