Théorème direct, réciproque · Calcul d'hypoténuse et de côté de l'angle droit
Le théorème de Pythagore est l'outil fondamental du triangle rectangle : il relie les longueurs des trois côtés. Sa réciproque permet de prouver qu'un triangle est rectangle. La difficulté principale vient de la mémorisation de la formule $a^2 + b^2 = c^2$ sans compréhension géométrique : les élèves retiennent une égalité algébrique sans voir qu'il s'agit de sommes d'aires de carrés, confondent hypoténuse et côtés de l'angle droit, ou oublient d'extraire la racine carrée.
dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Hypoténuse :
c'est le côté le plus long, celui qui est opposé à l'angle droit. On le repère en cherchant l'angle droit : le côté qui ne touche pas cet angle est l'hypoténuse.
Si le triangle $ABC$ est rectangle en $C$, alors : $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$ Le côté $[AB]$ est l'hypoténuse (opposé à l'angle droit en $C$).
Triangle rectangle en $C$ avec $AC = 3$ cm et $BC = 4$ cm :
$AB^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$, donc $AB = \sqrt{25} = 5$ cm.
Triangle rectangle en $A$ avec $BC = 13$ cm et $AB = 5$ cm :
$BC^2 = AB^2 + AC^2$, donc $AC^2 = BC^2 - AB^2 = 169 - 25 = 144$, d'où $AC = \sqrt{144} = 12$ cm.
Pourquoi cette formule ? Construisons un carré de côté $a + b$ et plaçons-y quatre triangles rectangles identiques de côtés $a$ et $b$. L'espace restant au centre forme un carré de côté $c$ (l'hypoténuse).
L'aire totale donne $(a + b)^2 = 4 \times \dfrac{ab}{2} + c^2$, ce qui se simplifie en $a^2 + b^2 = c^2$. Le théorème exprime donc une relation entre les aires des carrés construits sur les côtés.
Exercice 1 — Calculer l'hypoténuse (4e)
Pour chaque triangle rectangle, calculer la longueur manquante. Attention : le triangle n'est pas toujours dessiné dans la même position.
Le triangle $EFG$ est rectangle en $G$, avec $EG = 6$ cm et $FG = 8$ cm. Calculer $EF$.
Le triangle $RST$ est rectangle en $T$, avec $RT = 5$ cm et $ST = 12$ cm. Calculer $RS$.
Le triangle $KLM$ est rectangle en $L$, avec $KL = 9$ cm et $LM = 40$ cm. Calculer $KM$.
▶ Solution — Exercice 1
Dans chaque cas, on identifie d'abord l'hypoténuse : c'est le côté opposé à l'angle droit.
Triangle $EFG$ rectangle en $G$ : l'hypoténuse est le côté $[EF]$ (opposé à l'angle droit en $G$).
D'après le théorème de Pythagore : $EF^2 = EG^2 + FG^2$.
$EF^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.
$EF = \sqrt{100} = 10$ cm.
Triangle $RST$ rectangle en $T$ : l'hypoténuse est le côté $[RS]$ (opposé à l'angle droit en $T$).
D'après le théorème de Pythagore : $RS^2 = RT^2 + ST^2$.
$RS^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$.
$RS = \sqrt{169} = 13$ cm.
Triangle $KLM$ rectangle en $L$ : l'hypoténuse est le côté $[KM]$ (opposé à l'angle droit en $L$).
D'après le théorème de Pythagore : $KM^2 = KL^2 + LM^2$.
$KM^2 = 9^2 + 40^2 = 81 + 1\,600 = 1\,681$.
$KM = \sqrt{1\,681} = 41$ cm.
Calculer un côté de l'angle droit (4e)
Quand c'est un côté de l'angle droit qui est inconnu, on isole ce côté dans l'égalité de Pythagore.
Si le triangle $ABC$ est rectangle en $C$ et que l'on cherche $AC$ : $$AC^2 = AB^2 - BC^2$$ On soustrait le carré du côté connu au carré de l'hypoténuse.
Triangle rectangle en $C$ avec $AB = 10$ cm et $BC = 6$ cm :
$AC^2 = AB^2 - BC^2 = 100 - 36 = 64$, donc $AC = \sqrt{64} = 8$ cm.
Attention : ne jamais oublier d'extraire la racine carrée. $AC^2 = 64$ ne signifie pas que $AC = 64$ : il faut écrire $AC = \sqrt{64} = 8$.
Exercice 2 — Calculer un côté de l'angle droit (4e)
Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$, avec $AC = 17$ cm et $BC = 15$ cm. Calculer $AB$.
Le triangle $DEF$ est rectangle en $E$, avec $DF = 25$ cm et $DE = 7$ cm. Calculer $EF$.
Le triangle $PQR$ est rectangle en $Q$, avec $PR = 10$ cm et $PQ = 4$ cm. Calculer $QR$. Le résultat est-il un nombre entier ?
▶ Solution — Exercice 2
Triangle $ABC$ rectangle en $B$ : l'hypoténuse est le côté $[AC]$ (opposé à l'angle droit en $B$).
$AB^2 = AC^2 - BC^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64$.
$AB = \sqrt{64} = 8$ cm.
Triangle $DEF$ rectangle en $E$ : l'hypoténuse est le côté $[DF]$ (opposé à l'angle droit en $E$).
$EF^2 = DF^2 - DE^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576$.
$EF = \sqrt{576} = 24$ cm.
Triangle $PQR$ rectangle en $Q$ : l'hypoténuse est le côté $[PR]$ (opposé à l'angle droit en $Q$).
$QR^2 = PR^2 - PQ^2 = 10^2 - 4^2 = 100 - 16 = 84$.
$QR = \sqrt{84} \approx 9{,}17$ cm.
Le résultat n'est pas un nombre entier : $\sqrt{84}$ est un nombre irrationnel. On peut aussi l'écrire $\sqrt{84} = 2\sqrt{21}$, mais en pratique on donne la valeur approchée.
Réciproque du théorème de Pythagore (4e)
La réciproque permet de prouver qu'un triangle est rectangle à partir de ses longueurs.
Méthode : on identifie le plus grand côté, puis on compare le carré de ce côté à la somme des carrés des deux autres.
Si l'égalité est vérifiée : le triangle est rectangle et l'angle droit est opposé au plus grand côté.
Si l'égalité n'est pas vérifiée : le triangle n'est pas rectangle.
Triangle de côtés $5$, $12$ et $13$ : le plus grand côté est $13$.
$13^2 = 169$ et $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$. Comme $13^2 = 5^2 + 12^2$, le triangle est rectangle.
Triangle de côtés $4$, $5$ et $7$ : le plus grand côté est $7$.
$7^2 = 49$ et $4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$. Comme $49 \neq 41$, le triangle n'est pas rectangle.
Exercice 3 — Le triangle est-il rectangle ? (4e)
Pour chaque triangle, dire s'il est rectangle ou non. Justifier.
Triangle $ABC$ avec $AB = 15$ cm, $BC = 20$ cm et $AC = 25$ cm.
Triangle $DEF$ avec $DE = 6$ cm, $EF = 9$ cm et $DF = 12$ cm.
Triangle $GHI$ avec $GH = 8$ cm, $HI = 15$ cm et $GI = 17$ cm.
▶ Solution — Exercice 3
Le plus grand côté est $AC = 25$ cm.
$AC^2 = 25^2 = 625$.
$AB^2 + BC^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625$.
Comme $AC^2 = AB^2 + BC^2$, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.
Le plus grand côté est $DF = 12$ cm.
$DF^2 = 12^2 = 144$.
$DE^2 + EF^2 = 6^2 + 9^2 = 36 + 81 = 117$.
Comme $144 \neq 117$, le triangle $DEF$ n'est pas rectangle.
Le plus grand côté est $GI = 17$ cm.
$GI^2 = 17^2 = 289$.
$GH^2 + HI^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$.
Comme $GI^2 = GH^2 + HI^2$, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $GHI$ est rectangle en $H$.
Exercice 4 — Problème en contexte (4e – 3e)
Un écran de télévision a une diagonale de $55$ pouces ($1$ pouce $= 2{,}54$ cm). L'écran est au format $16/9$, ce qui signifie que le rapport entre la largeur et la hauteur vaut $\dfrac{16}{9}$.
Soit $h$ la hauteur de l'écran en pouces. Exprimer la largeur en fonction de $h$.
En utilisant le théorème de Pythagore, montrer que $h^2 \times \left(1 + \dfrac{256}{81}\right) = 55^2$.
En déduire la valeur de $h$ arrondie au dixième de pouce, puis convertir la hauteur et la largeur en centimètres.
▶ Solution — Exercice 4
Le rapport largeur/hauteur vaut $\dfrac{16}{9}$, donc la largeur est $\ell = \dfrac{16}{9} \times h$.
L'écran est un rectangle : la diagonale, la hauteur et la largeur forment un triangle rectangle. D'après le théorème de Pythagore :
$$h^2 + \ell^2 = 55^2$$
En remplaçant $\ell$ par $\dfrac{16}{9}h$ :
$$h^2 + \left(\dfrac{16}{9}h\right)^2 = 55^2$$
$$h^2 + \dfrac{256}{81}h^2 = 55^2$$
$$h^2 \times \left(1 + \dfrac{256}{81}\right) = 55^2$$
$1 + \dfrac{256}{81} = \dfrac{81 + 256}{81} = \dfrac{337}{81}$.
Donc $h^2 = \dfrac{55^2 \times 81}{337} = \dfrac{3\,025 \times 81}{337} = \dfrac{245\,025}{337} \approx 727{,}1$.
$h = \sqrt{727{,}1} \approx 27{,}0$ pouces.
La largeur : $\ell = \dfrac{16}{9} \times h \approx 47{,}9$ pouces (en gardant la valeur non arrondie $h \approx 26{,}96$ ; avec $h = 27{,}0$ on obtiendrait $48{,}0$).
En centimètres : hauteur $\approx 27{,}0 \times 2{,}54 \approx 68{,}6$ cm et largeur $\approx 47{,}9 \times 2{,}54 \approx 121{,}7$ cm.
Erreurs classiques sur le théorème de Pythagore
Erreur
Exemple faux
Correction
Oublier la racine carrée
$c = a^2 + b^2$
$c = \sqrt{a^2 + b^2}$ : il faut extraire la racine
Se tromper d'hypoténuse
Écrire $AC^2 = AB^2 + BC^2$ quand l'angle droit est en $C$
L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit : ici c'est $[AB]$
Additionner au lieu de soustraire
$AC^2 = AB^2 + BC^2$ pour trouver un côté de l'angle droit
Pour un côté de l'angle droit, on soustrait : $AC^2 = AB^2 - BC^2$
Appliquer Pythagore à un triangle non rectangle
Utiliser $a^2 + b^2 = c^2$ dans un triangle quelconque
Le théorème ne s'applique qu'aux triangles rectangles. Vérifier d'abord la présence d'un angle droit
Confondre côtés et longueurs
Écrire $[AB]^2$ au lieu de $AB^2$
$[AB]$ est un segment (objet géométrique), $AB$ est sa longueur (un nombre). On met au carré la longueur
Exercice 5 — QCM (4e)
Pour chaque question, une seule réponse est correcte.
Un triangle rectangle a des côtés de l'angle droit mesurant $6$ cm et $8$ cm. L'hypoténuse mesure :
A. $14$ cm
B. $10$ cm
C. $100$ cm
D. $48$ cm
Un triangle a des côtés de longueurs $7$, $24$ et $25$. Ce triangle est :
A. équilatéral
B. rectangle
C. isocèle
D. quelconque
Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 3$ cm et $AC = 4$ cm. Le côté $BC$ mesure :
A. $7$ cm
B. $\sqrt{7}$ cm
C. $5$ cm
D. $25$ cm
Le triangle $DEF$ est rectangle en $F$, avec $DE = 13$ cm et $DF = 12$ cm. Le côté $EF$ mesure :
A. $1$ cm
B. $\sqrt{313}$ cm
C. $5$ cm
D. $25$ cm
Un triangle $ABC$ a des côtés mesurant $AB = 3$ cm, $AC = 4$ cm et $BC = 6$ cm. Ce triangle est :
A. rectangle en $A$
B. rectangle en $B$
C. rectangle en $C$
D. non rectangle
▶ Solution — Exercice 5
Réponse B. $\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ cm.
A ($14$ cm) : erreur d'addition des côtés ($6 + 8 = 14$) au lieu de la somme des carrés.
C ($100$ cm) : oubli de la racine carrée : $6^2 + 8^2 = 100$, mais la longueur est $\sqrt{100} = 10$.
D ($48$ cm) : confusion avec le produit ($6 \times 8 = 48$), aucun rapport avec Pythagore.
Réponse B. $25^2 = 625$ et $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$. L'égalité de Pythagore est vérifiée : le triangle est rectangle.
A : un triangle équilatéral a trois côtés égaux, ce n'est pas le cas ici.
C : aucun côté n'est en double, donc il n'est pas isocèle.
D : on vient de prouver qu'il est rectangle.
Réponse C. Le triangle est rectangle en $A$, donc l'hypoténuse est $[BC]$. $BC^2 = AB^2 + AC^2 = 9 + 16 = 25$, d'où $BC = 5$ cm.
B ($\sqrt{7}$ cm) : erreur de soustraction ($4^2 - 3^2 = 7$) appliquée dans le mauvais sens.
D ($25$ cm) : oubli de la racine carrée.
Réponse C. Le triangle est rectangle en $F$, donc l'hypoténuse est $[DE]$. $EF^2 = DE^2 - DF^2 = 169 - 144 = 25$, d'où $EF = 5$ cm.
A ($1$ cm) : soustraction des longueurs ($13 - 12 = 1$) au lieu des carrés.
B ($\sqrt{313}$ cm) : addition des carrés ($169 + 144 = 313$) au lieu d'une soustraction.
D ($25$ cm) : oubli de la racine carrée.
Réponse D. Le plus grand côté est $BC = 6$ cm. $BC^2 = 36$ et $AB^2 + AC^2 = 9 + 16 = 25$. Comme $36 \neq 25$, le triangle n'est pas rectangle (s'il l'était, l'angle droit serait en $A$, sommet opposé au plus grand côté $[BC]$).
A, B, C : piège pour les élèves qui pensent à tort que $(3 \,;\, 4 \,;\, 6)$ est un triplet pythagoricien comme $(3 \,;\, 4 \,;\, 5)$. Les longueurs ont beau commencer par $3$ et $4$, le troisième côté ($6$) ne vérifie pas l'égalité de Pythagore.
Exercice 6 — Vrai ou faux ?
Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse et justifier :
Le théorème de Pythagore s'applique à tous les triangles.
Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est toujours le côté horizontal.
Si $AB^2 = AC^2 + BC^2$, alors le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.
Un triangle dont les côtés mesurent $3$ cm, $4$ cm et $6$ cm est rectangle.
$\sqrt{a^2 + b^2} = a + b$ pour tous nombres positifs $a$ et $b$.
Si un triangle a un angle droit en $C$, alors $[AB]$ est l'hypoténuse.
▶ Solution — Exercice 6
Faux. Le théorème de Pythagore ne s'applique qu'aux triangles rectangles. Pour un triangle quelconque, il faut utiliser la loi des cosinus (formule d'Al-Kashi).
Faux. L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit, quelle que soit l'orientation du triangle. Un triangle rectangle peut être dessiné dans n'importe quelle position : l'hypoténuse peut être verticale, en diagonale, etc.
Vrai. Si $AB^2 = AC^2 + BC^2$, alors $[AB]$ est le plus grand côté et, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle. L'angle droit est opposé au côté $[AB]$, c'est-à-dire en $C$.
Faux. Le plus grand côté est $6$ cm. $6^2 = 36$ et $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$. Comme $36 \neq 25$, le triangle n'est pas rectangle. Il ne faut pas confondre avec le triplet pythagoricien $(3 \,;\, 4 \,;\, 5)$.
Faux. Par exemple, $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$, alors que $3 + 4 = 7$. La racine carrée d'une somme n'est pas la somme des racines carrées.
Vrai. L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit. Si l'angle droit est en $C$, le côté opposé est bien $[AB]$.