Probabilité conditionnelle et arbre pondéré · Probabilités totales, indépendance
Une probabilité conditionnelle mesure la chance qu'un événement se produise sachant qu'un autre est déjà réalisé. Cette information change la donne : la probabilité d'être malade n'est pas la même avant et après un test positif. L'outil central est l'arbre pondéré, qui organise les probabilités et permet de tout calculer : probabilité d'une intersection, probabilité totale, et probabilité « à rebours ». La difficulté est de ne pas confondre $P_A(B)$ et $P_B(A)$, qui n'ont aucune raison d'être égales.
Probabilité conditionnelle (1re)
Soient $A$ et $B$ deux événements avec $P(A) \neq 0$. La probabilité de $B$ sachant $A$, notée $P_A(B)$, est $$P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}.$$ On en déduit la probabilité d'une intersection : $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$.
On sait que $P(A) = 0{,}5$ et $P(A \cap B) = 0{,}2$. Alors $P_A(B) = \dfrac{0{,}2}{0{,}5} = 0{,}4$. Sachant que $A$ est réalisé, $B$ a une probabilité de $0{,}4$.
Arbre pondéré (1re)
Un arbre pondéré organise une expérience à deux étapes. Sur chaque branche figure une probabilité ; les branches issues d'un même point ont une somme égale à $1$. On lit deux règles :
la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités rencontrées le long de ce chemin ;
la probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui y mènent.
Formule des probabilités totales (1re)
Avec l'arbre ci-dessus, l'événement $B$ est atteint par deux chemins : celui qui passe par $A$ et celui qui passe par $\overline{A}$. D'où $$P(B) = P(A) \times P_A(B) + P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(B).$$
Indépendance (1re)
Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants lorsque la réalisation de l'un ne change pas la probabilité de l'autre, c'est-à-dire $P_A(B) = P(B)$. Cela équivaut à $$P(A \cap B) = P(A) \times P(B).$$
Méthode : utiliser un arbre
Traduire l'énoncé en événements et placer les probabilités connues sur les branches.
Compléter les branches manquantes (la somme partant d'un point vaut $1$).
Multiplier le long des chemins, additionner les chemins menant au même événement.
Une urne donne $A$ avec $P(A) = 0{,}3$. Sachant $A$, $B$ a pour probabilité $0{,}8$ ; sachant $\overline{A}$, $B$ a pour probabilité $0{,}5$. Alors $$P(B) = 0{,}3 \times 0{,}8 + 0{,}7 \times 0{,}5 = 0{,}24 + 0{,}35 = 0{,}59.$$
Exercice 1 — Conditionnelle et indépendance
On donne $P(A) = 0{,}6$, $P(B) = 0{,}5$ et $P(A \cap B) = 0{,}3$.
Calculer $P_A(B)$ et $P_B(A)$.
Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifier.
On compare $P(A) \times P(B) = 0{,}6 \times 0{,}5 = 0{,}3$ et $P(A \cap B) = 0{,}3$. Ils sont égaux, donc $A$ et $B$ sont indépendants (on remarque d'ailleurs que $P_A(B) = 0{,}5 = P(B)$).
Exercice 2 — Construire un arbre
Dans une classe, $60\,\%$ des élèves sont des filles. Parmi les filles, $30\,\%$ jouent d'un instrument ; parmi les garçons, $20\,\%$. On choisit un élève au hasard. On note $F$ « l'élève est une fille » et $I$ « l'élève joue d'un instrument ».
Construire l'arbre pondéré.
Calculer $P(F \cap I)$.
Calculer $P(I)$.
▶ Solution — Exercice 2
L'arbre a deux branches principales $F$ (probabilité $0{,}6$) et $\overline{F}$ (probabilité $0{,}4$). De $F$ partent $I$ ($0{,}3$) et $\overline{I}$ ($0{,}7$) ; de $\overline{F}$ partent $I$ ($0{,}2$) et $\overline{I}$ ($0{,}8$).
Dans une usine, $4\,\%$ des pièces sont défectueuses. Un test détecte $95\,\%$ des pièces défectueuses, mais signale aussi à tort $2\,\%$ des pièces conformes. On note $D$ « la pièce est défectueuse » et $T$ « le test est positif ».
Calculer la probabilité que le test soit positif.
Une pièce a un test positif. Calculer la probabilité qu'elle soit réellement défectueuse, $P_T(D)$. Commenter.
$P_T(D) = \dfrac{P(D \cap T)}{P(T)} = \dfrac{0{,}04 \times 0{,}95}{0{,}0572} = \dfrac{0{,}038}{0{,}0572} \approx 0{,}66$.
Même avec un test positif, la pièce n'a qu'environ $66\,\%$ de chances d'être défectueuse : les fausses alertes sur les nombreuses pièces conformes pèsent lourd. C'est pourquoi $P_T(D)$ et $P_D(T)$ sont très différents.