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Prérequis pour entrer en terminale

Cette fiche teste les acquis de première indispensables pour aborder la terminale sereinement. Essaie chaque exercice sans ton cours, note tes réponses au brouillon, puis consulte les solutions en fin de fiche.

Réussi sans hésitation : passe au suivant. Réussi avec hésitation : fais deux exercices supplémentaires. Échoué : retravaille la leçon correspondante.

1. Second degré

  1. Résoudre $2x^2 - 5x + 3 = 0$ à l'aide du discriminant.
  2. Factoriser $2x^2 - 5x + 3$.
  3. Étudier le signe de $-x^2 + 4x - 3$ sur $\mathbb{R}$.

2. Dérivation

  1. Calculer la dérivée de $f(x) = 3x^3 - 2x^2 + x - 7$.
  2. Calculer la dérivée de $g(x) = (2x + 1)(x^2 - 3)$.
  3. Étudier le signe de $f'(x)$ pour $f(x) = x^3 - 3x$ et dresser le tableau de variations de $f$.

3. Suites

  1. $(u_n)$ est définie par $u_n = 3n - 7$. Calculer $u_0$, $u_1$, $u_5$. Quelle est la nature de cette suite ?
  2. $(v_n)$ est géométrique de premier terme $v_0 = 5$ et de raison $q = 2$. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ et calculer $v_6$.
  3. $(w_n)$ est définie par $w_0 = 3$ et $w_{n+1} = 2w_n - 1$. Calculer $w_1$, $w_2$, $w_3$. La suite est-elle arithmétique ? géométrique ?

4. Fonction exponentielle

  1. Simplifier $\mathrm{e}^{3x} \times \mathrm{e}^{-x}$.
  2. Résoudre $\mathrm{e}^{2x-1} = \mathrm{e}^{5}$.
  3. Résoudre $\mathrm{e}^{x} > 1$.

5. Probabilités conditionnelles

  1. Dans une usine, $5\,\%$ des pièces sont défectueuses. Un test détecte $90\,\%$ des pièces défectueuses, mais donne aussi une fausse alerte pour $3\,\%$ des pièces conformes. Construire un arbre pondéré et calculer la probabilité que le test soit positif.
  2. On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. Sachant que la carte tirée est rouge, quelle est la probabilité que ce soit un as ?

6. Produit scalaire

  1. Soient $\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}$. Calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$. Les vecteurs sont-ils orthogonaux ?
  2. Dans un triangle $ABC$ avec $AB = 5$, $AC = 4$ et $\widehat{BAC} = 60°$, calculer $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$.

Solutions

1. Second degré

  1. $\Delta = 25 - 24 = 1 > 0$. $x_1 = \dfrac{5 - 1}{4} = 1$ et $x_2 = \dfrac{5 + 1}{4} = \dfrac{3}{2}$. Solutions : $\left\{1\,;\,\dfrac{3}{2}\right\}$.
  2. $2x^2 - 5x + 3 = 2(x - 1)\!\left(x - \dfrac{3}{2}\right) = (x - 1)(2x - 3)$.
  3. $\Delta = 16 - 12 = 4 > 0$. Racines : $x = 1$ et $x = 3$. Comme $a = -1 < 0$, le trinôme est positif entre les racines :
    $x$$-\infty$$1$$3$$+\infty$
    $-x^2+4x-3$−0+0−
Si tu échoues : reprends le discriminant, les formules des racines, la factorisation et la règle du signe (même signe que $a$ à l'extérieur des racines).

2. Dérivation

  1. $f'(x) = 9x^2 - 4x + 1$.
  2. $g'(x) = 2(x^2 - 3) + (2x + 1)(2x) = 6x^2 + 2x - 6$.
  3. $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$.
    $x$$-\infty$$-1$$1$$+\infty$
    $f'(x)$+0−0+
    $f(-1) = 2$ et $f(1) = -2$. La fonction $f$ est croissante sur $]-\infty\,;\,-1]$, décroissante sur $[-1\,;\,1]$, croissante sur $[1\,;\,+\infty[$.
Si tu échoues : reprends les formules de dérivation et la méthode complète (dériver, factoriser, tableau de signes, tableau de variations).

3. Suites

  1. $u_0 = -7$, $u_1 = -4$, $u_5 = 8$. La suite est arithmétique de raison $r = 3$ et de premier terme $u_0 = -7$.
  2. $v_n = 5 \times 2^n$. $v_6 = 5 \times 64 = 320$.
  3. $w_1 = 5$, $w_2 = 9$, $w_3 = 17$. $w_1 - w_0 = 2$ et $w_2 - w_1 = 4$ : pas arithmétique. $\dfrac{w_1}{w_0} = \dfrac{5}{3}$ et $\dfrac{w_2}{w_1} = \dfrac{9}{5}$ : pas géométrique.
Si tu échoues : reprends les formules explicites des suites arithmétiques ($u_n = u_0 + nr$) et géométriques ($v_n = v_0 \times q^n$).

4. Fonction exponentielle

  1. $\mathrm{e}^{3x} \times \mathrm{e}^{-x} = \mathrm{e}^{2x}$.
  2. $\mathrm{e}^{2x-1} = \mathrm{e}^{5} \iff 2x - 1 = 5 \iff x = 3$.
  3. $\mathrm{e}^x > 1 \iff \mathrm{e}^x > \mathrm{e}^0 \iff x > 0$. L'ensemble des solutions est $]0\,;\,+\infty[$.
Si tu échoues : reprends les propriétés de l'exponentielle ($\mathrm{e}^{a+b} = \mathrm{e}^a \times \mathrm{e}^b$) et le fait qu'elle est strictement croissante.

5. Probabilités conditionnelles

  1. $P(T) = P(D) \times P_D(T) + P(\overline{D}) \times P_{\overline{D}}(T) = 0{,}05 \times 0{,}90 + 0{,}95 \times 0{,}03 = 0{,}0735$.
  2. $16$ cartes rouges dont $2$ as. $P_R(\text{as}) = \dfrac{2}{16} = \dfrac{1}{8}$.
Si tu échoues : reprends les arbres pondérés et la formule des probabilités totales.

6. Produit scalaire

  1. $\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 2 + (-1) \times 5 = 1 \neq 0$. Les vecteurs ne sont pas orthogonaux.
  2. $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 5 \times 4 \times \cos(60°) = 20 \times \dfrac{1}{2} = 10$.
Si tu échoues : reprends les deux formules du produit scalaire (avec les coordonnées et avec les normes et l'angle). Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.