Cette fiche teste les acquis de première indispensables pour aborder la terminale sereinement. Essaie chaque exercice sans ton cours, note tes réponses au brouillon, puis consulte les solutions en fin de fiche. Si tu bloques, c'est le signe qu'il faut reprendre le point correspondant avant d'aller plus loin.
Produit scalaire
- Soient $\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}$. Calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$. Les vecteurs sont-ils orthogonaux ?
- Dans un triangle $ABC$ avec $AB = 5$, $AC = 4$ et $\widehat{BAC} = 60^{\circ}$, calculer $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$.
\section*{Solutions}
1. Second degré
- $a = 2$, $b = -5$, $c = 3$. $\Delta = b^2 - 4ac = 25 - 24 = 1 > 0$.
$x_1 = \dfrac{5 - 1}{4} = 1$ et $x_2 = \dfrac{5 + 1}{4} = \dfrac{3}{2}$.
L'ensemble des solutions est $\left\{1 \,;\, \dfrac{3}{2}\right\}$.
- Comme $\Delta > 0$, $2x^2 - 5x + 3 = 2(x - 1)\!\left(x - \dfrac{3}{2}\right) = (x - 1)(2x - 3)$.
- $a = -1$, $b = 4$, $c = -3$. $\Delta = 16 - 12 = 4 > 0$.
$x_1 = \dfrac{-4 - 2}{-2} = 3$ et $x_2 = \dfrac{-4 + 2}{-2} = 1$.
Comme $a = -1 < 0$, le trinôme est positif entre les racines :
\medskip
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$ / 1, $-x^2+4x-3$ / 0.8}{$-\infty$, $1$, $3$, $+\infty$}
\tkzTabLine{, -, z, +, z, -, }
\end{tikzpicture}
Si tu échoues : reprends le discriminant ($\Delta = b^2 - 4ac$), les formules des racines, la factorisation $a(x - x_1)(x - x_2)$, et la règle du signe (même signe que $a$ à l'extérieur des racines, signe contraire entre les racines).
2. Dérivation
- $f'(x) = 9x^2 - 4x + 1$.
- On applique $(uv)' = u'v + uv'$ avec $u(x) = 2x + 1$, $u'(x) = 2$, $v(x) = x^2 - 3$, $v'(x) = 2x$.
$g'(x) = 2(x^2 - 3) + (2x + 1)(2x) = 2x^2 - 6 + 4x^2 + 2x = 6x^2 + 2x - 6$.
- $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$.
\medskip
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$ / 1, $x+1$ / 0.8, $x-1$ / 0.8, $f'(x)$ / 0.8, $f$ / 1.5}{$-\infty$, $-1$, $1$, $+\infty$}
\tkzTabLine{, -, z, +, t, +, }
\tkzTabLine{, -, t, -, z, +, }
\tkzTabLine{, +, z, -, z, +, }
\tkzTabVar{-/, +/$2$, -/$-2$, +/}
\end{tikzpicture}
\medskip
$f(-1) = -1 + 3 = 2$ et $f(1) = 1 - 3 = -2$.
Si tu échoues aux exercices 1 ou 2 : reprends les formules de dérivation ($x^n \to nx^{n-1}$) et la formule du produit. Si tu échoues à l'exercice 3 : reprends la méthode complète : dériver, factoriser la dérivée, dresser le tableau de signes avec les facteurs, puis le tableau de variations.
3. Suites
- $u_0 = -7$, $u_1 = -4$, $u_5 = 8$. On vérifie : $u_1 - u_0 = 3$, $u_5 - u_4 = 8 - 5 = 3$. La suite est arithmétique de raison $r = 3$ et de premier terme $u_0 = -7$.
- $v_n = v_0 \times q^n = 5 \times 2^n$. Donc $v_6 = 5 \times 2^6 = 5 \times 64 = 320$.
- $w_1 = 2 \times 3 - 1 = 5$, $w_2 = 2 \times 5 - 1 = 9$, $w_3 = 2 \times 9 - 1 = 17$.
$w_1 - w_0 = 2$ et $w_2 - w_1 = 4$ : la différence n'est pas constante, la suite n'est pas arithmétique.
$\dfrac{w_1}{w_0} = \dfrac{5}{3}$ et $\dfrac{w_2}{w_1} = \dfrac{9}{5}$ : le quotient n'est pas constant, la suite n'est pas géométrique.
Si tu échoues : reprends les définitions et formules explicites des suites arithmétiques ($u_n = u_0 + nr$) et géométriques ($v_n = v_0 \times q^n$), ainsi que la différence entre formule explicite et formule de récurrence.
4. Fonction exponentielle
- $\mathrm{e}^{3x} \times \mathrm{e}^{-x} = \mathrm{e}^{3x + (-x)} = \mathrm{e}^{2x}$.
- La fonction exponentielle est strictement croissante, donc $\mathrm{e}^a = \mathrm{e}^b \iff a = b$.
$\mathrm{e}^{2x-1} = \mathrm{e}^{5} \iff 2x - 1 = 5 \iff x = 3$.
- $\mathrm{e}^x > 1 \iff \mathrm{e}^x > \mathrm{e}^0 \iff x > 0$ (car la fonction exponentielle est strictement croissante).
L'ensemble des solutions est $\mathopen{]}0 \,;\, +\infty\mathclose{[}$.
Si tu échoues : reprends les propriétés algébriques de l'exponentielle ($\mathrm{e}^{a+b} = \mathrm{e}^a \times \mathrm{e}^b$) et le fait que la fonction exponentielle est strictement croissante et toujours positive.
5. Probabilités conditionnelles
Soit $D$ l'événement « la pièce est défectueuse » et $T$ l'événement « le test est positif ».
On a : $P(D) = 0{,}05$, $P(\overline{D}) = 0{,}95$, $P_D(T) = 0{,}90$, $P_{\overline{D}}(T) = 0{,}03$.
- L'arbre pondéré a deux branches principales ($D$ et $\overline{D}$), chacune se subdivisant en $T$ et $\overline{T}$.
- D'après la formule des probabilités totales :
$P(T) = P(D) \times P_D(T) + P(\overline{D}) \times P_{\overline{D}}(T) = 0{,}05 \times 0{,}90 + 0{,}95 \times 0{,}03 = 0{,}045 + 0{,}0285 = 0{,}0735$.
- Un jeu de 32 cartes contient 16 cartes rouges, dont 2 as (as de cœur et as de carreau).
$P_R(\text{as}) = \dfrac{2}{16} = \dfrac{1}{8}$.
Si tu échoues : reprends les arbres pondérés (chaque branche porte une probabilité conditionnelle, le produit des branches donne la probabilité de l'intersection) et la formule des probabilités totales.
6. Produit scalaire
- $\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 2 + (-1) \times 5 = 6 - 5 = 1$.
$\vec{u} \cdot \vec{v} \neq 0$, donc les vecteurs ne sont pas orthogonaux.
- $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC}) = 5 \times 4 \times \cos(60^{\circ}) = 20 \times \dfrac{1}{2} = 10$.
Si tu échoues : reprends les deux formules du produit scalaire : avec les coordonnées ($xx' + yy'$) et avec les normes et l'angle ($\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta$). Retiens que deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.