Prérequis pour la spécialité maths de terminale

1. $a = 2$, $b = -5$, $c = 3$. $\Delta = b^2 - 4ac = 25 - 24 = 1 > 0$. $x_1 = \dfrac{5 - 1}{4} = 1$   et   $x_2 = \dfrac{5 + 1}{4} = \dfrac{3}{2}$. L'ensemble des solutions est $\left\{1 \,;\, \dfrac{3}{2}\right\}$.
2. Comme $\Delta > 0$, $2x^2 - 5x + 3 = 2(x - 1)\!\left(x - \dfrac{3}{2}\right) = (x - 1)(2x - 3)$.

3. $a = -1$, $b = 4$, $c = -3$. $\Delta = 16 - 12 = 4 > 0$.

   $x_1 = \dfrac{-4 - 2}{-2} = 3$   et   $x_2 = \dfrac{-4 + 2}{-2} = 1$.

   Comme $a = -1 < 0$, le trinôme est positif entre les racines :

Si tu échoues : reprends le discriminant ($\Delta = b^2 - 4ac$), les formules des racines, la factorisation $a(x - x_1)(x - x_2)$, et la règle du signe (même signe que $a$ à l'extérieur des racines, signe contraire entre les racines).

1. La fonction carré est décroissante sur $\mathopen{]}-\infty \,;\, 0\mathclose{]}$ et croissante sur $\mathopen{[}0 \,;\, +\infty\mathclose{[}$. La fonction inverse est décroissante sur $\mathopen{]}0 \,;\, +\infty\mathclose{[}$.
2. $x^2 = 9 \iff x = -3$ ou $x = 3$. Pour l'inéquation, $x^2 < 9 \iff -3 < x < 3$ : l'ensemble des solutions est $\mathopen{]}-3 \,;\, 3\mathclose{[}$ (attention, ce n'est pas $x < 3$ seulement).
3. $f(x) = (x - 2)^2 + 1$ est sous forme canonique. Un carré étant toujours positif ou nul, $f(x) \geq 1$, avec égalité lorsque $x - 2 = 0$, c'est-à-dire $x = 2$. Le minimum de $f$ vaut donc $1$, atteint en $x = 2$. La fonction $f$ est décroissante sur $\mathopen{]}-\infty \,;\, 2\mathclose{]}$ et croissante sur $\mathopen{[}2 \,;\, +\infty\mathclose{[}$.

Si tu échoues : reprends les fonctions de référence (carré, inverse, racine carrée) et leurs variations, ainsi que la lecture d'un extremum sur la forme canonique $a(x - \alpha)^2 + \beta$.

1. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul. $(x - 3)(2x + 1) = 0 \iff x - 3 = 0$ ou $2x + 1 = 0 \iff x = 3$ ou $x = -\dfrac{1}{2}$. L'ensemble des solutions est $\left\{-\dfrac{1}{2} \,;\, 3\right\}$.
2. $-2x + 5 \geq 1 \iff -2x \geq -4 \iff x \leq 2$. On divise les deux membres par $-2$, qui est négatif, donc on change le sens de l'inégalité. L'ensemble des solutions est $\mathopen{]}-\infty \,;\, 2\mathclose{]}$.

3. Le facteur $(x + 2)$ s'annule en $-2$, le facteur $(4 - x)$ s'annule en $4$. On étudie le signe de chaque facteur, puis celui du produit, dans un tableau de signes :

   Le produit $(x + 2)(4 - x)$ est donc positif sur $[-2 \,;\, 4]$ et négatif à l'extérieur ; il s'annule en $-2$ et en $4$.

Si tu échoues : reprends la résolution d'une équation produit nul, la règle du changement de sens d'une inégalité lors de la division par un nombre négatif, et l'étude du signe d'un produit facteur par facteur.

1. $f'(x) = 9x^2 - 4x + 1$.
2. On applique $(uv)' = u'v + uv'$ avec $u(x) = 2x + 1$, $u'(x) = 2$, $v(x) = x^2 - 3$, $v'(x) = 2x$. $g'(x) = 2(x^2 - 3) + (2x + 1)(2x) = 2x^2 - 6 + 4x^2 + 2x = 6x^2 + 2x - 6$.

3. $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$.

   $f(-1) = -1 + 3 = 2$ et $f(1) = 1 - 3 = -2$.

Si tu échoues aux exercices 1 ou 2 : reprends les formules de dérivation ($x^n \to nx^{n-1}$) et la formule du produit. Si tu échoues à l'exercice 3 : reprends la méthode complète : dériver, factoriser la dérivée, dresser le tableau de signes avec les facteurs, puis le tableau de variations.

1. $u_0 = -7$, $u_1 = -4$, $u_5 = 8$. On vérifie : $u_1 - u_0 = 3$, $u_5 - u_4 = 8 - 5 = 3$. La suite est arithmétique de raison $r = 3$ et de premier terme $u_0 = -7$.
2. $v_n = v_0 \times q^n = 5 \times 2^n$. Donc $v_6 = 5 \times 2^6 = 5 \times 64 = 320$.
3. $w_1 = 2 \times 3 - 1 = 5$, $w_2 = 2 \times 5 - 1 = 9$, $w_3 = 2 \times 9 - 1 = 17$. $w_1 - w_0 = 2$ et $w_2 - w_1 = 4$ : la différence n'est pas constante, la suite n'est pas arithmétique. $\dfrac{w_1}{w_0} = \dfrac{5}{3}$ et $\dfrac{w_2}{w_1} = \dfrac{9}{5}$ : le quotient n'est pas constant, la suite n'est pas géométrique.

Si tu échoues : reprends les définitions et formules explicites des suites arithmétiques ($u_n = u_0 + nr$) et géométriques ($v_n = v_0 \times q^n$), ainsi que la différence entre formule explicite et formule de récurrence.

1. Augmenter de $15\,\%$ revient à multiplier par le coefficient $1 + \dfrac{15}{100} = 1{,}15$. Le nouveau prix est $80 \times 1{,}15 = 92$ €.
2. Le taux d'évolution est égal à la variation rapportée à la valeur initiale : $\dfrac{42 - 50}{50} = \dfrac{-8}{50} = -0{,}16$, soit une baisse de $16\,\%$.
3. Multiplier par $1{,}10$ puis par $0{,}90$ revient à multiplier par le coefficient global $1{,}10 \times 0{,}90 = 0{,}99$. Le capital est donc multiplié par $0{,}99$, ce qui correspond à une baisse de $1\,\%$ (et non à une évolution nulle).

Si tu échoues : reprends le coefficient multiplicateur ($1 + t$ pour une hausse, $1 - t$ pour une baisse), le calcul d'un taux d'évolution, et le fait que des évolutions successives se multiplient au lieu de s'additionner.

1. $\mathrm{e}^{3x} \times \mathrm{e}^{-x} = \mathrm{e}^{3x + (-x)} = \mathrm{e}^{2x}$.
2. La fonction exponentielle est strictement croissante, donc $\mathrm{e}^a = \mathrm{e}^b \iff a = b$. $\mathrm{e}^{2x-1} = \mathrm{e}^{5} \iff 2x - 1 = 5 \iff x = 3$.
3. $\mathrm{e}^x > 1 \iff \mathrm{e}^x > \mathrm{e}^0 \iff x > 0$ (car la fonction exponentielle est strictement croissante). L'ensemble des solutions est $\mathopen{]}0 \,;\, +\infty\mathclose{[}$.

Si tu échoues : reprends les propriétés algébriques de l'exponentielle ($\mathrm{e}^{a+b} = \mathrm{e}^a \times \mathrm{e}^b$) et le fait que la fonction exponentielle est strictement croissante et toujours positive.

1. $\cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}$, $\sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0$.
2. $\dfrac{3\pi}{4}$ correspond à $\dfrac{3 \times 180^{\circ}}{4} = 135^{\circ}$. Son point image se trouve dans le deuxième quadrant (en haut à gauche), symétrique du point image de $\dfrac{\pi}{4}$ par rapport à l'axe des ordonnées.
3. Sur $\mathopen{[}0 \,;\, 2\pi\mathclose{[}$, $\cos x = \dfrac{1}{2} \iff x = \dfrac{\pi}{3}$ ou $x = 2\pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{5\pi}{3}$.

Si tu échoues : reprends le cercle trigonométrique, les valeurs remarquables ($\dfrac{\pi}{6}$, $\dfrac{\pi}{4}$, $\dfrac{\pi}{3}$, $\dfrac{\pi}{2}$) et la conversion entre radians et degrés.

1. Soit $D$ l'événement « la pièce est défectueuse » et $T$ l'événement « le test est positif ».

   On a : $P(D) = 0{,}05$, $P(\overline{D}) = 0{,}95$, $P_D(T) = 0{,}90$, $P_{\overline{D}}(T) = 0{,}03$.

   1. L'arbre pondéré a deux branches principales ($D$ et $\overline{D}$), chacune se subdivisant en $T$ et $\overline{T}$.
   2. D'après la formule des probabilités totales : $P(T) = P(D) \times P_D(T) + P(\overline{D}) \times P_{\overline{D}}(T) = 0{,}05 \times 0{,}90 + 0{,}95 \times 0{,}03 = 0{,}045 + 0{,}0285 = 0{,}0735$.
2. Un jeu de 32 cartes contient 16 cartes rouges, dont 2 as (as de cœur et as de carreau). $P_R(\text{as}) = \dfrac{2}{16} = \dfrac{1}{8}$.

Si tu échoues : reprends les arbres pondérés (chaque branche porte une probabilité conditionnelle, le produit des branches donne la probabilité de l'intersection) et la formule des probabilités totales.

1. $X$ prend les valeurs $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, chacune avec la probabilité $\dfrac{1}{6}$. $E(X) = \dfrac{1}{6}(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = \dfrac{21}{6} = 3{,}5$.
2. $E(X) = 0 \times 0{,}5 + 1 \times 0{,}3 + 2 \times 0{,}2 = 0{,}3 + 0{,}4 = 0{,}7$. On calcule d'abord $E(X^2) = 0^2 \times 0{,}5 + 1^2 \times 0{,}3 + 2^2 \times 0{,}2 = 0{,}3 + 0{,}8 = 1{,}1$. Puis $V(X) = E(X^2) - E(X)^2 = 1{,}1 - 0{,}7^2 = 1{,}1 - 0{,}49 = 0{,}61$.

Si tu échoues : reprends la loi de probabilité d'une variable aléatoire (la somme des probabilités vaut $1$), l'espérance $E(X) = \sum x_i \, P(X = x_i)$ et la variance $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$.

1. $\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 2 + (-1) \times 5 = 6 - 5 = 1$. $\vec{u} \cdot \vec{v} \neq 0$, donc les vecteurs ne sont pas orthogonaux.
2. $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC}) = 5 \times 4 \times \cos(60^{\circ}) = 20 \times \dfrac{1}{2} = 10$.

Si tu échoues : reprends les deux formules du produit scalaire : avec les coordonnées ($xx' + yy'$) et avec les normes et l'angle ($\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta$). Retiens que deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

1. $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 - 1 \\ -1 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \end{pmatrix}$. $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
2. $\overrightarrow{AC}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 3 - 1 \\ 5 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$. Deux vecteurs de coordonnées $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ sont colinéaires si et seulement si $xy' - yx' = 0$. Ici, $4 \times 3 - (-3) \times 2 = 12 + 6 = 18 \neq 0$. Les vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les points $A$, $B$, $C$ ne sont pas alignés.
3. $I$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{x_A + x_B}{2} \,;\, \dfrac{y_A + y_B}{2}\right) = \left(\dfrac{1 + 5}{2} \,;\, \dfrac{2 + (-1)}{2}\right) = \left(3 \,;\, \dfrac{1}{2}\right)$.

Si tu échoues : reprends les coordonnées d'un vecteur ($x_B - x_A$ et $y_B - y_A$), la distance entre deux points, le critère de colinéarité ($xy' - yx' = 0$) et les coordonnées du milieu d'un segment.