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Prérequis pour entrer en première

Cette fiche teste les acquis de seconde indispensables pour aborder la première sereinement. Essaie chaque exercice sans ton cours, note tes réponses au brouillon, puis consulte les solutions en fin de fiche.

Réussi sans hésitation : passe au suivant. Réussi avec hésitation : fais deux exercices supplémentaires. Échoué : retravaille la leçon correspondante.

1. Calcul d'images et notation fonctionnelle

  1. Soit $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$. Calculer $f(-1)$ et $f\!\left(\dfrac{1}{2}\right)$.
  2. Soit $g(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$. Calculer $g(0)$ et $g(5)$.
  3. Déterminer la (ou les) valeur(s) interdite(s) de $g$.

2. Fonctions affines et lecture graphique

  1. Déterminer le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine de la droite passant par $A(1\,;\,4)$ et $B(3\,;\,-2)$.
  2. On donne $h(x) = -\dfrac{3}{2}x + 5$. Résoudre $h(x) = 0$, puis déterminer le signe de $h(x)$ sur $\mathbb{R}$.
  3. Une fonction $f$ est représentée par une courbe. On lit que $f$ est croissante sur $[-3\,;\,1]$ et décroissante sur $[1\,;\,5]$, avec $f(1) = 4$. Que peut-on dire de $f(1)$ ?

3. Identités remarquables

  1. Développer $(3x + 2)^2$.
  2. Factoriser $x^2 - 16$.
  3. Factoriser $9x^2 + 12x + 4$.

4. Inéquations du premier degré

  1. Résoudre $-3x + 6 > 0$.
  2. Résoudre $4 - 2x \leqslant 3x + 9$.

5. Tableau de signes et équation produit nul

  1. Dresser le tableau de signes de $P(x) = (2x - 6)(x + 1)$.
  2. Résoudre $(2x - 1)(x + 3) = 0$.
  3. Résoudre $(2x - 6)(x + 1) \geqslant 0$ à l'aide du tableau de signes de la question 1.

6. Vecteurs et repérage

  1. Dans un repère, on donne $A(2\,;\,-1)$ et $B(5\,;\,3)$. Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et la distance $AB$.
  2. Calculer les coordonnées du milieu $M$ de $[AB]$.
  3. On donne $\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} -6 \\ 4 \end{pmatrix}$. Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont-ils colinéaires ? Justifier.

7. Probabilités

  1. On lance deux dés équilibrés à six faces et on additionne les résultats. Quelle est la probabilité d'obtenir une somme égale à $7$ ?
  2. Dans un lycée, $60\,\%$ des élèves pratiquent un sport, $40\,\%$ jouent d'un instrument et $15\,\%$ font les deux. Quelle est la probabilité qu'un élève choisi au hasard ne fasse ni sport ni musique ?

Solutions

1. Calcul d'images et notation fonctionnelle

  1. $f(-1) = 2 \times (-1)^2 - 3 \times (-1) + 1 = 2 + 3 + 1 = 6$. $f\!\left(\dfrac{1}{2}\right) = 2 \times \dfrac{1}{4} - 3 \times \dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{2} + 1 = 0$.
  2. $g(0) = \dfrac{1}{-3} = -\dfrac{1}{3}$. $g(5) = \dfrac{11}{2}$.
  3. Le dénominateur s'annule quand $x = 3$. La valeur interdite est $3$.
Si tu échoues : reprends le calcul d'images. Pour les fonctions rationnelles, vérifie que le dénominateur ne s'annule pas.

2. Fonctions affines et lecture graphique

  1. $m = \dfrac{-2 - 4}{3 - 1} = -3$. En remplaçant par $A$ : $b = 7$. L'équation est $y = -3x + 7$.
  2. $h(x) = 0 \iff x = \dfrac{10}{3}$. Comme le coefficient directeur est négatif, $h(x) > 0$ pour $x < \dfrac{10}{3}$ et $h(x) < 0$ pour $x > \dfrac{10}{3}$.
  3. $f$ est croissante puis décroissante autour de $x = 1$ : $f(1) = 4$ est le maximum de $f$ sur $[-3\,;\,5]$.
Si tu échoues : reprends la formule du coefficient directeur, l'équation $y = mx + p$, et la lecture de variations sur un graphique.

3. Identités remarquables

  1. $(3x + 2)^2 = 9x^2 + 12x + 4$.
  2. $x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$.
  3. On reconnaît $(3x + 2)^2$.
Si tu échoues : reprends les trois identités remarquables. Entraîne-toi à les reconnaître dans les deux sens.

4. Inéquations du premier degré

  1. $-3x + 6 > 0 \iff x < 2$. L'ensemble des solutions est $\left]-\infty\,;\,2\right[$.
  2. $4 - 2x \leqslant 3x + 9 \iff x \geqslant -1$. L'ensemble des solutions est $[-1\,;\,+\infty[$.
Si tu échoues : reprends la règle : quand on divise par un nombre négatif, on inverse le sens de l'inégalité.

5. Tableau de signes et équation produit nul

  1. $2x - 6 = 0 \iff x = 3$ et $x + 1 = 0 \iff x = -1$.
    $x$$-\infty$$-1$$3$$+\infty$
    $2x-6$−|−0+
    $x+1$−0+|+
    $P(x)$+0−0+
  2. $2x - 1 = 0 \iff x = \dfrac{1}{2}$ ou $x + 3 = 0 \iff x = -3$. L'ensemble des solutions est $\left\{-3\,;\,\dfrac{1}{2}\right\}$.
  3. D'après le tableau, $P(x) \geqslant 0$ pour $x \in \left]-\infty\,;\,-1\right] \cup \left[3\,;\,+\infty\right[$.
Si tu échoues : reprends la règle des signes d'un produit et la propriété du produit nul.

6. Vecteurs et repérage

  1. $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$. $AB = \sqrt{9 + 16} = 5$.
  2. $M\left(\dfrac{7}{2}\,;\,1\right)$.
  3. $3 \times 4 - (-2) \times (-6) = 12 - 12 = 0$. Le déterminant est nul, donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires. On vérifie : $\vec{v} = -2\vec{u}$.
Si tu échoues : reprends les formules de coordonnées d'un vecteur, de distance, de milieu, et le critère de colinéarité par le déterminant.

7. Probabilités

  1. $36$ issues équiprobables, $6$ couples donnant une somme de $7$. $P = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$.
  2. $P(S \cup M) = 0{,}60 + 0{,}40 - 0{,}15 = 0{,}85$. $P(\overline{S \cup M}) = 1 - 0{,}85 = 0{,}15$, soit $15\,\%$.
Si tu échoues : reprends le modèle d'équiprobabilité et la formule $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.