Repérage et vecteurs dans l'espace · Distance, milieu, produit scalaire, orthogonalité
Dans l'espace, on repère un point non plus par deux coordonnées, mais par trois : $(x \,;\, y \,;\, z)$. La bonne nouvelle, c'est que les outils du plan se prolongent presque tels quels : coordonnées d'un vecteur, distance, milieu, produit scalaire. Il suffit d'ajouter une troisième coordonnée partout. Le produit scalaire dans l'espace reste l'outil clé pour prouver qu'une droite est perpendiculaire à une autre. La difficulté est surtout de bien visualiser la figure et de ne pas oublier la coordonnée $z$.
Un repère de l'espace est constitué d'une origine $O$ et de trois axes. Tout point $M$ est repéré par trois coordonnées $(x \,;\, y \,;\, z)$ : $x$ et $y$ situent le point « au sol », $z$ donne la hauteur.
Exercice 1 — Lire et placer des points dans un cube (Tle)
$ABCDEFGH$ est un cube d'arête $1$ : la face $ABCD$ est « au sol », et les sommets $E$, $F$, $G$, $H$ sont situés respectivement au-dessus de $A$, $B$, $C$, $D$. On se place dans le repère $(A \,;\, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE})$.
Déterminer les coordonnées du milieu $I$ du segment $[EG]$. Où se situe ce point sur le cube ?
Le point $M$ a pour coordonnées $\left(1 \,;\, \dfrac{1}{2} \,;\, 0\right)$. Sur quelle arête du cube se trouve-t-il ? Préciser sa position.
Déterminer les coordonnées du centre $\Omega$ du cube.
▶ Solution — Exercice 1
Les trois axes portent les arêtes $[AB]$, $[AD]$ et $[AE]$ : $D(0 \,;\, 1 \,;\, 0)$, $E(0 \,;\, 0 \,;\, 1)$, $C(1 \,;\, 1 \,;\, 0)$, $F(1 \,;\, 0 \,;\, 1)$, $G(1 \,;\, 1 \,;\, 1)$ et $H(0 \,;\, 1 \,;\, 1)$. La coordonnée $z$ vaut $0$ pour les sommets du sol et $1$ pour ceux du dessus.
$I\left(\dfrac{0 + 1}{2} \,;\, \dfrac{0 + 1}{2} \,;\, \dfrac{1 + 1}{2}\right) = I\left(\dfrac{1}{2} \,;\, \dfrac{1}{2} \,;\, 1\right)$. C'est le centre de la face du dessus $EFGH$, puisque $[EG]$ en est une diagonale.
$x = 1$ et $z = 0$ : le point est sur l'arête $[BC]$ (les points $B(1 \,;\, 0 \,;\, 0)$ et $C(1 \,;\, 1 \,;\, 0)$ ont ces mêmes coordonnées $x$ et $z$). Comme $y = \dfrac{1}{2}$, $M$ est le milieu de $[BC]$.
Le centre du cube est le milieu de la grande diagonale $[AG]$ : $\Omega\left(\dfrac{0 + 1}{2} \,;\, \dfrac{0 + 1}{2} \,;\, \dfrac{0 + 1}{2}\right) = \Omega\left(\dfrac{1}{2} \,;\, \dfrac{1}{2} \,;\, \dfrac{1}{2}\right)$.
Vecteurs et colinéarité (Tle)
Pour $A(x_A \,;\, y_A \,;\, z_A)$ et $B(x_B \,;\, y_B \,;\, z_B)$, le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \\ z_B - z_A \end{pmatrix}$. Deux vecteurs sont colinéaires lorsque l'un est un multiple de l'autre : $\vec{u} = k\,\vec{v}$.
Avec $A(1 \,;\, 0 \,;\, 2)$ et $B(3 \,;\, -1 \,;\, 4)$ : $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$. Les vecteurs $\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}$ sont colinéaires car $\vec{v} = 2\,\vec{u}$.
Exercice 2 — Coordonnées de vecteurs et colinéarité (Tle)
On donne $C(1 \,;\, 2 \,;\, 0)$ et $D(5 \,;\, 4 \,;\, 4)$. Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{CD}$, puis montrer que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires. Que peut-on en déduire pour les droites $(AB)$ et $(CD)$ ?
Les vecteurs $\vec{a}\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}$ et $\vec{b}\begin{pmatrix} -3 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix}$ sont-ils colinéaires ?
$\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} 5 - 1 \\ 4 - 2 \\ 4 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}$. On remarque que $\overrightarrow{CD} = 2\,\overrightarrow{AB}$ (chaque coordonnée est doublée) : les vecteurs sont colinéaires. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ ont donc la même direction : elles sont parallèles (ou confondues).
On cherche un réel $k$ tel que $\vec{b} = k\,\vec{a}$. Avec la première coordonnée, $-3 = 2k$, soit $k = -\dfrac{3}{2}$. On vérifie sur les deux autres : $-\dfrac{3}{2} \times 4 = -6$ ✓{} et $-\dfrac{3}{2} \times (-2) = 3$ ✓. Toutes les coordonnées concordent, donc $\vec{a}$ et $\vec{b}$ sont colinéaires.
$\overrightarrow{PQ}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{PR}\begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}$. On a $\overrightarrow{PR} = 3\,\overrightarrow{PQ}$ : les vecteurs sont colinéaires et ont le point $P$ en commun, donc les points $P$, $Q$ et $R$ sont alignés.
Avec les deux premières coordonnées, $\vec{v} = 2\,\vec{u}$ semble convenir ($2 = 2 \times 1$ et $4 = 2 \times 2$), mais la troisième donne $2 \times 3 = 6 \neq 5$. Il n'existe pas de réel $k$ qui convienne pour les trois coordonnées : les vecteurs ne sont pas colinéaires. Il faut toujours vérifier $k$ sur les trois coordonnées.
Distance et milieu (Tle)
Dans un repère orthonormé : $$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}.$$ Le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{x_A + x_B}{2} \,;\, \dfrac{y_A + y_B}{2} \,;\, \dfrac{z_A + z_B}{2}\right)$.
Avec $A(1 \,;\, 0 \,;\, 2)$ et $B(3 \,;\, -1 \,;\, 4)$ : $AB = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$. Le milieu de $[AB]$ est $I\left(2 \,;\, -\dfrac{1}{2} \,;\, 3\right)$.
Exercice 3 — Distance et milieu (Tle)
Le repère est orthonormé.
On donne $A(2 \,;\, -1 \,;\, 3)$ et $B(4 \,;\, 0 \,;\, 5)$. Calculer la distance $AB$, puis les coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$.
Dans le cube d'arête $1$ de l'exercice 1, calculer la longueur $AC$ de la diagonale d'une face, puis la longueur $AG$ de la grande diagonale du cube.
On donne $A(0 \,;\, 0 \,;\, 0)$, $B(2 \,;\, 2 \,;\, 1)$ et $C(1 \,;\, -2 \,;\, 2)$. Calculer $AB$, $AC$ et $BC$, puis préciser la nature du triangle $ABC$.
▶ Solution — Exercice 3
Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$. Donc $AB = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$. Le milieu est $I\left(\dfrac{2 + 4}{2} \,;\, \dfrac{-1 + 0}{2} \,;\, \dfrac{3 + 5}{2}\right) = I\left(3 \,;\, -\dfrac{1}{2} \,;\, 4\right)$.
$A(0 \,;\, 0 \,;\, 0)$, $C(1 \,;\, 1 \,;\, 0)$ et $G(1 \,;\, 1 \,;\, 1)$. Donc $AC = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$ et $AG = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$. La grande diagonale d'un cube d'arête $a$ mesure $a\sqrt{3}$, la diagonale d'une face $a\sqrt{2}$.
$AB = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{9} = 3$ ; $AC = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3$ ; $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} -1 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}$, donc $BC = \sqrt{1 + 16 + 1} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
Comme $AB = AC$, le triangle est isocèle en $A$. De plus, $AB^2 + AC^2 = 9 + 9 = 18 = BC^2$ : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en $A$. Le triangle $ABC$ est donc rectangle et isocèle en $A$.
Produit scalaire dans l'espace (Tle)
Dans un repère orthonormé, si $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix}$, alors $$\vec{u} \cdot \vec{v} = x x' + y y' + z z'.$$ Comme dans le plan, deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.
Déterminer le réel $t$ pour que $\vec{u}\begin{pmatrix} t \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$ soient orthogonaux.
Dans le cube d'arête $1$ de l'exercice 1, les droites $(AG)$ et $(BH)$ sont-elles orthogonales ? Et les droites $(AC)$ et $(BD)$ ?
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 3t + 2 \times 1 + (-1) \times 4 = 3t - 2$. Les vecteurs sont orthogonaux lorsque $3t - 2 = 0$, soit $t = \dfrac{2}{3}$.
$\overrightarrow{AG}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BH}\begin{pmatrix} 0 - 1 \\ 1 - 0 \\ 1 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$, donc $\overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{BH} = -1 + 1 + 1 = 1 \neq 0$ : les grandes diagonales $(AG)$ et $(BH)$ ne sont pas orthogonales.
$\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BD}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, donc $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = -1 + 1 + 0 = 0$ : les diagonales $(AC)$ et $(BD)$ de la face $ABCD$ sont orthogonales, ce qui est bien connu pour un carré.
Exercice 5 — Problème en contexte : nature d'un triangle (Tle)
Dans un repère orthonormé, on donne $A(1 \,;\, 0 \,;\, 2)$, $B(3 \,;\, 2 \,;\, 2)$ et $C(2 \,;\, -1 \,;\, 4)$.
Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
Le produit scalaire est nul, donc $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont orthogonaux : le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
$AB = \sqrt{2^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ ; $AC = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{6}$ ; $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}$, donc $BC = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14}$.
On a $AB^2 + AC^2 = 8 + 6 = 14 = BC^2$ : l'égalité de Pythagore est vérifiée, ce qui confirme que le triangle est rectangle en $A$, avec $[BC]$ pour hypoténuse. ✓
Les côtés de l'angle droit sont $AB$ et $AC$ : $\mathcal{A} = \dfrac{AB \times AC}{2} = \dfrac{2\sqrt{2} \times \sqrt{6}}{2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ unités d'aire.
Exercice 6 — Problème en contexte : une pyramide (Tle)
Dans un repère orthonormé (unité : le mètre), on considère la pyramide $SABCD$ avec $A(0 \,;\, 0 \,;\, 0)$, $B(4 \,;\, 0 \,;\, 0)$, $C(4 \,;\, 4 \,;\, 0)$, $D(0 \,;\, 4 \,;\, 0)$ et $S(2 \,;\, 2 \,;\, 3)$.
Montrer que $ABCD$ est un carré.
Déterminer les coordonnées du centre $I$ de la base $ABCD$.
Montrer que la droite $(SI)$ est orthogonale aux droites $(AC)$ et $(BD)$. Que représente le segment $[SI]$ pour la pyramide ? Calculer sa longueur.
Calculer la longueur de l'arête $[SA]$. Que peut-on dire des quatre arêtes latérales ?
Calculer le volume de la pyramide, sachant que le volume d'une pyramide est $\dfrac{1}{3} \times \text{aire de la base} \times \text{hauteur}$.
▶ Solution — Exercice 6
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}$. Comme $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$, $ABCD$ est un parallélogramme. De plus, $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 4 \times 0 + 0 \times 4 + 0 \times 0 = 0$ : l'angle en $A$ est droit, c'est un rectangle. Enfin $AB = AD = 4$ : c'est un carré.
$I$ est le milieu de la diagonale $[AC]$ : $I\left(\dfrac{0 + 4}{2} \,;\, \dfrac{0 + 4}{2} \,;\, \dfrac{0 + 0}{2}\right) = I(2 \,;\, 2 \,;\, 0)$.
$\overrightarrow{SI}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BD}\begin{pmatrix} -4 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}$. On calcule $\overrightarrow{SI} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 + 0 + 0 = 0$ et $\overrightarrow{SI} \cdot \overrightarrow{BD} = 0 + 0 + 0 = 0$ : la droite $(SI)$ est orthogonale aux deux diagonales de la base. Elle est donc perpendiculaire au plan de la base (on admet qu'une droite orthogonale à deux droites sécantes d'un plan est perpendiculaire à ce plan) : $[SI]$ est la hauteur de la pyramide, et $SI = \sqrt{0^2 + 0^2 + (-3)^2} = 3$ m.
$\overrightarrow{SA}\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix}$, donc $SA = \sqrt{4 + 4 + 9} = \sqrt{17} \approx 4{,}12$ m. Par symétrie de la figure ($S$ est au-dessus du centre du carré), les quatre arêtes latérales $SA$, $SB$, $SC$ et $SD$ ont la même longueur $\sqrt{17}$ : la pyramide est régulière. Vérification pour $SC$ : $\overrightarrow{SC}\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}$, $SC = \sqrt{4 + 4 + 9} = \sqrt{17}$. ✓
L'aire de la base est $4 \times 4 = 16$ m$^2$ et la hauteur vaut $3$ m : $V = \dfrac{1}{3} \times 16 \times 3 = 16$ m$^3$.
A : les coordonnées ont été additionnées sans être divisées par $2$.
C : c'est la demi-différence $\dfrac{B - A}{2}$, pas la demi-somme.
D : erreur de signe sur $z$, $\dfrac{3 + (-1)}{2} = 1$ et non $\dfrac{3 + 1}{2} = 2$.
Exercice 8 — Vrai ou faux ?
Le repère est orthonormé. Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse et justifier :
Dans l'espace, un point est repéré par trois coordonnées.
Deux vecteurs orthogonaux sont colinéaires.
Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont non nuls et si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$, alors $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.
La distance $AB$ se calcule avec les seules coordonnées $x$ et $y$ des points $A$ et $B$.
Si $\overrightarrow{AB} = 2\,\overrightarrow{CD}$, alors les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles ou confondues.
Le milieu de $[AB]$ a pour coordonnées la somme des coordonnées de $A$ et de $B$.
Dans un cube d'arête $1$, la grande diagonale mesure $\sqrt{2}$.
Les vecteurs $\vec{i}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ et $\vec{k}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ sont orthogonaux.
▶ Solution — Exercice 8
Vrai. Il faut trois nombres $(x \,;\, y \,;\, z)$ : deux pour situer le point « au sol » et un pour la hauteur.
Faux. Deux vecteurs colinéaires ont la même direction ; deux vecteurs orthogonaux (non nuls) ont des directions perpendiculaires. Par exemple, $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ sont orthogonaux et non colinéaires.
Vrai. C'est le critère d'orthogonalité, valable dans l'espace comme dans le plan.
Faux. $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$ : oublier $(z_B - z_A)^2$ donne une distance trop courte, sauf si $A$ et $B$ ont la même cote $z$.
Vrai. Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires, donc les droites $(AB)$ et $(CD)$ ont la même direction : elles sont parallèles, ou confondues si elles ont un point commun.
Faux. Ce sont les demi-sommes : $\left(\dfrac{x_A + x_B}{2} \,;\, \dfrac{y_A + y_B}{2} \,;\, \dfrac{z_A + z_B}{2}\right)$. Avec la somme seule, le milieu de $[AB]$ pour $A(0 \,;\, 0 \,;\, 0)$ et $B(2 \,;\, 2 \,;\, 2)$ serait $B$ lui-même, ce qui est absurde.
Faux. La grande diagonale relie deux sommets opposés du cube, par exemple $A(0 \,;\, 0 \,;\, 0)$ et $G(1 \,;\, 1 \,;\, 1)$ : elle mesure $\sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$. C'est la diagonale d'une face qui mesure $\sqrt{2}$.
Vrai. $\vec{i} \cdot \vec{k} = 1 \times 0 + 0 \times 0 + 0 \times 1 = 0$. Ce sont deux vecteurs du repère orthonormé, portés par deux axes perpendiculaires.