Repérage et vecteurs dans l'espace · Distance, milieu, produit scalaire, orthogonalité
Dans l'espace, on repère un point non plus par deux coordonnées, mais par trois : $(x \,;\, y \,;\, z)$. La bonne nouvelle, c'est que les outils du plan se prolongent presque tels quels : coordonnées d'un vecteur, distance, milieu, produit scalaire. Il suffit d'ajouter une troisième coordonnée partout. Le produit scalaire dans l'espace reste l'outil clé pour prouver qu'une droite est perpendiculaire à une autre. La difficulté est surtout de bien visualiser la figure et de ne pas oublier la coordonnée $z$.
Repérage dans l'espace (Tle)
Un repère de l'espace est constitué d'une origine $O$ et de trois axes. Tout point $M$ est repéré par trois coordonnées $(x \,;\, y \,;\, z)$ : $x$ et $y$ situent le point « au sol », $z$ donne la hauteur.
Vecteurs et colinéarité (Tle)
Pour $A(x_A \,;\, y_A \,;\, z_A)$ et $B(x_B \,;\, y_B \,;\, z_B)$, le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \\ z_B - z_A \end{pmatrix}$. Deux vecteurs sont colinéaires lorsque l'un est un multiple de l'autre : $\vec{u} = k\,\vec{v}$.
Avec $A(1 \,;\, 0 \,;\, 2)$ et $B(3 \,;\, -1 \,;\, 4)$ : $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$. Les vecteurs $\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}$ sont colinéaires car $\vec{v} = 2\,\vec{u}$.
Distance et milieu (Tle)
Dans un repère orthonormé : $$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}.$$ Le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{x_A + x_B}{2} \,;\, \dfrac{y_A + y_B}{2} \,;\, \dfrac{z_A + z_B}{2}\right)$.
Avec $A(1 \,;\, 0 \,;\, 2)$ et $B(3 \,;\, -1 \,;\, 4)$ : $AB = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$. Le milieu de $[AB]$ est $I\left(2 \,;\, -\dfrac{1}{2} \,;\, 3\right)$.
Produit scalaire dans l'espace (Tle)
Dans un repère orthonormé, si $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix}$, alors $$\vec{u} \cdot \vec{v} = x x' + y y' + z z'.$$ Comme dans le plan, deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.
Les vecteurs $\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ sont-ils orthogonaux ?
Les vecteurs $\vec{a}\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}$ et $\vec{b}\begin{pmatrix} -3 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix}$ sont-ils colinéaires ?
▶ Solution — Exercice 2
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \times 3 + 2 \times (-1) + (-1) \times 1 = 3 - 2 - 1 = 0$. Le produit scalaire est nul, donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.
On cherche un réel $k$ tel que $\vec{b} = k\,\vec{a}$. On a $-3 = k \times 2$, soit $k = -\dfrac{3}{2}$ ; on vérifie $-\dfrac{3}{2} \times 4 = -6$ et $-\dfrac{3}{2} \times (-2) = 3$. Toutes les coordonnées concordent, donc $\vec{a}$ et $\vec{b}$ sont colinéaires.
Exercice 3 — Synthèse
4 pts
Dans un repère orthonormé, on donne $A(1 \,;\, 0 \,;\, 2)$, $B(3 \,;\, 2 \,;\, 2)$ et $C(2 \,;\, -1 \,;\, 4)$.
Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
$\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$.