Prérequis : Nombres relatifs. Pour s'entraîner : Exercices : fractions, Exercices : nombres décimaux.
fraction dont le dénominateur est une puissance de $10$ ($10$, $100$, $1\,000$, …).
tout nombre écrit sous la forme $\dfrac{a}{b}$ (avec $b \neq 0$), où $a$ et $b$ ne sont pas nécessairement entiers.
$\dfrac{3{,}5}{2}$.
La fraction $\dfrac{3}{4}$ peut se lire de cinq façons différentes, qui sont toutes équivalentes :
Toutes ces lectures désignent le même nombre. Retenir qu'une fraction est un nombre (et non deux nombres séparés par un trait) est la clé pour éviter la plupart des erreurs.
L'une des erreurs les plus fréquentes consiste à traiter le numérateur et le dénominateur comme deux nombres indépendants. On appelle cela le biais du nombre entier : les réflexes acquis sur les entiers sont appliqués aux fractions, où ils ne fonctionnent plus.
Compléter :
Écrire sous forme de fraction :
Pour placer une fraction sur la droite graduée, on partage chaque unité en parts égales selon le dénominateur, puis on compte le nombre de parts indiqué par le numérateur. Autrement dit : $\dfrac{3}{4}$ c'est $3$ fois $\dfrac{1}{4}$. On avance trois fois d'un quart d'unité à partir de zéro.
Placer $\dfrac{3}{4}$ sur la droite graduée : on partage l'unité $[0\,;\,1]$ en $4$ parts égales et on avance de $3$ parts.
Placer $\dfrac{7}{4}$ sur la droite graduée : $\dfrac{7}{4} = \dfrac{4}{4} + \dfrac{3}{4} = 1 + \dfrac{3}{4}$, donc $\dfrac{7}{4}$ est entre $1$ et $2$.
Placer $\dfrac{5}{3}$ sur la droite graduée : $\dfrac{5}{3} = \dfrac{3}{3} + \dfrac{2}{3} = 1 + \dfrac{2}{3}$, donc $\dfrac{5}{3}$ est entre $1$ et $2$. Ce nombre n'est pas décimal : $\dfrac{5}{3} = 1{,}666…$
La droite graduée est le meilleur outil pour comprendre qu'une fraction est un nombre à part entière, situé à une position précise. C'est aussi le meilleur moyen de comparer deux fractions : celle qui est la plus à droite est la plus grande.
Quand une fraction est supérieure à $1$ (numérateur $>$ dénominateur), on peut l'écrire sous forme d'écriture mixte : un entier suivi d'une fraction inférieure à $1$.
Inversement, pour passer de l'écriture mixte à la fraction : $2 + \dfrac{3}{7} = \dfrac{2 \times 7}{7} + \dfrac{3}{7} = \dfrac{14 + 3}{7} = \dfrac{17}{7}$.
L'écriture mixte aide à se représenter la grandeur d'une fraction : $\dfrac{17}{5}$ ne parle pas à tout le monde, mais « $3$ et deux cinquièmes » est bien plus concret.
Décomposer chaque fraction en écriture mixte (un entier $+$ une fraction $< 1$) :
Transformer chaque écriture mixte en fraction :
Deux fractions sont égales lorsqu'elles représentent le même nombre, c'est-à-dire le même point sur la droite graduée.
Propriété fondamentale : on ne change pas la valeur d'une fraction en multipliant (ou en divisant) son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul : $$\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times k}{b \times k} \qquad \text{(pour tout $k \neq 0$)}$$
Comprendre : couper une pizza en $4$ parts et en prendre $2$, c'est la même chose que la couper en $2$ parts et en prendre $1$. La quantité de pizza est identique.
Simplifier une fraction, c'est trouver une fraction égale avec des nombres plus petits. On divise le numérateur et le dénominateur par un diviseur commun.
Une fraction est irréductible quand on ne peut plus la simplifier (le numérateur et le dénominateur n'ont plus de diviseur commun autre que $1$).
Simplifier $A = \dfrac{12}{18}$ :
$$\begin{aligned}A = \dfrac{12}{18} &= \dfrac{12 \div 2}{18 \div 2} = \dfrac{6}{9} & \text{($12$ et $18$ sont pairs, on divise par $2$)} \\ A &= \dfrac{6 \div 3}{9 \div 3} = \dfrac{2}{3} & \text{($6$ et $9$ sont multiples de $3$)}\end{aligned}$$
La fraction irréductible est $A = \dfrac{2}{3}$.
Compléter les fractions égales :
On simplifie chaque fraction :
Il suffit de multiplier le numérateur et le dénominateur de $\dfrac{3}{4}$ par un même nombre entier non nul. Par exemple :
Toute réponse correcte est acceptée, à condition de vérifier que la simplification redonne bien $\dfrac{3}{4}$.
Compléter chaque étape pour simplifier $\dfrac{24}{36}$ :
Simplifier les fractions suivantes jusqu'à obtenir une fraction irréductible :
Pour comparer deux fractions, on distingue plusieurs cas :
Comparer $A = \dfrac{3}{4}$ et $B = \dfrac{5}{6}$ :
$$\begin{aligned}A = \dfrac{3}{4} &= \dfrac{3 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{9}{12} & \text{(on multiplie par $3$)} \\ B = \dfrac{5}{6} &= \dfrac{5 \times 2}{6 \times 2} = \dfrac{10}{12} & \text{(on multiplie par $2$)}\end{aligned}$$
On compare : $\dfrac{9}{12} < \dfrac{10}{12}$, donc $A < B$.
Attention au biais ! Ce n'est pas parce que $3 < 5$ et $4 < 6$ que la conclusion $\dfrac{3}{4} < \dfrac{5}{6}$ est « évidente ». Ce raisonnement ne marche pas en général : par exemple, $3 < 5$ et $4 < 8$, mais $\dfrac{3}{4} > \dfrac{5}{8}$.
Plutôt que de mettre au même dénominateur, on peut comparer $\dfrac{a}{b}$ et $\dfrac{c}{d}$ (avec $b > 0$ et $d > 0$) en calculant les produits en croix. On compare $a \times d$ et $b \times c~$ :
Pourquoi ça marche : comparer $\dfrac{a}{b}$ et $\dfrac{c}{d}$ revient à comparer $\dfrac{a \times d}{b \times d}$ et $\dfrac{b \times c}{b \times d}$ (mise au même dénominateur $b \times d$). Les dénominateurs étant identiques et positifs, il suffit de comparer les numérateurs $a \times d$ et $b \times c$.
Cette méthode est particulièrement rapide quand les dénominateurs communs sont grands ou difficiles à trouver de tête.
Comparer sans calcul (expliquer la méthode utilisée) :
Comparer en mettant au même dénominateur :
Le dénominateur commun de $3$ et $8$ est $24$ :
$$\begin{aligned}G = \dfrac{2}{3} &= \dfrac{2 \times 8}{3 \times 8} = \dfrac{16}{24} & H = \dfrac{5}{8} = \dfrac{5 \times 3}{8 \times 3} = \dfrac{15}{24}\end{aligned}$$
$16 > 15$ donc $G > H$.
Le dénominateur commun de $6$ et $4$ est $12$ :
$$\begin{aligned}I = \dfrac{7}{6} &= \dfrac{7 \times 2}{6 \times 2} = \dfrac{14}{12} & J = \dfrac{5}{4} = \dfrac{5 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{15}{12}\end{aligned}$$
$14 < 15$ donc $I < J$.
Règle : pour additionner (ou soustraire) deux fractions, il faut qu'elles aient le même dénominateur. On additionne alors les numérateurs et on garde le dénominateur commun : $$\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{b} = \dfrac{a + c}{b} \qquad \text{et} \qquad \dfrac{a}{b} - \dfrac{c}{b} = \dfrac{a - c}{b}$$
Comprendre : le dénominateur joue le rôle d'une unité. On n'additionne pas des mètres et des centimètres sans convertir ; de la même façon, on n'additionne pas des quarts et des tiers sans les ramener à la même unité (le même dénominateur).
L'erreur $\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{a + c}{b + d}$ est l'une des plus répandues sur les fractions. Elle consiste à additionner séparément les numérateurs et les dénominateurs, comme si chaque « étage » de la fraction fonctionnait indépendamment.
Pourquoi c'est faux : si cette règle était correcte, on aurait $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$. Or une demie plus une demie, c'est un entier, pas une demie.
Ce qu'il faut faire : mettre au même dénominateur d'abord, puis additionner les numérateurs seulement : $$\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{12} + \dfrac{4}{12} = \dfrac{7}{12}$$
Quand les dénominateurs sont différents, on suit trois étapes :
Calculer $A = \dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{4}$ :
$$\begin{aligned}A &= \dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{4} = \dfrac{2 \times 4}{3 \times 4} + \dfrac{5 \times 3}{4 \times 3} & \text{(dénominateur commun~: $12$)} \\ A &= \dfrac{8}{12} + \dfrac{15}{12} \\ A &= \dfrac{8 + 15}{12} = \dfrac{23}{12} & \text{(on additionne les numérateurs)}\end{aligned}$$
Calculer $B = \dfrac{7}{6} - \dfrac{3}{4}$ :
$$\begin{aligned}B &= \dfrac{7}{6} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{7 \times 2}{6 \times 2} - \dfrac{3 \times 3}{4 \times 3} & \text{(dénominateur commun~: $12$)} \\ B &= \dfrac{14}{12} - \dfrac{9}{12} \\ B &= \dfrac{14 - 9}{12} = \dfrac{5}{12}\end{aligned}$$
Calculer $C = \dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{2}{3}$ :
$$\begin{aligned}C &= \dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{10}{12} + \dfrac{3}{12} - \dfrac{8}{12} & \text{(dénominateur commun~: $12$)} \\ C &= \dfrac{10 + 3 - 8}{12} = \dfrac{5}{12}\end{aligned}$$
Compléter chaque étape pour calculer $\dfrac{3}{4} + \dfrac{2}{5}$ :
Calculer en détaillant les étapes :
QCM piège. Quel est le résultat de $\dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{7}$ ?
$A = \dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{5}$ :
$$\begin{aligned}A &= \dfrac{1 \times 5}{3 \times 5} + \dfrac{2 \times 3}{5 \times 3} & \text{(dénominateur commun~: $15$)} \\ A &= \dfrac{5}{15} + \dfrac{6}{15} = \dfrac{11}{15}\end{aligned}$$
$B = \dfrac{7}{8} - \dfrac{1}{6}$ :
$$\begin{aligned}B &= \dfrac{7 \times 3}{8 \times 3} - \dfrac{1 \times 4}{6 \times 4} & \text{(dénominateur commun~: $24$)} \\ B &= \dfrac{21}{24} - \dfrac{4}{24} = \dfrac{17}{24}\end{aligned}$$
$C = \dfrac{5}{3} + \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{2}$ :
$$\begin{aligned}C &= \dfrac{5 \times 4}{3 \times 4} + \dfrac{3 \times 3}{4 \times 3} - \dfrac{1 \times 6}{2 \times 6} & \text{(dénominateur commun~: $12$)} \\ C &= \dfrac{20}{12} + \dfrac{9}{12} - \dfrac{6}{12} = \dfrac{20 + 9 - 6}{12} = \dfrac{23}{12}\end{aligned}$$
$D = \dfrac{11}{6} - \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{3}$ :
$$\begin{aligned}D &= \dfrac{11 \times 2}{6 \times 2} - \dfrac{3 \times 3}{4 \times 3} - \dfrac{1 \times 4}{3 \times 4} & \text{(dénominateur commun~: $12$)} \\ D &= \dfrac{22}{12} - \dfrac{9}{12} - \dfrac{4}{12} = \dfrac{22 - 9 - 4}{12} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}\end{aligned}$$
Réponse : (b) $\dfrac{29}{35}$.
Règle : pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : $$\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}$$
Comprendre : « $\dfrac{2}{3}$ de $\dfrac{3}{4}$ » signifie « prendre les deux tiers de trois quarts ». On partage les trois quarts en trois parts égales (on obtient des quarts divisés en trois, soit des douzièmes), puis on en prend deux : on obtient $\dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}$.
Astuce : on peut simplifier avant de multiplier (on dit « simplifier en croix »). On divise un numérateur et un dénominateur par le même nombre pour obtenir des nombres plus petits.
Calculer en simplifiant le résultat :
Définition : l'inverse d'une fraction $\dfrac{a}{b}$ (avec $a \neq 0$) est la fraction $\dfrac{b}{a}$. Leur produit vaut $1$ : $\dfrac{a}{b} \times \dfrac{b}{a} = \dfrac{a \times b}{b \times a} = 1$.
Règle : diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse : $$\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}$$
Comprendre : « combien de parts de $\dfrac{1}{4}$ dans $\dfrac{3}{2}$ ? » revient à calculer $\dfrac{3}{2} \div \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{2} \times \dfrac{4}{1} = \dfrac{12}{2} = 6$. Il y a bien $6$ quarts dans un entier et demi.
Pourquoi ça marche : diviser par $\dfrac{c}{d}$, c'est chercher combien de fois $\dfrac{c}{d}$ « rentre » dans le premier nombre. On peut écrire la division comme une fraction complexe, puis multiplier haut et bas par $\dfrac{d}{c}$ pour éliminer le dénominateur : $$\dfrac{\;\dfrac{a}{b}\;}{\;\dfrac{c}{d}\;} = \dfrac{\;\dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}\;}{\;\dfrac{c}{d} \times \dfrac{d}{c}\;} = \dfrac{\;\dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}\;}{1} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}$$
Calculer $A = \dfrac{3}{4} \div \dfrac{5}{8}$ :
$$\begin{aligned}A = \dfrac{3}{4} \div \dfrac{5}{8} &= \dfrac{3}{4} \times \dfrac{8}{5} & \text{(on multiplie par l'inverse)} \\ A &= \dfrac{3}{\cancel{4}_{\,1}} \times \dfrac{\cancel{8}^{\,2}}{5} & \text{(on simplifie $4$ et $8$ par $4$)} \\ A &= \dfrac{3 \times 2}{1 \times 5} = \dfrac{6}{5}\end{aligned}$$
Calculer $B = \dfrac{7}{9} \div 3$ :
$$\begin{aligned}B = \dfrac{7}{9} \div 3 &= \dfrac{7}{9} \times \dfrac{1}{3} & \text{(l'inverse de $3$ est $\frac{1}{3}$)} \\ B &= \dfrac{7}{27}\end{aligned}$$
Calculer $C = 5 \div \dfrac{2}{3}$ :
$$\begin{aligned}C = 5 \div \dfrac{2}{3} &= \dfrac{5}{1} \times \dfrac{3}{2} & \text{(on multiplie par l'inverse)} \\ C &= \dfrac{15}{2}\end{aligned}$$
Compléter chaque étape pour calculer $\dfrac{2}{3} \div \dfrac{4}{9}$ :
Calculer en détaillant :
$A = \dfrac{5}{6} \div \dfrac{10}{9} = \dfrac{5}{6} \times \dfrac{9}{10}$ :
$$\begin{aligned}A &= \dfrac{\cancel{5}^{\,1}}{\cancel{6}_{\,2}} \times \dfrac{\cancel{9}^{\,3}}{\cancel{10}_{\,2}} & \text{(on simplifie $5$ et $10$, puis $9$ et $6$)} \\ A &= \dfrac{1 \times 3}{2 \times 2} = \dfrac{3}{4}\end{aligned}$$
| Erreur | Correction | Explication |
|---|---|---|
| $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{7}$ | $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{12} + \dfrac{4}{12} = \dfrac{7}{12}$ | On n'additionne pas les dénominateurs : il faut un dénominateur commun. |
| $\dfrac{1}{8} > \dfrac{1}{3}$ | $\dfrac{1}{8} < \dfrac{1}{3}$ | Plus le dénominateur est grand, plus les parts sont petites. |
| $\dfrac{3}{4} = 3{,}4$ | $\dfrac{3}{4} = 0{,}75$ | Une fraction n'est pas un « collage » de deux chiffres : c'est une division. |
| $\dfrac{5+3}{5} = 3$ | $\dfrac{5+3}{5} = \dfrac{8}{5}$ | On ne peut pas « simplifier » un terme d'une somme avec le dénominateur. |
| $\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d}$ | $\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}$ | Diviser, c'est multiplier par l'inverse : on retourne la deuxième fraction. |
Pour calculer une expression contenant plusieurs opérations avec des fractions, on respecte les mêmes priorités qu'avec les entiers :
Rédaction modèle : calculer $A = \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{5}$.
$$\begin{aligned}A &= \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{5} \\ A &= \dfrac{1}{2} + \dfrac{3 \times 2}{4 \times 5} & \text{(multiplication en priorité)} \\ A &= \dfrac{1}{2} + \dfrac{6}{20} & \text{(on simplifie~: $\frac{6}{20} = \frac{3}{10}$)} \\ A &= \dfrac{5}{10} + \dfrac{3}{10} & \text{(dénominateur commun~: $10$)} \\ A &= \dfrac{8}{10} = \dfrac{4}{5}\end{aligned}$$
Rédaction modèle : calculer $B = \left(\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{3}\right) \times \dfrac{9}{2}$.
$$\begin{aligned}B &= \left(\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{3}\right) \times \dfrac{9}{2} \\ B &= \left(\dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{6}\right) \times \dfrac{9}{2} & \text{(dénominateur commun dans la parenthèse)} \\ B &= \dfrac{3}{6} \times \dfrac{9}{2} & \text{($5 - 2 = 3$)} \\ B &= \dfrac{1}{2} \times \dfrac{9}{2} & \text{(on simplifie $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$)} \\ B &= \dfrac{9}{4}\end{aligned}$$
Calculer en détaillant les étapes et en simplifiant le résultat :
$A = \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4} \times \dfrac{6}{5}$ :
$$\begin{aligned}A &= \dfrac{2}{3} + \dfrac{1 \times 6}{4 \times 5} & \text{(multiplication en priorité)} \\ A &= \dfrac{2}{3} + \dfrac{6}{20} = \dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{10} & \text{(on simplifie $\frac{6}{20} = \frac{3}{10}$)} \\ A &= \dfrac{20}{30} + \dfrac{9}{30} = \dfrac{29}{30} & \text{(dénominateur commun~: $30$)}\end{aligned}$$
$B = \dfrac{5}{8} \times \dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{6}$ :
$$\begin{aligned}B &= \dfrac{5 \times 4}{8 \times 3} - \dfrac{1}{6} & \text{(multiplication en priorité)} \\ B &= \dfrac{20}{24} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{6} & \text{(on simplifie $\frac{20}{24} = \frac{5}{6}$)} \\ B &= \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\end{aligned}$$
$C = \left(\dfrac{7}{4} - \dfrac{3}{2}\right) \times \dfrac{8}{5}$ :
$$\begin{aligned}C &= \left(\dfrac{7}{4} - \dfrac{6}{4}\right) \times \dfrac{8}{5} & \text{(parenthèse en priorité~: $\frac{3}{2} = \frac{6}{4}$)} \\ C &= \dfrac{1}{4} \times \dfrac{8}{5} & \text{($7 - 6 = 1$)} \\ C &= \dfrac{8}{20} = \dfrac{2}{5}\end{aligned}$$
$D = \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4} \div \dfrac{9}{8}$ :
$$\begin{aligned}D &= \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4} \times \dfrac{8}{9} & \text{(division en priorité~: on multiplie par l'inverse)} \\ D &= \dfrac{1}{2} + \dfrac{24}{36} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3} & \text{(on simplifie $\frac{24}{36} = \frac{2}{3}$)} \\ D &= \dfrac{3}{6} + \dfrac{4}{6} = \dfrac{7}{6} & \text{(dénominateur commun~: $6$)}\end{aligned}$$
Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse et justifier :
Tu bloques sur un exercice ? Consulte la fiche Que faire quand je bloque ?
Tu veux retenir durablement ces méthodes ? Consulte la fiche Mémorisation et sciences cognitives.
Tu fais souvent les mêmes erreurs ? Remplis ton Carnet d'erreurs.