Les fonctions

Exercice 1 — Vocabulaire des fonctions (3^e – 2^de)

Pour chaque situation, donner l'image, l'antécédent et l'écriture avec la notation $f(x)$ :

« L'image de $5$ par $f$ est $-2$. » Image : Antécédent : Notation :
« Par la fonction $g$, le nombre $4$ a pour image $11$. » Image : Antécédent : Notation :
« $-3$ est un antécédent de $8$ par la fonction $h$. » Image : Antécédent : Notation :
La courbe de la fonction $f$ passe par le point de coordonnées $(2\,;\,7)$. Image : Antécédent : Notation :
$g(-1) = 4$. Image : Antécédent : En mots :
« Quand $x = 0$, la fonction $f$ donne $3$. » Image : Antécédent : Notation :

Exercice 2 — Calculer des images (2^de)

Soit $f(x) = 3x - 7$. Calculer :
- a) $f(0) = $
- b) $f(4) = $
- c) $f(-2) = $
- d) $f\!\left(\dfrac{1}{3}\right) = $
Soit $g(x) = x^2 - 4$. Calculer :
- a) $g(0) = $
- b) $g(3) = $
- c) $g(-2) = $
- d) $g(-5) = $
Soit $h(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$. Calculer :
- a) $h(0) = $
- b) $h(5) = $
- c) $h(-1) = $
Pourquoi ne peut-on pas calculer $h(3)$ ?

Exercice 3 — Tableau de valeurs (3^e – 2^de)

Soit $h(x) = x^2 - 2x - 3$.

Compléter le tableau de valeurs suivant :

$x$ $-2$ $-1$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$
$h(x)$
Quelle est l'image de $0$ par $h$ ?
Quels sont les antécédents de $0$ par $h$ (d'après le tableau) ?
D'après le tableau, sur quel(s) intervalle(s) la fonction $h$ semble-t-elle croissante ? décroissante ?
En déduire : la fonction $h$ est-elle croissante sur $[-2\,;\,4]$ ? Justifier.

Exercice 4 — Lecture graphique : images (3^e – 2^de)

On considère la fonction $g$ dont la courbe $\mathcal{C}_g$ est représentée ci-dessous.

Par lecture graphique, déterminer :

a) $g(-3) = $
b) $g(-1) = $
c) $g(0) = $
d) $g(2) = $
e) $g(4) = $
f) $g(6) = $

Exercice 5 — Lecture graphique : antécédents et résolutions (2^de)

En utilisant le graphique de l'exercice précédent, résoudre graphiquement chaque équation :

$g(x) = 0$ Solutions :
$g(x) = 3$ Solutions :
$g(x) = -2$ Solutions :
$g(x) = 5$ Solutions :

Puis répondre aux questions suivantes :

Combien le nombre $0$ a-t-il d'antécédents par $g$ ?
Sur quel(s) intervalle(s) la fonction $g$ est-elle strictement positive ?

Exercice 6 — Tableau de variations (2^de)

En utilisant le graphique de la fonction $g$ (exercice 4) :

Sur quel(s) intervalle(s) la fonction $g$ est-elle croissante ?
Sur quel(s) intervalle(s) la fonction $g$ est-elle décroissante ?
Dresser le tableau de variations de $g$ sur $[-3\,;\,7]$.
Quel est le maximum de $g$ sur $[-3\,;\,7]$ ? En quelle valeur de $x$ est-il atteint ?
Quel est le minimum de $g$ sur $[-3\,;\,7]$ ? En quelle valeur de $x$ est-il atteint ?

Exercice 7 — Fonction en contexte (2^de)

On remplit une piscine avec un tuyau. Le volume d'eau $V$ (en litres) en fonction du temps $t$ (en heures) depuis le début du remplissage est donné par la formule : $$V(t) = 50t + 200$$

Quel est le volume d'eau dans la piscine au début du remplissage ($t = 0$) ?
Quel est le volume d'eau après $3$ heures ?
Au bout de combien de temps la piscine contiendra-t-elle $700$ litres ?
La fonction $V$ est-elle croissante ou décroissante ? Justifier.
Cette modélisation a-t-elle un sens pour $t = -5$ ? Expliquer.

On considère maintenant une deuxième situation. Un réservoir contient $60$ litres d'eau. Un robinet fuit et perd $0{,}5$ litre par minute. Le volume d'eau restant $R$ (en litres) en fonction du temps $t$ (en minutes) est : $$R(t) = 60 - 0{,}5t$$

Quel volume d'eau reste-t-il après $20$ minutes ?
Au bout de combien de temps le réservoir sera-t-il vide ?
La fonction $R$ est-elle croissante ou décroissante ? Comparer avec la fonction $V$ de la première situation.

Exercice 8 — QCM (2^de)

Pour chaque question, entourer la bonne réponse.

On sait que $f(3) = 7$. Quelle affirmation est correcte ?
- A. $3$ est l'image de $7$ par $f$
- B. $3$ est un antécédent de $7$ par $f$
- C. La courbe de $f$ passe par $(7\,;\,3)$
- D. $f$ vaut $\dfrac{7}{3}$
Soit $f(x) = x^2 - 1$. L'image de $-3$ par $f$ est :
- A. $-10$
- B. $-7$
- C. $8$
- D. $10$
Sur un graphique, pour trouver les antécédents de $2$ par $f$, on :
- A. trace la droite $y = 2$ et on lit les abscisses des intersections
- B. trace la droite $x = 2$ et on lit l'ordonnée de l'intersection
- C. cherche le point d'ordonnée $2$ et on lit son ordonnée
- D. trace la droite $y = 2$ et on lit les ordonnées des intersections
$f$ est strictement décroissante sur $[1\,;\,5]$ et on sait que $f(2) = 7$. Alors :
- A. $f(4) > 7$
- B. $f(4) = 7$
- C. $f(1) < f(5)$
- D. $f(4) < 7$
Le tableau de variations d'une fonction $f$ montre qu'elle est croissante sur $[-3\,;\,1]$ (de $-2$ à $4$) puis décroissante sur $[1\,;\,5]$ (de $4$ à $0$). Alors :
- A. $f$ a un minimum de $4$ en $x = 1$
- B. $f$ a un maximum de $4$ en $x = 1$
- C. $f$ a un minimum de $1$ en $x = 4$
- D. $f$ a un maximum de $1$ en $x = 4$
On sait que $g(2) = 5$ et $g(4) = 5$. Alors :
- A. $g$ n'est pas une fonction
- B. $2$ et $4$ sont les images de $5$ par $g$
- C. $2$ et $4$ sont deux antécédents de $5$ par $g$
- D. $g$ est constante

Exercice 9 — Vrai ou faux ?

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse et justifier :

Si $f(2) = 5$, alors le point $(5\,;\,2)$ est sur la courbe de $f$.
Une fonction peut associer la même image à deux nombres différents.
Si $f$ est strictement croissante sur $[0\,;\,10]$, alors $f(3) < f(7)$.
La fonction $f(x) = x^2$ est croissante sur $\mathbb{R}$.
Si $f(a) = 0$, on dit que $a$ est une racine (ou un zéro) de $f$.
Si la courbe de $f$ passe par $(0\,;\,4)$, alors $f(4) = 0$.
Pour toute fonction $f$ et tout nombre $b$, l'équation $f(x) = b$ a au moins une solution.
Si $f$ est décroissante sur $[-2\,;\,3]$ avec $f(-2) = 6$ et $f(3) = -1$, alors le maximum de $f$ sur $[-2\,;\,3]$ est $6$.
Si la courbe d'une fonction est une droite horizontale, alors ce n'est pas une vraie fonction.
Une fonction doit obligatoirement être définie par une formule algébrique.
Les fonctions $f(x) = 3x - 1$ et $f(t) = 3t - 1$ sont deux fonctions différentes.