Le théorème de Pythagore est probablement le résultat le plus connu de la géométrie. Mais sa célèbre formule $a^2 + b^2 = c^2$ cache une réalité géométrique souvent oubliée : il s'agit d'une relation entre les aires de carrés construits sur les côtés du triangle rectangle. Réduire le théorème à une formule à appliquer mécaniquement, c'est se priver du sens qui permet de l'utiliser correctement.
Cette fiche aborde le théorème en suivant cinq axes. D'abord, retrouver le sens géométrique des sommes de carrés. Ensuite, apprendre à identifier l'hypoténuse quel que soit l'orientation du triangle. Puis, distinguer rigoureusement le théorème direct (calculer une longueur) de la réciproque (démontrer qu'un triangle est rectangle) et de la contraposée (démontrer qu'il ne l'est pas). Enfin, déjouer le piège des triplets pythagoriciens mal mémorisés.
Soit un triangle $ABC$ rectangle en $A$. Alors : $$ BC^2 = AB^2 + AC^2. $$ Le côté $[BC]$, opposé à l'angle droit, est appelé l'hypoténuse ; c'est le plus long côté du triangle. Les côtés $[AB]$ et $[AC]$, qui forment l'angle droit, sont les côtés de l'angle droit (parfois appelés cathètes).
Sens géométrique. Les écritures $BC^2$, $AB^2$ et $AC^2$ désignent les aires des carrés construits sur les côtés correspondants. Le théorème affirme que l'aire du carré construit sur l'hypoténuse est égale à la somme des aires des deux carrés construits sur les côtés de l'angle droit.
On considère un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent $3$ cm et $4$ cm.
L'hypoténuse n'est pas « le côté du bas » ni « le plus long côté écrit en premier ». C'est le côté opposé à l'angle droit, et c'est toujours le plus long des trois côtés.
Pour la repérer, on cherche d'abord l'angle droit (généralement signalé par un petit carré sur le sommet correspondant). Le côté qui ne touche pas cet angle est l'hypoténuse.
L'erreur classique consiste à figer mentalement l'orientation du triangle (hypoténuse en bas, côtés verticaux et horizontaux). Dans une figure réelle, le triangle peut être orienté de mille manières : il faut savoir reconnaître la configuration sans s'appuyer sur une position particulière.
Pour chacun des triangles décrits ci-dessous, indiquer quel sommet porte l'angle droit (s'il y en a un) et quel côté est l'hypoténuse.
Pour chaque triangle représenté ci-dessus, identifier l'angle droit et nommer l'hypoténuse.
Pour les trois triangles, l'angle droit est en $A$ (signalé par le petit carré). L'hypoténuse est donc $[BC]$ dans les trois cas, quelle que soit l'orientation de la figure.
Le théorème direct, $BC^2 = AB^2 + AC^2$, sert à calculer une longueur quand on connaît les deux autres. Selon la longueur cherchée, le calcul prend deux formes.
Calculer l'hypoténuse. On élève les côtés au carré, on additionne, puis on extrait la racine carrée pour obtenir la longueur (et non son carré). $$ BC^2 = AB^2 + AC^2 \quad \implies \quad BC = \sqrt{AB^2 + AC^2}. $$
Calculer un côté de l'angle droit. On isole le carré recherché par soustraction, puis on extrait la racine. $$ AC^2 = BC^2 - AB^2 \quad \implies \quad AC = \sqrt{BC^2 - AB^2}. $$
Erreur fréquente. S'arrêter à l'égalité au carré sans extraire la racine. Le théorème donne $BC^2 = 25$, ce qui ne signifie pas $BC = 25$, mais $BC = 5$.
Calculer la longueur de l'hypoténuse de chaque triangle rectangle, sachant que les côtés de l'angle droit mesurent :
Calculer la longueur du côté manquant dans chaque triangle rectangle.
Voici la production d'un élève qui doit calculer l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent $5$ cm et $7$ cm.
« $h^2 = 5^2 + 7^2 = 25 + 49 = 74$, donc $h = 74$ cm. »
Le théorème direct part d'un triangle rectangle pour en déduire une égalité sur les longueurs. La réciproque fait l'inverse : elle part d'une égalité sur les longueurs pour en déduire que le triangle est rectangle.
Réciproque du théorème de Pythagore. Si dans un triangle, le carré du plus long côté est égal à la somme des carrés des deux autres, alors le triangle est rectangle, et son hypoténuse est le plus long côté.
Contraposée. Si l'égalité ne tient pas, alors le triangle n'est pas rectangle. C'est l'outil pour démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle.
Rédaction-type. On écrit toujours : « On calcule séparément $AB^2 + AC^2$ d'une part, et $BC^2$ d'autre part. On compare. Si l'égalité tient, on conclut par la réciproque ; sinon, par la contraposée. »
Pour chaque triangle, déterminer s'il est rectangle. Si oui, préciser en quel sommet. Sinon, justifier par la contraposée.
Voici deux productions d'élèves. Pour chacune, dire si elle est correcte. Sinon, identifier l'erreur de logique.
Les triplets pythagoriciens sont des triplets d'entiers $(a\,;\,b\,;\,c)$ tels que $a^2 + b^2 = c^2$. Les plus courants à connaître sont : $$ (3\,;\,4\,;\,5) \quad ; \quad (5\,;\,12\,;\,13) \quad ; \quad (8\,;\,15\,;\,17) \quad ; \quad (7\,;\,24\,;\,25). $$ On retrouve aussi leurs multiples : $(6\,;\,8\,;\,10) = 2 \times (3\,;\,4\,;\,5)$, $(9\,;\,12\,;\,15) = 3 \times (3\,;\,4\,;\,5)$, etc.
Piège. L'élève qui « reconnaît » un triplet à partir des deux premiers nombres et conclut sans vérifier l'égalité commet une erreur grave. Un triangle de côtés $(3\,;\,4\,;\,6)$ n'est pas rectangle, malgré sa ressemblance avec le triplet $(3\,;\,4\,;\,5)$ : $3^2 + 4^2 = 25 \neq 6^2 = 36$.
La vérification systématique de l'égalité est la seule garantie.
Pour chaque triplet, dire s'il est pythagoricien. Si oui, donner le côté qui joue le rôle d'hypoténuse. Sinon, démontrer par le calcul.
Avant et pendant l'usage du théorème de Pythagore, prendre l'habitude de se poser ces cinq questions.