Pourquoi cette fiche ?
La proportionnalité est l'un des outils les plus utiles, et l'un des plus mal compris. Deux grandeurs sont proportionnelles quand l'une est égale à l'autre multipliée par un coefficient constant : si l'on double l'une, on double l'autre ; si on triple l'une, on triple l'autre. Cette idée simple cache deux pièges symétriques. Le premier est l'illusion de linéarité : l'élève applique un raisonnement additif (« $+3$ partout ») au lieu d'un coefficient multiplicatif. Le second est l'application aveugle : tout problème à deux grandeurs est traité comme proportionnel, même quand la situation ne l'est pas.
Cette fiche aborde la proportionnalité en variant systématiquement les procédures (retour à l'unité, coefficient, propriété additive, propriété multiplicative, produit en croix) plutôt qu'en imposant le seul produit en croix. Elle propose aussi des situations qui ne sont pas proportionnelles, pour apprendre à les reconnaître et à ne pas y appliquer les outils de la proportionnalité.
Reconnaître une situation de proportionnalité
Le test du coefficient
Deux grandeurs $x$ et $y$ sont proportionnelles s'il existe un nombre $k$ (le coefficient de proportionnalité) tel que $y = k \times x$ pour toutes les valeurs prises.
Pour le tester sur un tableau de valeurs, on calcule le rapport $\dfrac{y}{x}$ pour chaque colonne. Si ce rapport est constant, les grandeurs sont proportionnelles. S'il varie, elles ne le sont pas.
Critère pratique : dans une situation proportionnelle, multiplier $x$ par $2$ multiplie $y$ par $2$, multiplier $x$ par $3$ multiplie $y$ par $3$, etc. Si l'on double la quantité achetée, on double le prix : c'est de la proportionnalité. Si l'on double l'âge d'une personne, sa taille ne double pas : ce n'est pas de la proportionnalité.
Pour chaque situation, dire si les deux grandeurs sont proportionnelles. Justifier brièvement.
- Le prix payé chez le boulanger pour un nombre de baguettes (toutes au même prix unitaire).
- L'âge d'une personne et sa taille.
- Le périmètre d'un carré et la longueur de son côté.
- L'aire d'un carré et la longueur de son côté.
- La distance parcourue par une voiture roulant à vitesse constante, en fonction du temps.
- Le prix d'un abonnement de salle de sport composé d'un droit d'entrée fixe de $30 \,\text{\euro}$ plus $10 \,\text{\euro}$ par mois, en fonction du nombre de mois.
▶ Solution — Exercice 1
- Proportionnelles. Si une baguette coûte $1{,}20 \,\text{\euro}$, le prix est $1{,}20 \times n$ pour $n$ baguettes.
- Non proportionnelles. Doubler l'âge d'un enfant ne double pas sa taille.
- Proportionnelles. Périmètre $= 4 \times $ côté.
- Non proportionnelles. Aire $= $ côté$^2$. Doubler le côté multiplie l'aire par $4$, pas par $2$. C'est précisément l'illusion de linéarité à éviter.
- Proportionnelles. Distance $= $ vitesse $\times$ temps.
- Non proportionnelles. Le prix est $10 \times n + 30$. Le rapport $\dfrac{\text{prix}}{n}$ varie avec $n$ (à cause du droit d'entrée fixe).
Pour chaque tableau, dire si les deux grandeurs sont proportionnelles. Si oui, donner le coefficient de proportionnalité.
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Tableau A | 2 | 5 | 7 | 10 |
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| \hline | 6 | 15 | 21 | 30 |
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Tableau B | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|
| \hline | 5 | 8 | 11 | 14 |
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▶ Solution — Exercice 2
Tableau A. Rapports : $\dfrac{6}{2} = 3$ ; $\dfrac{15}{5} = 3$ ; $\dfrac{21}{7} = 3$ ; $\dfrac{30}{10} = 3$. Constants : les grandeurs sont proportionnelles, coefficient $k = 3$.
Tableau B. Rapports : $\dfrac{5}{1} = 5$ ; $\dfrac{8}{2} = 4$ ; $\dfrac{11}{3} \approx 3{,}67$. Non constants : les grandeurs ne sont pas proportionnelles. On observe en revanche que la deuxième ligne augmente de $3$ à chaque colonne, alors que la première augmente de $1$ : c'est une situation affine (de la forme $y = 3x + 2$), mais pas proportionnelle.
Plusieurs procédures pour résoudre
Quatre procédures, à choisir selon la situation
Plutôt que de toujours utiliser le produit en croix, il est utile de connaître plusieurs procédures et de choisir la plus efficace selon les nombres en jeu.
1. Retour à l'unité. On cherche d'abord la valeur correspondant à $1$, puis on multiplie par la quantité voulue. Efficace quand la division par la première donnée est simple.
2. Coefficient de proportionnalité. On calcule le coefficient $k = \dfrac{y}{x}$, puis on l'applique à toute valeur de $x$. Efficace quand on doit calculer plusieurs valeurs.
3. Propriété multiplicative. Si l'on connaît $y$ pour une valeur de $x$, alors $y$ pour $kx$ est $ky$. Efficace quand les valeurs sont multiples l'une de l'autre.
4. Propriété additive. Si l'on connaît $y_1$ pour $x_1$ et $y_2$ pour $x_2$, alors $y_1 + y_2$ correspond à $x_1 + x_2$. Efficace pour combiner des valeurs connues.
5. Produit en croix. À utiliser en dernier recours quand les autres procédures n'aident pas. Il consiste à écrire $\dfrac{y_1}{x_1} = \dfrac{y_2}{x_2}$, puis à isoler l'inconnue par $y_2 = \dfrac{y_1 \times x_2}{x_1}$.
Pour chaque problème, choisir la procédure la plus rapide et donner la réponse.
- $4$ kg de pommes coûtent $8 \,\text{\euro}$. Combien coûtent $7$ kg ?
- $12$ stylos coûtent $18 \,\text{\euro}$. Combien coûtent $4$ stylos ?
- $5$ croissants coûtent $5{,}50 \,\text{\euro}$ et $3$ pains au chocolat coûtent $3{,}30 \,\text{\euro}$. Combien coûte un goûter composé de $2$ croissants et $1$ pain au chocolat ?
- $7$ litres d'essence coûtent $12{,}60 \,\text{\euro}$. Quel est le prix de $1$ litre ? Combien coûtent $50$ litres ?
▶ Solution — Exercice 3
- Coefficient : $k = \dfrac{8}{4} = 2$, donc $7$ kg coûtent $7 \times 2 = 14 \,\text{\euro}$.
- Propriété multiplicative : $4 = \dfrac{12}{3}$, donc le prix de $4$ stylos est $\dfrac{18}{3} = 6 \,\text{\euro}$.
- Retour à l'unité : un croissant coûte $\dfrac{5{,}50}{5} = 1{,}10 \,\text{\euro}$ ; un pain au chocolat coûte $\dfrac{3{,}30}{3} = 1{,}10 \,\text{\euro}$. Goûter : $2 \times 1{,}10 + 1{,}10 = 3{,}30 \,\text{\euro}$.
- Retour à l'unité : $1$ litre coûte $\dfrac{12{,}60}{7} = 1{,}80 \,\text{\euro}$. Donc $50$ litres coûtent $50 \times 1{,}80 = 90 \,\text{\euro}$.
Calculer chaque inconnue par produit en croix.
- Si $9$ correspond à $15$, à quoi correspond $6$ ?
- Si $12$ correspond à $20$, à quoi correspond $30$ ?
- Si $4$ correspond à $13$, à quoi correspond $11$ ?
▶ Solution — Exercice 4
- $\dfrac{15}{9} = \dfrac{?}{6}$, donc $? = \dfrac{15 \times 6}{9} = 10$.
- $\dfrac{20}{12} = \dfrac{?}{30}$, donc $? = \dfrac{20 \times 30}{12} = 50$.
- $\dfrac{13}{4} = \dfrac{?}{11}$, donc $? = \dfrac{13 \times 11}{4} = \dfrac{143}{4} = 35{,}75$.
Démasquer l'illusion de linéarité
Le piège du raisonnement additif
L'erreur la plus fréquente en proportionnalité consiste à appliquer un raisonnement additif là où il faut un raisonnement multiplicatif. Devant un problème d'agrandissement, par exemple, l'élève qui sait que « quand le côté augmente de $2$ cm, le périmètre augmente de … » applique souvent un « $+ k$ » partout au lieu d'un « $\times k$ ».
Ce piège est particulièrement vicieux pour les aires et les volumes. Si l'on double les longueurs d'une figure, l'aire est multipliée par $4$ (pas par $2$), et le volume est multiplié par $8$ (pas par $2$). L'élève qui multiplie l'aire par $2$ commet l'erreur d'illusion de linéarité.
Voici trois productions d'élèves. Pour chacune, dire si elle est correcte. Sinon, identifier l'erreur et donner le résultat juste.
- « Un carré de côté $3$ cm a pour aire $9$ cm$^2$. Donc un carré de côté $6$ cm a pour aire $18$ cm$^2$. »
- « Si une recette pour $4$ personnes utilise $200$ g de farine, alors pour $6$ personnes il faut $200 + 2 \times 50 = 300$ g. »
- « Une voiture parcourt $80$ km en $1$ h. Donc en $3$ h elle parcourt $240$ km. »
▶ Solution — Exercice 5
- Incorrect. L'aire d'un carré n'est pas proportionnelle à la longueur du côté. Si le côté double, l'aire est multipliée par $4$ : un carré de côté $6$ cm a pour aire $36$ cm$^2$.
- Le résultat est juste, mais le raisonnement est dangereux. L'élève a en fait fait $\dfrac{200}{4} \times 6 = 300$ g, ce qui est correct car la quantité de farine est proportionnelle au nombre de personnes. Mais sa rédaction (« $+ 2 \times 50$ ») suggère un raisonnement additif qui ne fonctionne pas en général. Mieux vaut écrire : la quantité par personne est $50$ g, donc pour $6$ personnes il faut $6 \times 50 = 300$ g.
- Correct. La distance parcourue à vitesse constante est proportionnelle au temps. $3 \times 80 = 240$ km.
- Un carré a pour côté $5$ cm. Calculer son aire.
- On agrandit le carré en multipliant le côté par $3$. Calculer la nouvelle aire. Par quel coefficient l'aire a-t-elle été multipliée ?
- Un cube a pour arête $2$ cm. Calculer son volume.
- On agrandit le cube en multipliant l'arête par $2$. Calculer le nouveau volume. Par quel coefficient le volume a-t-il été multiplié ?
▶ Solution — Exercice 6
- Aire $= 5^2 = 25$ cm$^2$.
- Nouveau côté $= 15$ cm, nouvelle aire $= 225$ cm$^2$. L'aire a été multipliée par $\dfrac{225}{25} = 9 = 3^2$. Quand on multiplie les longueurs par $3$, on multiplie les aires par $3^2 = 9$.
- Volume $= 2^3 = 8$ cm$^3$.
- Nouvelle arête $= 4$ cm, nouveau volume $= 64$ cm$^3$. Le volume a été multiplié par $\dfrac{64}{8} = 8 = 2^3$. Quand on multiplie les longueurs par $2$, on multiplie les volumes par $2^3 = 8$.
Règle générale. Quand on multiplie les longueurs d'une figure par un coefficient $k$, les aires sont multipliées par $k^2$ et les volumes par $k^3$. Ces relations ne sont pas de la proportionnalité simple.
Pourcentages et échelles
Deux applications classiques de la proportionnalité
Pourcentages. Calculer $p\,\%$ d'une quantité $Q$ revient à multiplier $Q$ par $\dfrac{p}{100}$. Augmenter de $p\,\%$, c'est multiplier par $\left(1 + \dfrac{p}{100}\right)$. Diminuer de $p\,\%$, c'est multiplier par $\left(1 - \dfrac{p}{100}\right)$.
Échelles. L'échelle d'un plan ou d'une carte est le rapport entre les longueurs sur le plan et les longueurs réelles. Une échelle de $\dfrac{1}{50\,000}$ signifie que $1$ cm sur le plan correspond à $50\,000$ cm $= 500$ m dans la réalité.
- Calculer $20\,\%$ de $80$.
- Un article coûtait $40 \,\text{\euro}$ et est augmenté de $15\,\%$. Quel est le nouveau prix ?
- Un article coûtait $50 \,\text{\euro}$ et est soldé à $-30\,\%$. Quel est le prix après remise ?
- Une population passe de $1\,200$ à $1\,500$ habitants. Quel est le pourcentage d'évolution ?
▶ Solution — Exercice 7
- $20\,\%$ de $80 = \dfrac{20}{100} \times 80 = 16$.
- Nouveau prix $= 40 \times 1{,}15 = 46 \,\text{\euro}$.
- Prix soldé $= 50 \times 0{,}70 = 35 \,\text{\euro}$.
- Évolution $= \dfrac{1\,500 - 1\,200}{1\,200} = \dfrac{300}{1\,200} = 0{,}25 = 25\,\%$. La population a augmenté de $25\,\%$.
- Sur une carte à l'échelle $\dfrac{1}{25\,000}$, deux villages sont distants de $8$ cm. Quelle est la distance réelle entre eux, en km ?
- Sur le plan d'un appartement à l'échelle $\dfrac{1}{100}$, le salon est représenté par un rectangle de $5$ cm sur $4$ cm. Quelle est l'aire réelle du salon ?
▶ Solution — Exercice 8
- Distance réelle $= 8 \times 25\,000 = 200\,000$ cm $= 2\,000$ m $= 2$ km.
- Dimensions réelles : $5 \times 100 = 500$ cm $= 5$ m, et $4 \times 100 = 400$ cm $= 4$ m. Aire $= 5 \times 4 = 20$ m$^2$. Remarque : l'aire sur le plan est de $20$ cm$^2$, et l'aire réelle est de $20$ m$^2 = 200\,000$ cm$^2$. Le rapport des aires est $\dfrac{1}{10\,000} = \left(\dfrac{1}{100}\right)^2$, ce qui illustre la règle des aires sur un agrandissement.
Pour s'auto-évaluer
Cinq questions à se poser
Avant et pendant un calcul de proportionnalité, prendre l'habitude de se poser ces cinq questions.
- La situation est-elle bien proportionnelle ? Si je double l'une des grandeurs, l'autre est-elle aussi doublée ?
- Quelle est la procédure la plus rapide : retour à l'unité, coefficient, propriété multiplicative, propriété additive, ou produit en croix ?
- Suis-je en train de raisonner additivement (« $+ k$ partout ») là où il faudrait raisonner multiplicativement (« $\times k$ partout ») ?
- S'il s'agit d'aires ou de volumes, ai-je bien tenu compte du fait qu'ils ne sont pas proportionnels aux longueurs (multiplier par $k$ donne $k^2$ ou $k^3$) ?
- Mon résultat est-il vraisemblable, en ordre de grandeur, par rapport à la situation ?