Pourquoi cette fiche ?
Une probabilité conditionnelle mesure la chance d'un événement sachant qu'un autre est réalisé. L'outil central est l'arbre pondéré, qui organise toutes les probabilités et permet de tout calculer. La difficulté majeure est de ne pas confondre $P_A(B)$ et $P_B(A)$, qui ont des dénominateurs différents et ne sont en général pas égales.
Cette fiche reprend chaque savoir-faire : calculer une probabilité conditionnelle, construire un arbre et appliquer la formule des probabilités totales, calculer une probabilité « à rebours », et reconnaître l'indépendance.
Calculer une probabilité conditionnelle
La formule de base
$P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$ (avec $P(A) \neq 0$). On en déduit la probabilité d'une intersection : $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$.
- On donne $P(A) = 0{,}4$ et $P(A \cap B) = 0{,}1$. Calculer $P_A(B)$.
- On donne $P(B) = 0{,}5$ et $P(A \cap B) = 0{,}2$. Calculer $P_B(A)$.
- On donne $P(A) = 0{,}6$ et $P_A(B) = 0{,}3$. Calculer $P(A \cap B)$.
▶ Solution — Exercice 1
- $P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{0{,}1}{0{,}4} = 0{,}25$.
- $P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{0{,}2}{0{,}5} = 0{,}4$.
- $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) = 0{,}6 \times 0{,}3 = 0{,}18$.
Construire un arbre et utiliser les probabilités totales
Les deux règles de l'arbre
Sur un arbre pondéré, la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités rencontrées le long de ce chemin ; la probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui y mènent (formule des probabilités totales).
Dans une usine, la machine $M_1$ fabrique $60\,\%$ des pièces et la machine $M_2$ les $40\,\%$ restants. La machine $M_1$ produit $5\,\%$ de pièces défectueuses, la machine $M_2$ en produit $8\,\%$. On choisit une pièce au hasard et on note $D$ l'événement « la pièce est défectueuse ».
- Décrire l'arbre pondéré de la situation.
- Calculer la probabilité $P(M_1 \cap D)$ qu'une pièce vienne de $M_1$ et soit défectueuse.
- Calculer la probabilité $P(D)$ qu'une pièce soit défectueuse.
▶ Solution — Exercice 2
- L'arbre a deux branches principales : $M_1$ (probabilité $0{,}6$) et $M_2$ (probabilité $0{,}4$). De $M_1$ partent $D$ ($0{,}05$) et $\overline{D}$ ($0{,}95$) ; de $M_2$ partent $D$ ($0{,}08$) et $\overline{D}$ ($0{,}92$).
- $P(M_1 \cap D) = P(M_1) \times P_{M_1}(D) = 0{,}6 \times 0{,}05 = 0{,}03$.
- D'après la formule des probabilités totales : $P(D) = P(M_1) \times P_{M_1}(D) + P(M_2) \times P_{M_2}(D) = 0{,}03 + 0{,}4 \times 0{,}08 = 0{,}03 + 0{,}032 = 0{,}062$.
Calculer une probabilité conditionnelle à rebours
Inverser le conditionnement
Connaissant une intersection et une probabilité totale, on peut « remonter » l'arbre : $P_D(M_1) = \dfrac{P(M_1 \cap D)}{P(D)}$. Cette probabilité, souvent contre-intuitive, est différente de $P_{M_1}(D)$.
On reprend la situation des deux machines ($P(M_1 \cap D) = 0{,}03$ et $P(D) = 0{,}062$). Une pièce prélevée est défectueuse. Calculer la probabilité qu'elle provienne de la machine $M_1$.
▶ Solution — Exercice 3
$P_D(M_1) = \dfrac{P(M_1 \cap D)}{P(D)} = \dfrac{0{,}03}{0{,}062} \approx 0{,}48$. Sachant qu'une pièce est défectueuse, elle a environ $48\,\%$ de chances de venir de $M_1$ (et donc environ $52\,\%$ de venir de $M_2$, bien que $M_2$ fabrique moins de pièces : c'est parce que $M_2$ est plus souvent défectueuse).
Reconnaître l'indépendance
Le test de l'indépendance
Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$. Il faut le vérifier : l'indépendance n'est jamais automatique.
Dans chaque cas, dire si $A$ et $B$ sont indépendants.
- $P(A) = 0{,}5$, $P(B) = 0{,}4$ et $P(A \cap B) = 0{,}2$.
- $P(A) = 0{,}3$, $P(B) = 0{,}6$ et $P(A \cap B) = 0{,}2$.
▶ Solution — Exercice 4
- $P(A) \times P(B) = 0{,}5 \times 0{,}4 = 0{,}2 = P(A \cap B)$ : les événements sont indépendants.
- $P(A) \times P(B) = 0{,}3 \times 0{,}6 = 0{,}18 \neq 0{,}2 = P(A \cap B)$ : les événements ne sont pas indépendants.
Un problème complet
Dans un collège, $70\,\%$ des élèves prennent le bus. Parmi ceux qui prennent le bus, $20\,\%$ arrivent en retard ; parmi les autres, $10\,\%$ arrivent en retard. On choisit un élève au hasard et on note $B$ « l'élève prend le bus » et $R$ « l'élève arrive en retard ».
- Décrire l'arbre pondéré.
- Calculer la probabilité $P(R)$ qu'un élève arrive en retard.
- Un élève est arrivé en retard. Calculer la probabilité qu'il ait pris le bus.
▶ Solution — Exercice 5
- Deux branches principales : $B$ ($0{,}7$) et $\overline{B}$ ($0{,}3$). De $B$ partent $R$ ($0{,}2$) et $\overline{R}$ ($0{,}8$) ; de $\overline{B}$ partent $R$ ($0{,}1$) et $\overline{R}$ ($0{,}9$).
- $P(R) = 0{,}7 \times 0{,}2 + 0{,}3 \times 0{,}1 = 0{,}14 + 0{,}03 = 0{,}17$.
- $P_R(B) = \dfrac{P(B \cap R)}{P(R)} = \dfrac{0{,}14}{0{,}17} \approx 0{,}82$. Sachant qu'un élève est en retard, il a environ $82\,\%$ de chances d'avoir pris le bus.
Pour s'auto-évaluer
Cinq questions à se poser
Avant et pendant un exercice de probabilités conditionnelles, prendre l'habitude de se poser ces cinq questions.
- Quel est l'événement sachant lequel je calcule ? C'est lui qui figure au dénominateur.
- Pour une intersection, ai-je bien multiplié le long d'une branche, et non additionné ?
- Pour une probabilité totale, ai-je additionné tous les chemins qui mènent à l'événement ?
- Quand je calcule « à rebours » ($P_D(M_1)$), ai-je bien mis l'intersection au numérateur et la probabilité totale au dénominateur ?
- Pour l'indépendance, ai-je vérifié l'égalité $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$, sans la supposer ?