Maîtriser la fonction logarithme

Fiche de cours : La fonction logarithme népérien.

Pourquoi cette fiche ?

Le logarithme népérien est la fonction réciproque de l'exponentielle : $\ln x$ est l'exposant à donner à $\mathrm{e}$ pour obtenir $x$. Les élèves le manipulent souvent avec des règles inventées par analogie, comme $\ln(a + b) = \ln a + \ln b$, ou oublient qu'il n'est défini que pour des nombres strictement positifs. Cette fiche démonte ces automatismes et installe les bons : passer d'une écriture exponentielle à une écriture logarithmique, utiliser les propriétés du produit, du quotient et de la puissance, résoudre une équation ou une inéquation en respectant le domaine, puis dériver et étudier une fonction où intervient le logarithme.

Passer de l'exponentielle au logarithme

La définition, dans les deux sens

Pour $x > 0$ et $y$ réel, $\ln x = y \iff x = \mathrm{e}^{y}$. Donc $\ln 1 = 0$, $\ln \mathrm{e} = 1$, $\mathrm{e}^{\ln x} = x$ (pour $x > 0$) et $\ln\left(\mathrm{e}^{y}\right) = y$ (pour tout $y$).

Exercice 1 — Traduire dans les deux sens

Compléter à l'aide de la définition : $\mathrm{e}^{2} \approx 7{,}39$, donc $\ln 7{,}39 \approx …$ ; $\mathrm{e}^{0} = 1$, donc $\ln … = …$ ; $\ln 20 \approx 3$, donc $\mathrm{e}^{3} \approx …$
Résoudre $\mathrm{e}^{x} = 10$, $\mathrm{e}^{x} = 1$, $\ln x = -1$ et $\ln x = 0$ (valeurs exactes, puis arrondis au centième).

▶ Solution — Exercice 1

$\ln 7{,}39 \approx 2$ ; $\ln 1 = 0$ ; $\mathrm{e}^{3} \approx 20$.
$\mathrm{e}^{x} = 10 \iff x = \ln 10 \approx 2{,}30$ ; $\mathrm{e}^{x} = 1 \iff x = \ln 1 = 0$ ; $\ln x = -1 \iff x = \mathrm{e}^{-1} = \dfrac{1}{\mathrm{e}} \approx 0{,}37$ ; $\ln x = 0 \iff x = \mathrm{e}^{0} = 1$.

Exercice 2 — Démasquer les fausses règles

Pour chaque égalité, dire si elle est vraie pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$. Si elle est fausse, donner un contre-exemple numérique.

a) $\ln(a + b) = \ln a + \ln b$
b) $\ln(2a) = 2 \ln a$
c) $\ln\left(a^{2}\right) = 2 \ln a$
d) $\dfrac{\ln a}{\ln b} = \ln\left(\dfrac{a}{b}\right)$
e) $\ln\left(\dfrac{1}{a}\right) = -\ln a$
f) $(\ln a)^{2} = 2 \ln a$

▶ Solution — Exercice 2

Fausse. $a = b = 1$ : $\ln 2 \approx 0{,}69$ mais $\ln 1 + \ln 1 = 0$.
Fausse. $\ln(2a) = \ln 2 + \ln a$ ; avec $a = 1$ : $\ln 2 \approx 0{,}69$ mais $2 \ln 1 = 0$.
Vraie. C'est la règle de la puissance, $\ln\left(a^{n}\right) = n \ln a$.
Fausse. $a = \mathrm{e}^{2}$, $b = \mathrm{e}$ : $\dfrac{\ln a}{\ln b} = \dfrac{2}{1} = 2$ mais $\ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln \mathrm{e} = 1$. Un quotient de logarithmes ne se simplifie pas.
Vraie. $\ln\left(\dfrac{1}{a}\right) = \ln 1 - \ln a = -\ln a$.
Fausse. $(\ln a)^{2}$ est le carré du nombre $\ln a$, alors que $2 \ln a = \ln\left(a^{2}\right)$ ; avec $a = \mathrm{e}$ : $1^{2} = 1$ mais $2 \times 1 = 2$.

Calculer avec les propriétés

Les règles à utiliser

$\ln(ab) = \ln a + \ln b$, $\ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b$, $\ln\left(a^{n}\right) = n \ln a$, $\ln \sqrt{a} = \dfrac{1}{2} \ln a$. Réflexe : décomposer le nombre en produit de facteurs premiers.

Exercice 3 — Exprimer avec $\ln 2$ et $\ln 5$

Écrire chaque nombre en fonction de $\ln 2$ et $\ln 5$.

a) $A = \ln 10$
b) $B = \ln 50$
c) $C = \ln 0{,}4$
d) $D = \ln 1{,}6$
e) $E = \ln \sqrt{20}$
f) $F = \ln 0{,}25$

▶ Solution — Exercice 3

$A = \ln(2 \times 5) = \ln 2 + \ln 5$.
$B = \ln\left(2 \times 5^{2}\right) = \ln 2 + 2 \ln 5$.
$C = \ln\left(\dfrac{2}{5}\right) = \ln 2 - \ln 5$.
$D = \ln\left(\dfrac{8}{5}\right) = \ln\left(2^{3}\right) - \ln 5 = 3 \ln 2 - \ln 5$.
$E = \dfrac{1}{2} \ln 20 = \dfrac{1}{2} \ln\left(2^{2} \times 5\right) = \dfrac{1}{2}\left(2 \ln 2 + \ln 5\right) = \ln 2 + \dfrac{1}{2} \ln 5$.
$F = \ln\left(\dfrac{1}{4}\right) = -\ln\left(2^{2}\right) = -2 \ln 2$.

Résoudre en respectant le domaine

La condition d'existence d'abord

On écrit l'ensemble des $x$ pour lesquels chaque logarithme est défini (argument strictement positif), on résout, puis on rejette les solutions hors de cet ensemble. Ensuite : $\ln a = \ln b \iff a = b$ et $\ln a < \ln b \iff a < b$ pour $a$, $b > 0$.

Exercice 4 — Équations et inéquations avec le domaine

a) $\ln(x + 1) = \ln(3 - x)$
b) $\ln\left(x^{2}\right) = \ln(x + 6)$
c) $2 \ln x = \ln 9$
d) $\ln(x - 1) < 2$

▶ Solution — Exercice 4

Conditions : $x > -1$ et $x < 3$. Alors $x + 1 = 3 - x \iff x = 1$, qui convient. $S = \{1\}$.
Conditions : $x^{2} > 0$ (donc $x \neq 0$) et $x > -6$. Alors $x^{2} = x + 6 \iff x^{2} - x - 6 = 0 \iff x = 3$ ou $x = -2$. Les deux vérifient les conditions ($(-2)^{2} = 4 = -2 + 6$). $S = \{-2 \,;\, 3\}$. Attention : écrire $\ln\left(x^{2}\right) = 2 \ln x$ aurait imposé $x > 0$ et fait perdre la solution $-2$.
Condition : $x > 0$. $2 \ln x = \ln\left(x^{2}\right) = \ln 9 \iff x^{2} = 9 \iff x = 3$ (car $x > 0$). $S = \{3\}$.
Condition : $x > 1$. $\ln(x - 1) < 2 = \ln\left(\mathrm{e}^{2}\right) \iff x - 1 < \mathrm{e}^{2} \iff x < 1 + \mathrm{e}^{2}$. $S = \mathopen{]}1 \,;\, 1 + \mathrm{e}^{2}\mathclose{[}$, soit environ $\mathopen{]}1 \,;\, 8{,}39\mathclose{[}$.

Exercice 5 — Inconnue en exposant

Résoudre, puis donner le premier entier solution lorsque l'inconnue est un entier $n$.

a) $2^{n} \geqslant 1000$
b) $0{,}9^{n} \leqslant 0{,}5$
c) $5 \times 1{,}02^{n} > 8$
d) $\mathrm{e}^{-0{,}2 t} = 0{,}5$ ($t$ réel)

▶ Solution — Exercice 5

$n \ln 2 \geqslant \ln 1000 \iff n \geqslant \dfrac{\ln 1000}{\ln 2} \approx 9{,}97$ ($\ln 2 > 0$). Premier entier : $n = 10$ ($2^{10} = 1024$).
$n \ln 0{,}9 \leqslant \ln 0{,}5 \iff n \geqslant \dfrac{\ln 0{,}5}{\ln 0{,}9} \approx 6{,}58$, le sens change car $\ln 0{,}9 < 0$. Premier entier : $n = 7$.
$1{,}02^{n} > 1{,}6 \iff n > \dfrac{\ln 1{,}6}{\ln 1{,}02} \approx 23{,}7$. Premier entier : $n = 24$.
$-0{,}2 t = \ln 0{,}5 \iff t = \dfrac{\ln 0{,}5}{-0{,}2} = -5 \ln 0{,}5 = 5 \ln 2 \approx 3{,}47$. C'est un temps de demi-vie : la quantité $\mathrm{e}^{-0{,}2 t}$ est divisée par deux tous les $3{,}47$ unités de temps.

Dériver et étudier

Les formules

$(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ sur $\mathopen{]}0 \,;\, +\infty\mathclose{[}$ et $\big(\ln u\big)' = \dfrac{u'}{u}$ pour $u > 0$. Les formules du produit et du quotient s'appliquent comme d'habitude.

Exercice 6 — Dériver

Dériver chaque fonction sur $\mathopen{]}0 \,;\, +\infty\mathclose{[}$ (sur $\left]\dfrac{1}{3} \,;\, +\infty\right[$ pour $g$).

a) $f(x) = \ln x + x^{2}$
b) $g(x) = \ln(3x - 1)$
c) $h(x) = x^{2} \ln x$
d) $k(x) = \ln\left(x^{2} + 4\right)$
e) $m(x) = \dfrac{\ln x}{x^{2}}$
f) $n(x) = \mathrm{e}^{x} \ln x$

▶ Solution — Exercice 6

$f'(x) = \dfrac{1}{x} + 2x$.
$u = 3x - 1$, $u' = 3$ : $g'(x) = \dfrac{3}{3x - 1}$.
Produit : $h'(x) = 2x \ln x + x^{2} \times \dfrac{1}{x} = 2x \ln x + x = x(2 \ln x + 1)$.
$u = x^{2} + 4$, $u' = 2x$ : $k'(x) = \dfrac{2x}{x^{2} + 4}$.
Quotient : $m'(x) = \dfrac{\frac{1}{x} \times x^{2} - \ln x \times 2x}{x^{4}} = \dfrac{x - 2x \ln x}{x^{4}} = \dfrac{1 - 2 \ln x}{x^{3}}$.
Produit : $n'(x) = \mathrm{e}^{x} \ln x + \mathrm{e}^{x} \times \dfrac{1}{x} = \mathrm{e}^{x}\left(\ln x + \dfrac{1}{x}\right)$.

Exercice 7 — Étude complète

Soit $f(x) = \ln x - x + 2$, définie sur $\mathopen{]}0 \,;\, +\infty\mathclose{[}$.

Déterminer les limites de $f$ en $0^{+}$ et en $+\infty$.
Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x) = \dfrac{1 - x}{x}$. Dresser le tableau de variations de $f$.
Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet exactement deux solutions $\alpha < \beta$, et en donner un encadrement d'amplitude $0{,}1$.

▶ Solution — Exercice 7

En $0^{+}$ : $\ln x \to -\infty$ et $-x + 2 \to 2$, donc $f(x) \to -\infty$. En $+\infty$ : forme « $+\infty - \infty$ » ; $f(x) = x\left(\dfrac{\ln x}{x} - 1 + \dfrac{2}{x}\right)$ avec $\dfrac{\ln x}{x} \to 0$ (croissances comparées), donc la parenthèse tend vers $-1$ et $f(x) \to -\infty$.
$f'(x) = \dfrac{1}{x} - 1 = \dfrac{1 - x}{x}$. Le dénominateur est positif ; $1 - x > 0 \iff x < 1$. $f$ est croissante sur $\mathopen{]}0 \,;\, 1]$, décroissante sur $[1 \,;\, +\infty\mathclose{[}$, avec un maximum $f(1) = 0 - 1 + 2 = 1$.
Sur $\mathopen{]}0 \,;\, 1]$, $f$ est continue, strictement croissante, de limite $-\infty$ en $0^{+}$ à $f(1) = 1 > 0$ : une unique solution $\alpha$. Sur $[1 \,;\, +\infty\mathclose{[}$, $f$ est continue, strictement décroissante, de $1 > 0$ à $-\infty$ : une unique solution $\beta$. Encadrements : $f(0{,}1) \approx -0{,}40 < 0$ et $f(0{,}2) \approx 0{,}19 > 0$, donc $0{,}1 < \alpha < 0{,}2$ ; $f(3{,}1) \approx 0{,}03 > 0$ et $f(3{,}2) \approx -0{,}04 < 0$, donc $3{,}1 < \beta < 3{,}2$.

Exercice 8 — Dépréciation d'un véhicule

Un véhicule acheté $20\,000$ € perd $15\,\%$ de sa valeur chaque année. On note $V_{n}$ sa valeur au bout de $n$ années.

Exprimer $V_{n}$ en fonction de $n$.
Au bout de combien d'années la valeur passe-t-elle sous la moitié du prix d'achat ? Sous le quart ?
Que remarque-t-on entre ces deux durées ? L'expliquer avec les propriétés du logarithme.

▶ Solution — Exercice 8

Perdre $15\,\%$ revient à multiplier par $0{,}85$ : $V_{n} = 20\,000 \times 0{,}85^{n}$.
Moitié : $0{,}85^{n} < 0{,}5 \iff n > \dfrac{\ln 0{,}5}{\ln 0{,}85} \approx 4{,}3$ (sens changé, $\ln 0{,}85 < 0$) : $5$ ans. Quart : $0{,}85^{n} < 0{,}25 \iff n > \dfrac{\ln 0{,}25}{\ln 0{,}85} \approx 8{,}5$ : $9$ ans.
La seconde durée est le double de la première (avant arrondi) : $\ln 0{,}25 = \ln\left(0{,}5^{2}\right) = 2 \ln 0{,}5$, donc $\dfrac{\ln 0{,}25}{\ln 0{,}85} = 2 \times \dfrac{\ln 0{,}5}{\ln 0{,}85}$. Diviser par $4$, c'est diviser deux fois par $2$ : le temps nécessaire double.

Pour s'auto-évaluer

Cinq questions à se poser

Ai-je écrit la condition d'existence (arguments strictement positifs) avant de résoudre ?
Suis-je sûr de ne pas avoir utilisé une règle inventée pour $\ln(a + b)$ ou pour un quotient de logarithmes ?
En divisant par $\ln q$, ai-je regardé son signe pour décider si l'inégalité change de sens ?
Pour dériver $\ln u$, ai-je bien écrit $\dfrac{u'}{u}$ avec le $u'$ au numérateur ?
Devant une limite avec $\ln x$ et $x$, ai-je pensé aux croissances comparées ?

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