Pourquoi cette fiche ?
Dans l'espace, on repère un point par trois coordonnées $(x \,;\, y \,;\, z)$. Les outils du plan se prolongent presque sans changement : coordonnées d'un vecteur, distance, milieu, colinéarité, produit scalaire. Il suffit d'ajouter partout la troisième coordonnée. La difficulté principale est justement de ne pas oublier la coordonnée $z$, et de bien visualiser la situation.
Cette fiche reprend chaque savoir-faire : coordonnées d'un vecteur, distance et milieu, colinéarité, produit scalaire et orthogonalité, puis démonstration d'un angle droit. Le repère est orthonormé.
Coordonnées d'un vecteur dans l'espace
La formule avec la troisième coordonnée
Pour $A(x_A \,;\, y_A \,;\, z_A)$ et $B(x_B \,;\, y_B \,;\, z_B)$, le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \\ z_B - z_A \end{pmatrix}$. On soustrait coordonnée par coordonnée, sans oublier $z$.
- $A(1 \,;\, 0 \,;\, 2)$ et $B(3 \,;\, -1 \,;\, 4)$. Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$.
- $C(-2 \,;\, 3 \,;\, 1)$ et $D(0 \,;\, 3 \,;\, 5)$. Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{CD}$.
- On sait que $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ et que $A(1 \,;\, 1 \,;\, 1)$. Déterminer les coordonnées de $B$.
▶ Solution — Exercice 1
- $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 - 1 \\ -1 - 0 \\ 4 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$.
- $\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} 0 - (-2) \\ 3 - 3 \\ 5 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}$.
- Les coordonnées de $B$ sont celles de $A$ augmentées de celles de $\overrightarrow{AB}$ : $B(1 + 3 \,;\, 1 - 2 \,;\, 1 + 1)$, soit $B(4 \,;\, -1 \,;\, 2)$.
Distance et milieu
Distance et milieu dans l'espace
Dans un repère orthonormé, $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$ (penser au carré de la troisième coordonnée). Le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées la moyenne des coordonnées de $A$ et $B$.
On donne $A(2 \,;\, -1 \,;\, 3)$ et $B(4 \,;\, 0 \,;\, 5)$.
- Calculer la distance $AB$.
- Déterminer les coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$.
▶ Solution — Exercice 2
- $AB = \sqrt{(4 - 2)^2 + (0 - (-1))^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
- $I\left(\dfrac{2 + 4}{2} \,;\, \dfrac{-1 + 0}{2} \,;\, \dfrac{3 + 5}{2}\right) = \left(3 \,;\, -\dfrac{1}{2} \,;\, 4\right)$.
Colinéarité
Un vecteur multiple de l'autre
Deux vecteurs sont colinéaires lorsque l'un est un multiple de l'autre : $\vec{u} = k\,\vec{v}$. Pour le vérifier, on cherche un réel $k$ qui convient pour la première coordonnée, puis on contrôle qu'il convient aussi pour les deux autres.
- $\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} -3 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix}$
- $\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}$
▶ Solution — Exercice 3
- On cherche $k$ tel que $\vec{v} = k\,\vec{u}$ : $-3 = k \times 2$ donne $k = -\dfrac{3}{2}$. On vérifie : $-\dfrac{3}{2} \times 4 = -6$ et $-\dfrac{3}{2} \times (-2) = 3$. Les trois coordonnées concordent, donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.
- Pour la première coordonnée, $2 = k \times 1$ donne $k = 2$ ; pour la deuxième, $4 = 2 \times 2$ convient ; mais pour la troisième, $2 \times 3 = 6 \neq 5$. Aucun $k$ ne convient pour les trois coordonnées : les vecteurs ne sont pas colinéaires.
Produit scalaire et orthogonalité dans l'espace
La troisième coordonnée s'ajoute
Dans un repère orthonormé, si $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix}$, alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = x x' + y y' + z z'$. Comme dans le plan, deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
- Calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$ pour $\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$. Sont-ils orthogonaux ?
- Calculer $\vec{a} \cdot \vec{b}$ pour $\vec{a}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\vec{b}\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$. Sont-ils orthogonaux ?
- Déterminer le réel $t$ pour que $\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ t \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ soient orthogonaux.
▶ Solution — Exercice 4
- $\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \times 3 + 2 \times (-1) + (-1) \times 1 = 3 - 2 - 1 = 0$. Le produit scalaire est nul, donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.
- $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \times 1 + 1 \times (-2) + 3 \times 1 = 2 - 2 + 3 = 3 \neq 0$ : les vecteurs ne sont pas orthogonaux.
- $\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \times 3 + t \times (-1) + 2 \times 1 = 5 - t$. Ils sont orthogonaux lorsque $5 - t = 0$, soit $t = 5$.
Démontrer un angle droit dans l'espace
Le produit scalaire prouve l'angle droit
Pour montrer qu'un triangle est rectangle en un sommet, on calcule le produit scalaire des deux vecteurs partant de ce sommet : s'il est nul, l'angle est droit. La méthode est la même que dans le plan, avec une coordonnée de plus.
Dans un repère orthonormé, on donne $A(2 \,;\, 1 \,;\, 0)$, $B(4 \,;\, 1 \,;\, 2)$ et $C(1 \,;\, 3 \,;\, 1)$.
- Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
- Calculer $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$.
- En déduire la nature du triangle $ABC$.
▶ Solution — Exercice 5
- $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 - 2 \\ 1 - 1 \\ 2 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 1 - 2 \\ 3 - 1 \\ 1 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$.
- $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 2 \times (-1) + 0 \times 2 + 2 \times 1 = -2 + 0 + 2 = 0$.
- Le produit scalaire est nul, donc $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont orthogonaux : le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
Pour s'auto-évaluer
Cinq questions à se poser
Avant et pendant un exercice de géométrie dans l'espace, prendre l'habitude de se poser ces cinq questions.
- Ai-je bien utilisé les trois coordonnées, sans oublier $z$, dans chaque calcul ?
- Pour une distance, ai-je ajouté le carré de la troisième coordonnée sous la racine ?
- Pour la colinéarité, ai-je vérifié qu'un même coefficient $k$ convient pour les trois coordonnées ?
- Pour le produit scalaire, ai-je bien ajouté le produit $z z'$ ?
- Pour un angle droit, est-ce bien le produit scalaire nul qui me permet de conclure ?