Une fraction comme $\dfrac{3}{4}$ n'est pas l'écriture de deux nombres entiers côte à côte : c'est un nombre, à part entière, qui peut être interprété de plusieurs façons. Il désigne une part d'un tout, un quotient, une mesure, un rapport. Le confondre avec une paire d'entiers conduit à des erreurs persistantes, par exemple à écrire $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{5}$ en additionnant numérateurs et dénominateurs séparément.
Cette fiche aborde les fractions sous deux angles. D'abord, le sens du nombre fractionnaire : comprendre les multiples interprétations, situer une fraction sur une droite graduée, comparer deux fractions, reconnaître des écritures équivalentes, ne pas perdre de vue l'unité de référence. Ensuite, la maîtrise des opérations : addition, soustraction, multiplication et division, en démasquant les erreurs classiques.
Les multiples sens d'une fraction
Plusieurs façons de comprendre une fraction
Une fraction $\dfrac{a}{b}$ peut être interprétée de plusieurs manières, toutes correctes et complémentaires.
Partage : $\dfrac{3}{4}$ représente $3$ parts d'un tout partagé en $4$ parts égales.
Quotient : $\dfrac{3}{4}$ est le résultat de la division $3 \div 4$, c'est-à-dire $0{,}75$.
Mesure : $\dfrac{3}{4}$ est le nombre qui, multiplié par $4$, donne $3$. C'est aussi la longueur obtenue en reportant $3$ fois l'unité $\dfrac{1}{4}$.
Rapport : $\dfrac{3}{4}$ peut décrire la proportion d'éléments d'un type par rapport au total ($3$ filles sur $4$ élèves).
Exercice 1 — Lire une fraction dans plusieurs sens
Pour chaque situation, écrire la fraction correspondante et préciser le sens dans lequel elle est interprétée (partage, quotient, mesure ou rapport).
Une tablette de chocolat est partagée en $8$ carrés égaux. On en mange $5$. Quelle fraction de la tablette a été mangée ?
On partage équitablement $3$ pizzas entre $4$ personnes. Quelle quantité de pizza reçoit chaque personne ?
Sur une carte, $1$ cm représente $25$ km. Quel est le rapport entre les distances sur la carte et dans la réalité ?
Une bouteille de $2$ L est remplie aux trois quarts. Quel volume contient-elle ?
▶ Solution — Exercice 1
$\dfrac{5}{8}$ de la tablette (sens du partage : $5$ parts sur $8$).
Chaque personne reçoit $\dfrac{3}{4}$ de pizza (sens du quotient : $3 \div 4$).
Le rapport est $\dfrac{1}{2\,500\,000}$ (sens du rapport : $1$ cm = $25$ km = $25 \times 100\,000$ cm).
La bouteille contient $\dfrac{3}{4} \times 2 = \dfrac{6}{4} = 1{,}5$ L (sens de la mesure : $\dfrac{3}{4}$ comme opérateur sur la quantité $2$ L).
Exercice 2 — Représenter une fraction de plusieurs façons
Pour la fraction $\dfrac{2}{5}$ :
Représenter $\dfrac{2}{5}$ par une part d'aire (rectangle ou disque partagé en parts égales).
Représenter $\dfrac{2}{5}$ comme une longueur sur une droite graduée allant de $0$ à $1$.
Donner l'écriture décimale de $\dfrac{2}{5}$ (sens du quotient).
Donner un exemple de situation où $\dfrac{2}{5}$ joue le rôle de rapport.
▶ Solution — Exercice 2
Un rectangle partagé en $5$ parts égales, dont $2$ sont coloriées.
Sur une droite allant de $0$ à $1$, on partage en $5$ et l'on place le point au deuxième repère.
$\dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{10} = 0{,}4$.
Par exemple : « $2$ élèves sur $5$ ont moins de $14$ ans », ou « la pente d'un toit est de $\dfrac{2}{5}$ ».
La fraction sur la droite graduée
Une fraction est un nombre{,} donc elle a une place
Tout nombre, qu'il soit entier ou fractionnaire, possède une place sur la droite graduée. Pour placer $\dfrac{a}{b}$, on partage l'unité $[0\,;\,1]$ en $b$ parts égales : la fraction $\dfrac{a}{b}$ est le point obtenu en reportant $a$ de ces parts à partir de $0$. Cette construction met en évidence que $\dfrac{a}{b}$ est « $a$ fois $\dfrac{1}{b}$ ». L'unité fractionnaire $\dfrac{1}{b}$ est donc l'élément qu'on itère pour construire la fraction.
Exercice 3 — Placer des fractions sur la droite
Sur une droite graduée allant de $0$ à $1$, indiquer la place des fractions suivantes en précisant en combien de parts on partage l'unité.
$\dfrac{1}{2}$
$\dfrac{2}{3}$
$\dfrac{3}{5}$
$\dfrac{5}{8}$
$\dfrac{1}{4}$
$\dfrac{7}{10}$
▶ Solution — Exercice 3
On partage en $2$ parts : $\dfrac{1}{2}$ est au milieu de $[0\,;\,1]$.
On partage en $3$ parts : $\dfrac{2}{3}$ est à la deuxième graduation.
On partage en $5$ parts : $\dfrac{3}{5}$ est à la troisième graduation.
On partage en $8$ parts : $\dfrac{5}{8}$ est à la cinquième graduation.
On partage en $4$ parts : $\dfrac{1}{4}$ est à la première graduation.
On partage en $10$ parts : $\dfrac{7}{10}$ est à la septième graduation.
Exercice 4 — Itération de l'unité fractionnaire
Écrire $\dfrac{5}{6}$ comme une somme de fractions toutes égales à $\dfrac{1}{6}$.
Écrire $\dfrac{7}{4}$ comme une somme de fractions toutes égales à $\dfrac{1}{4}$, puis comme la somme d'un entier et d'une fraction strictement inférieure à $1$.
Construire la fraction $\dfrac{11}{8}$ en reportant l'unité fractionnaire sur une droite graduée. La fraction est-elle inférieure ou supérieure à $1$ ? À $2$ ?
$\dfrac{11}{8}$ s'obtient en reportant $11$ fois la longueur $\dfrac{1}{8}$. Comme $\dfrac{8}{8} = 1$, on a $\dfrac{11}{8} = 1 + \dfrac{3}{8}$. La fraction est supérieure à $1$ et inférieure à $2$ (car $\dfrac{16}{8} = 2$).
Comparer avant de calculer
Le piège « plus le dénominateur est grand{,} plus la fraction est grande »
Avec les entiers, plus le nombre est grand, plus il est grand : $7 > 5$. Avec les fractions, l'intuition s'inverse souvent : $\dfrac{1}{7} < \dfrac{1}{5}$, parce que partager en $7$ parts donne des parts plus petites que partager en $5$. Cette inversion est l'un des pièges les plus fréquents. Pour comparer correctement deux fractions, plusieurs stratégies coexistent.
Même dénominateur : si $\dfrac{a}{c}$ et $\dfrac{b}{c}$ ont le même dénominateur, alors la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur.
Même numérateur : si $\dfrac{a}{b}$ et $\dfrac{a}{c}$ ont le même numérateur, alors la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur.
Comparer à un repère : comparer chaque fraction à $\dfrac{1}{2}$ ou à $1$ pour situer rapidement.
Réduire au même dénominateur : dernière ressource, à utiliser quand les autres méthodes ne suffisent pas.
Exercice 5 — Vrai ou faux
Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant.
$\dfrac{1}{5} > \dfrac{1}{7}$
$\dfrac{3}{5} < \dfrac{3}{8}$
$\dfrac{2}{3} > \dfrac{1}{2}$
$\dfrac{4}{5} < 1$
$\dfrac{7}{4} < 1$
$\dfrac{5}{8} > \dfrac{1}{2}$
▶ Solution — Exercice 5
Vrai. Les deux fractions ont même numérateur, donc la plus grande est celle au plus petit dénominateur : $\dfrac{1}{5} > \dfrac{1}{7}$.
Faux. Même numérateur : la plus grande est celle au plus petit dénominateur, donc $\dfrac{3}{5} > \dfrac{3}{8}$.
Vrai. En réduisant au même dénominateur : $\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6}$ et $\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{6}$. Comme $4 > 3$, on a $\dfrac{2}{3} > \dfrac{1}{2}$.
Vrai. Le numérateur est strictement inférieur au dénominateur, donc la fraction est strictement inférieure à $1$.
Faux. Le numérateur est strictement supérieur au dénominateur, donc $\dfrac{7}{4} > 1$.
Vrai. On a $\dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{8}$. Comme $5 > 4$, on a $\dfrac{5}{8} > \dfrac{1}{2}$.
Exercice 6 — Ranger dans l'ordre croissant
Ranger les fractions suivantes dans l'ordre croissant.
Même dénominateur : on compare les numérateurs. $\dfrac{1}{5} < \dfrac{2}{5} < \dfrac{3}{5} < \dfrac{4}{5}$.
Même numérateur : la plus petite fraction correspond au plus grand dénominateur. $\dfrac{1}{5} < \dfrac{1}{4} < \dfrac{1}{3} < \dfrac{1}{2}$.
En réduisant au dénominateur commun $12$ : $\dfrac{1}{2} = \dfrac{6}{12}$ ; $\dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{12}$ ; $\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{12}$ ; $\dfrac{5}{6} = \dfrac{10}{12}$. Donc $\dfrac{1}{2} < \dfrac{2}{3} < \dfrac{3}{4} < \dfrac{5}{6}$.
Fractions équivalentes
Plusieurs écritures pour un même nombre
Un même nombre peut s'écrire de différentes façons sous forme de fraction. Par exemple : $$ \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{50}{100} = 0{,}5. $$ On dit que ces fractions sont équivalentes.
Règle fondamentale. Multiplier (ou diviser) le numérateur et le dénominateur d'une fraction par un même nombre non nul donne une fraction équivalente : $$ \dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times k}{b \times k} \quad \text{pour tout } k \neq 0. $$ Une fraction est dite irréductible lorsqu'on ne peut plus simplifier (numérateur et dénominateur n'ont plus de diviseur commun autre que $1$).
$\dfrac{6}{21} = \dfrac{6 \div 3}{21 \div 3} = \dfrac{2}{7}$, donc le premier numérateur est $2$ ; et $\dfrac{2}{7} = \dfrac{2 \times 7}{7 \times 7} = \dfrac{14}{49}$.
Exercice 8 — Simplifier jusqu'à l'irréductible
Simplifier chacune des fractions suivantes jusqu'à obtenir une fraction irréductible.
$\dfrac{6}{8}$
$\dfrac{15}{25}$
$\dfrac{18}{24}$
$\dfrac{36}{48}$
$\dfrac{42}{56}$
$\dfrac{100}{75}$
▶ Solution — Exercice 8
$\dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$ (division par $2$).
$\dfrac{15}{25} = \dfrac{3}{5}$ (division par $5$).
$\dfrac{18}{24} = \dfrac{3}{4}$ (division par $6$).
$\dfrac{36}{48} = \dfrac{3}{4}$ (division par $12$).
$\dfrac{42}{56} = \dfrac{3}{4}$ (division par $14$).
$\dfrac{100}{75} = \dfrac{4}{3}$ (division par $25$).
Exercice 9 — Reconnaître des fractions équivalentes
Parmi les fractions suivantes, regrouper celles qui sont équivalentes entre elles : $$ \dfrac{2}{3} \quad ; \quad \dfrac{6}{9} \quad ; \quad \dfrac{3}{4} \quad ; \quad \dfrac{8}{12} \quad ; \quad \dfrac{9}{12} \quad ; \quad \dfrac{15}{20}. $$
▶ Solution — Exercice 9
Premier groupe : $\dfrac{2}{3}$, $\dfrac{6}{9}$, $\dfrac{8}{12}$ (toutes égales à $\dfrac{2}{3}$).
Deuxième groupe : $\dfrac{3}{4}$, $\dfrac{9}{12}$, $\dfrac{15}{20}$ (toutes égales à $\dfrac{3}{4}$).
La question de l'unité de référence
Une fraction n'a de sens que rapportée à un tout
Une fraction sans précision sur le tout auquel elle se rapporte est ambiguë. $\dfrac{1}{2}$ d'une petite pizza n'est pas la même quantité que $\dfrac{1}{2}$ d'une grande pizza. Lorsqu'on compare deux fractions issues de situations différentes, il faut s'assurer que l'unité de référence est la même.
Quand l'unité change, l'ordre des fractions peut changer aussi. Une grande pizza coupée en $4$ peut donner des parts plus grosses qu'une petite pizza coupée en $3$, alors même que $\dfrac{1}{4} < \dfrac{1}{3}$ en tant que nombres.
Exercice 10 — Repérer l'unité de référence
Pour chaque situation, indiquer si la comparaison est légitime ou non. Justifier.
Léa a mangé $\dfrac{1}{2}$ d'une tablette de chocolat de $200$ g, et Karim a mangé $\dfrac{3}{4}$ d'une tablette de chocolat de $200$ g. Qui a mangé le plus ?
Léa a mangé $\dfrac{1}{2}$ d'une tablette de $300$ g, et Karim a mangé $\dfrac{3}{4}$ d'une tablette de $100$ g. Qui a mangé le plus ?
Dans la classe A, $\dfrac{2}{5}$ des élèves portent des lunettes. Dans la classe B, $\dfrac{3}{8}$ portent des lunettes. Peut-on dire que la classe A a plus de porteurs de lunettes ?
▶ Solution — Exercice 10
L'unité de référence est la même ($200$ g). On peut donc comparer directement : $\dfrac{3}{4} > \dfrac{1}{2}$, donc Karim a mangé plus que Léa.
Les unités de référence sont différentes. Il faut calculer les quantités : Léa a mangé $\dfrac{1}{2} \times 300 = 150$ g, et Karim $\dfrac{3}{4} \times 100 = 75$ g. C'est Léa qui a mangé le plus, alors même que sa fraction est plus petite.
En proportion, oui : $\dfrac{2}{5} = \dfrac{16}{40}$ et $\dfrac{3}{8} = \dfrac{15}{40}$, donc la classe A a une proportion plus grande. En nombre absolu de porteurs de lunettes, on ne peut pas conclure sans connaître les effectifs des deux classes.
Additionner et soustraire des fractions
L'erreur à éviter
L'erreur la plus tenace en calcul fractionnaire consiste à additionner numérateurs et dénominateurs séparément : $$ \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{5} \quad \text{(faux)}. $$ Ce raisonnement traite la fraction comme deux entiers indépendants, alors qu'elle représente un nombre unique. On peut s'en convaincre en visualisant : $\dfrac{1}{2}$, c'est déjà la moitié, et l'on ajoute encore quelque chose. Le résultat ne peut pas être plus petit que $\dfrac{1}{2}$. Or, $\dfrac{2}{5} < \dfrac{1}{2}$ : l'erreur produit un résultat manifestement absurde.
Règle correcte. Pour additionner ou soustraire deux fractions, on les écrit avec un même dénominateur, puis on additionne (ou soustrait) les numérateurs en gardant le dénominateur commun. $$ \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}. $$
Exercice 11 — Démasquer l'erreur
Voici trois calculs effectués par un élève. Pour chacun, dire si le résultat est correct. S'il est incorrect, identifier l'erreur, expliquer pourquoi le résultat est absurde, et donner le calcul juste.
$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{5}$
$\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{4}{8}$
$\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{3}$
▶ Solution — Exercice 11
Incorrect. L'élève a additionné numérateurs et dénominateurs séparément, ce qui revient à traiter la fraction comme deux entiers indépendants. Le résultat $\dfrac{2}{5}$ est inférieur à $\dfrac{1}{2}$, alors qu'on a ajouté quelque chose à $\dfrac{1}{2}$ : c'est absurde. Le calcul correct passe par le dénominateur commun $6$ : $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}$.
Incorrect. Les fractions ont déjà le même dénominateur ($4$). Il fallait simplement additionner les numérateurs en gardant le dénominateur : $\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{4}{4} = 1$. L'élève a en plus additionné les dénominateurs, ce qui n'a pas de sens.
Incorrect. On soustrait, donc le résultat doit être inférieur à $\dfrac{5}{6}$, et certainement pas égal à $\dfrac{4}{3} > 1$. Le calcul correct : $\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$.
Exercice 12 — Calculer en réduisant au même dénominateur
Effectuer chacun des calculs suivants, en donnant le résultat sous forme irréductible.
Multiplication : numérateurs entre eux{,} dénominateurs entre eux
Pour multiplier deux fractions, on multiplie numérateurs entre eux et dénominateurs entre eux. $$ \dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}. $$
Avant de calculer, il est souvent utile de simplifier en croix si possible, pour éviter d'avoir à simplifier de gros nombres en fin de calcul.
Attention : contrairement à l'addition, la règle de la multiplication ne demande pas de dénominateur commun. C'est précisément cette différence qui conduit certains élèves à appliquer cette règle (apparemment plus simple) à l'addition, par confusion. Il faut bien distinguer les contextes.
Exercice 13 — Multiplier deux fractions
Effectuer chacun des produits suivants, en donnant le résultat sous forme irréductible.
Exercice 14 — Confronter addition et multiplication
Pour chaque ligne, effectuer les deux calculs et comparer les résultats.
$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2}$.
$\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}$ et $\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{4}$.
Que peut-on en conclure sur l'effet de la multiplication par une fraction inférieure à $1$ ?
▶ Solution — Exercice 14
$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1$ ; $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$. La somme est strictement supérieure à la multiplication.
$\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{4}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{7}{12}$ ; $\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{12}$. De nouveau, la somme est strictement supérieure à la multiplication.
Conclusion : multiplier par une fraction strictement inférieure à $1$ diminue la quantité de départ. C'est l'inverse de l'intuition héritée des entiers (où multiplier rend plus grand). Cette observation prépare la compréhension des opérations sur les nombres décimaux et plus généralement sur les rationnels.
Diviser des fractions
Diviser{,} c'est multiplier par l'inverse
L'inverse d'une fraction $\dfrac{a}{b}$ (avec $a \neq 0$) est la fraction $\dfrac{b}{a}$. Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse. $$ \dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c} = \dfrac{a \times d}{b \times c}. $$
Cas particulier : diviser par un entier $n$ revient à multiplier par $\dfrac{1}{n}$. $$ \dfrac{3}{5} \div 2 = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{10}. $$
Exercice 15 — Donner l'inverse
Donner l'inverse de chacune des fractions ou nombres suivants.
$\dfrac{2}{3}$
$\dfrac{5}{4}$
$7$
$\dfrac{1}{6}$
$\dfrac{9}{10}$
$\dfrac{1}{2}$
▶ Solution — Exercice 15
L'inverse de $\dfrac{2}{3}$ est $\dfrac{3}{2}$.
L'inverse de $\dfrac{5}{4}$ est $\dfrac{4}{5}$.
L'inverse de $7 = \dfrac{7}{1}$ est $\dfrac{1}{7}$.
L'inverse de $\dfrac{1}{6}$ est $\dfrac{6}{1} = 6$.
L'inverse de $\dfrac{9}{10}$ est $\dfrac{10}{9}$.
L'inverse de $\dfrac{1}{2}$ est $2$.
Exercice 16 — Diviser
Effectuer chacun des quotients suivants, en donnant le résultat sous forme irréductible.
Avant de manipuler une fraction, prendre l'habitude de se poser ces cinq questions.
À quel sens fait-on appel ici : partage, quotient, mesure, rapport ?
Quelle est l'unité de référence ? Est-elle la même pour les fractions que je compare ?
Suis-je en train de transposer une intuition héritée des entiers (« plus le dénominateur est grand, plus la fraction est grande ») à un contexte où elle ne tient plus ?
Pour additionner ou soustraire, ai-je bien réduit au même dénominateur ? Suis-je en train d'additionner numérateurs et dénominateurs séparément ?
Mon résultat est-il vraisemblable ? Multiplier par une fraction inférieure à $1$ diminue, additionner deux fractions positives augmente.