La notion de fonction est l'un des objets les plus puissants des mathématiques, mais aussi l'un des plus délicats à conceptualiser. Une fonction n'est pas seulement une formule de calcul : c'est un objet mathématique à part entière, qu'on peut manipuler, comparer, transformer. Elle peut être donnée par un tableau de valeurs, une formule algébrique, une représentation graphique ou une description verbale d'une situation. Ces quatre points de vue désignent le même objet et doivent rester articulés.
Cette fiche aborde les fonctions en partant des confusions les plus fréquentes : on traitera la variable muette (la lettre dans $f(x)$ n'est qu'un emplacement), la distinction entre image et antécédent, l'opposition entre variation (la fonction augmente) et valeur (la fonction est positive), et la circulation entre les trois registres de représentation.
Ce qu'est une fonction
Une fonction associe à chaque entrée une seule sortie
Une fonction $f$ d'un ensemble de départ vers un ensemble d'arrivée associe à chaque élément $x$ du départ un seul élément, noté $f(x)$, de l'arrivée. On dit que $f(x)$ est l'image de $x$ par $f$, et que $x$ est un antécédent de $f(x)$.
Trois points clés.
Chaque entrée $x$ a une et une seule image $f(x)$.
Une même image peut avoir plusieurs antécédents (par exemple, $f(x) = x^2$ a deux antécédents pour $9$ : $3$ et $-3$).
L'image dépend uniquement de la valeur de $x$, jamais de la lettre utilisée pour la noter.
Exercice 1 — Fonction ou pas fonction ?
Pour chacune des correspondances suivantes, dire si elle définit une fonction. Si non, expliquer pourquoi.
À chaque élève d'une classe, on associe sa date de naissance.
À chaque date de naissance, on associe les élèves nés ce jour-là.
À chaque nombre réel $x$, on associe $x^2 + 1$.
À chaque nombre réel positif, on associe les deux nombres dont il est le carré.
▶ Solution — Exercice 1
C'est bien une fonction : chaque élève a une seule date de naissance.
Ce n'est pas une fonction : à une même date peuvent correspondre plusieurs élèves (ou aucun).
C'est une fonction : chaque réel a un seul carré, donc un seul $x^2 + 1$.
Ce n'est pas une fonction : à $4$ correspondraient à la fois $2$ et $-2$, donc deux sorties pour une même entrée.
Les trois registres de représentation
Numérique{,} algébrique{,} graphique
Une même fonction peut être représentée de trois façons complémentaires.
Registre numérique : un tableau de valeurs associant à des entrées $x$ leurs images $f(x)$.
Registre algébrique : une formule comme $f(x) = 2x + 3$, qui permet de calculer l'image de n'importe quel $x$.
Registre graphique : une courbe dans un repère, où chaque point est de coordonnées $(x\,;\,f(x))$.
Maîtriser une fonction, c'est savoir circuler entre ces registres : passer du tableau à la formule, de la formule au graphique, du graphique à la lecture numérique. Chaque registre éclaire un aspect particulier que les autres laissent dans l'ombre.
Exercice 2 — Trois registres pour une même fonction
On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = 2x + 1$.
Compléter le tableau de valeurs ci-dessous.
\hline
$x$
$-2$
$-1$
$0$
$1$
$2$
$3$
\hline
$f(x)$
\hline
Tracer la représentation graphique de $f$ dans un repère, en plaçant les points du tableau.
À l'aide du graphique, lire l'image de $1{,}5$ par $f$.
Vérifier ce résultat par le calcul algébrique.
▶ Solution — Exercice 2
\hline
$x$
$-2$
$-1$
$0$
$1$
$2$
$3$
\hline
$f(x)$
$-3$
$-1$
$1$
$3$
$5$
$7$
\hline
Les points sont alignés : la représentation est une droite.
Sur le graphique, on lit $f(1{,}5) = 4$.
Par le calcul : $f(1{,}5) = 2 \times 1{,}5 + 1 = 4$. ✓
Image et antécédent : deux sens de lecture
Lire dans le bon sens
Une question de vocabulaire à ne jamais confondre.
Calculer l'image d'un nombre $a$, c'est trouver $f(a)$. Sur le graphique, on part de $a$ sur l'axe des abscisses, on monte jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée correspondante.
Trouver les antécédents d'un nombre $b$, c'est trouver tous les $x$ tels que $f(x) = b$. Sur le graphique, on part de $b$ sur l'axe des ordonnées, on se déplace horizontalement jusqu'à rencontrer la courbe, puis on lit la (ou les) abscisse(s) correspondante(s).
L'image est unique ; les antécédents peuvent être multiples (ou inexistants). Lire un antécédent demande un sens de lecture inversé sur le graphique, ce qui est plus difficile que la lecture d'image.
Exercice 3 — Lectures graphiques
On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur $[-3\,;\,4]$.
Lire $f(0)$, $f(2)$ et $f(-2)$.
Trouver les antécédents de $-1$ par $f$.
Trouver les antécédents de $0$ par $f$.
Combien d'antécédents le nombre $4$ admet-il par $f$ ?
▶ Solution — Exercice 3
La fonction représentée est $f(x) = 0{,}5 x^2 - x - 1$.
$f(0) = -1$ ; $f(2) = 0$ ; $f(-2) = 3$ (lectures sur le graphique, confirmées par le calcul).
Pour $f(x) = -1$, on lit deux antécédents : $x = 0$ et $x = 2$.
Pour $f(x) = 0$, on lit deux antécédents (les zéros de la fonction) : environ $x = -0{,}73$ et $x = 2{,}73$.
Pour $f(x) = 4$, on lit deux antécédents (visibles aux extrémités de l'intervalle d'étude) : environ $x = -2{,}5$ et $x = 4$.
Variation et valeur : deux notions distinctes
Quand la fonction « monte » et quand elle est « positive »
Deux confusions à démêler.
Dire qu'une fonction est croissante sur un intervalle, c'est dire que ses valeurs augmentent quand $x$ augmente. Sur le graphique, la courbe monte de gauche à droite.
Dire qu'une fonction est positive sur un intervalle, c'est dire que ses valeurs sont $\geqslant 0$. Sur le graphique, la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses.
Ces deux notions sont indépendantes : une fonction peut être croissante et négative, croissante et positive, décroissante et positive, etc.
Exercice 4 — Démêler variation et signe
On considère la fonction $f$ représentée ci-dessous, définie sur $[-3\,;\,3]$.
La fonction est-elle croissante ou décroissante sur $[-3\,;\,3]$ ?
Donner l'intervalle sur lequel la fonction est négative.
Donner l'intervalle sur lequel la fonction est positive.
Compléter : « Sur l'intervalle $[-3\,;\,0]$, la fonction est … et … ». Choisir parmi croissante, décroissante, positive, négative.
▶ Solution — Exercice 4
La fonction représentée est $f(x) = \dfrac{2}{3}x$.
Croissante sur $[-3\,;\,3]$ (la courbe monte de gauche à droite).
Négative sur $[-3\,;\,0]$ (la courbe est sous l'axe des abscisses).
Positive sur $[0\,;\,3]$ (la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses).
Sur $[-3\,;\,0]$, la fonction est croissante et négative. C'est la situation typique qui montre que les deux notions sont indépendantes.
La variable muette
La lettre n'est qu'un emplacement
Lorsqu'on écrit $f(x) = 2x + 3$, la lettre $x$ ne désigne pas un nombre particulier : elle joue le rôle d'emplacement réservé (en anglais « placeholder »). Si l'on remplace partout $x$ par $t$, ou par $n$, ou par $\heartsuit$, on définit exactement la même fonction. $$ f(x) = 2x + 3 \quad ; \quad f(t) = 2t + 3 \quad ; \quad f(\heartsuit) = 2 \heartsuit + 3. $$ Ce sont trois notations pour la même fonction, parce qu'elles définissent la même règle de calcul.
Le choix de la lettre est purement conventionnel. On utilise souvent $x$ par habitude, $t$ quand la variable représente un temps, $n$ quand elle représente un entier. Mais la fonction reste la même.
Exercice 5 — Reconnaître une même fonction
Parmi les définitions suivantes, regrouper celles qui définissent la même fonction.
$f(x) = 3x - 1$
$g(t) = 3t - 1$
$h(n) = 3n + 1$
$k(\theta) = 3\theta - 1$
$\ell(x) = 1 - 3x$
▶ Solution — Exercice 5
Les fonctions $f$, $g$ et $k$ sont identiques (même règle de calcul, seul le nom de la variable diffère). La fonction $h$ est différente (le terme constant est $+1$ au lieu de $-1$). La fonction $\ell$ est encore différente (les coefficients sont opposés : $\ell(x) = -3x + 1$, alors que $f(x) = 3x - 1$).
Exercice 6 — Calculer dans une fonction
Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = x^2 - 4$.
Calculer $f(3)$, $f(-2)$, $f(0)$.
Calculer $f(t)$ lorsque $t = 5$.
Combien vaut $f(a)$ pour $a = -1$ ?
En quoi le choix de la lettre ($x$, $t$, $a$) modifie-t-il la fonction ?
Le choix de la lettre ne modifie en rien la fonction : c'est seulement le nom donné au nombre que l'on remplace dans la formule.
Co-variation : deux grandeurs qui varient ensemble
Penser la fonction comme un lien dynamique
Avant d'être une formule, une fonction est souvent un lien entre deux grandeurs qui varient ensemble. Quand l'une augmente, l'autre augmente, diminue, ou reste constante. Cette manière de penser, dite de co-variation, prépare la compréhension de la dépendance fonctionnelle.
Quelques exemples : la distance parcourue dépend du temps écoulé ; le prix d'une essence dépend du nombre de litres achetés ; la hauteur de l'eau dans une baignoire dépend de la durée du remplissage.
Exercice 7 — Identifier la grandeur d'entrée
Pour chaque situation, identifier les deux grandeurs en jeu, désigner celle qui dépend de l'autre, et écrire si possible la formule reliant les deux.
Un taxi facture $3 \,\text{\euro}$ de prise en charge et $2 \,\text{\euro}$ par kilomètre.
Un cycliste roule à vitesse constante de $25$ km/h.
Le périmètre d'un carré dépend de la longueur de son côté.
L'aire d'un disque dépend de son rayon.
▶ Solution — Exercice 7
Grandeurs : distance parcourue $d$ (en km) et prix payé $p$ (en euros). Le prix dépend de la distance : $p(d) = 2d + 3$.
Grandeurs : temps écoulé $t$ (en heures) et distance parcourue $d$ (en km). $d(t) = 25t$.
Grandeurs : longueur du côté $c$ et périmètre $P$. $P(c) = 4c$.
Grandeurs : rayon $r$ et aire $A$. $A(r) = \pi r^2$.
Exercice 8 — Lecture d'un graphique de co-variation
Le graphique ci-dessous représente la hauteur de l'eau (en cm) dans un récipient rempli régulièrement, en fonction du temps (en secondes).
Au bout de combien de secondes la hauteur atteint-elle $4$ cm ?
Quelle est la hauteur de l'eau au bout de $6$ secondes ?
Décrire la variation de la hauteur sur les trois phases visibles. Comment expliquer la forme du graphique en termes physiques (par exemple, le récipient n'est-il pas cylindrique) ?
▶ Solution — Exercice 8
La hauteur $4$ cm est atteinte à environ $t = 5{,}6$ s (lecture graphique sur la deuxième phase).
À $t = 6$ s, la hauteur lue est environ $4{,}5$ cm (sur la deuxième phase).
Sur $[0\,;\,4]$, la hauteur monte lentement (pente faible). Sur $[4\,;\,8]$, elle monte plus vite (pente plus forte). Sur $[8\,;\,10]$, elle monte de nouveau lentement. Une explication possible : le récipient s'évase au milieu (la même quantité d'eau remplit moins vite quand la section est plus grande, donc la hauteur monte moins vite à débit constant).
Pour s'auto-évaluer
Cinq questions à se poser
Avant et pendant l'analyse d'une fonction, prendre l'habitude de se poser ces cinq questions.
Cette correspondance est-elle bien une fonction (chaque entrée a-t-elle une seule image) ?
Suis-je en train de calculer une image (entrée donnée, sortie cherchée) ou de chercher un antécédent (sortie donnée, entrée cherchée) ?
La lettre que j'utilise pour la variable change-t-elle vraiment la fonction, ou n'est-elle qu'un nom ?
Quand j'analyse le graphique, est-ce que je parle de variation (sens de la pente) ou de signe (position par rapport à l'axe des abscisses) ?
Mes informations issues du graphique sont-elles cohérentes avec celles que je tirerais du tableau de valeurs ou de la formule ?