La fonction exponentielle décrit toutes les évolutions à vitesse proportionnelle à la quantité présente. Elle est toujours strictement positive et strictement croissante, et elle est égale à sa propre dérivée. La principale difficulté est de manipuler ses propriétés algébriques sans les confondre avec celles des puissances ordinaires, et de bien utiliser la stricte croissance pour résoudre équations et inéquations.
Cette fiche reprend chaque savoir-faire : simplifier une expression, résoudre une équation ou une inéquation, dériver, et modéliser un phénomène d'évolution.
Simplifier avec les propriétés
Les propriétés algébriques
Pour tous réels $a$ et $b$ et tout entier $n$, on utilise les propriétés suivantes :
a) $\mathrm{e}^a \times \mathrm{e}^b = \mathrm{e}^{a+b}$
b) $\dfrac{\mathrm{e}^a}{\mathrm{e}^b} = \mathrm{e}^{a-b}$
Dans un produit ou un quotient, on additionne ou soustrait les exposants ; on ne les multiplie que pour une puissance : $(\mathrm{e}^a)^n = \mathrm{e}^{na}$.
Exercice 1 — Écrire sous la forme $\mathrm{e}^{k}$ ou $\mathrm{e}^{kx}$
La fonction exponentielle est strictement croissante, donc $\mathrm{e}^a = \mathrm{e}^b \iff a = b$. On se ramène ainsi à une équation sur les exposants. Penser aussi à $1 = \mathrm{e}^0$.
Exercice 2 — Résoudre
Résoudre dans $\mathbb{R}$.
$\mathrm{e}^{2x - 1} = \mathrm{e}^{x + 3}$
$\mathrm{e}^{x} = 1$
$\mathrm{e}^{x^2} = \mathrm{e}^{2x + 3}$
▶ Solution — Exercice 2
$\mathrm{e}^{2x - 1} = \mathrm{e}^{x + 3} \iff 2x - 1 = x + 3 \iff x = 4$.
$\mathrm{e}^{x} = \mathrm{e}^{0} \iff x = 0$.
$\mathrm{e}^{x^2} = \mathrm{e}^{2x + 3} \iff x^2 = 2x + 3 \iff x^2 - 2x - 3 = 0$. Le discriminant vaut $\Delta = 4 + 12 = 16$, les racines sont $-1$ et $3$. Donc $S = \{-1 \,;\, 3\}$.
Résoudre des inéquations
La croissance conserve le sens
Comme l'exponentielle est strictement croissante : $\mathrm{e}^a < \mathrm{e}^b \iff a < b$. On résout alors une inéquation du premier degré sur les exposants, sans changer le sens.
Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^x > 0$ : l'exponentielle ne s'annule jamais et ne change pas de signe. Et comme elle est strictement croissante, comparer deux exponentielles revient à comparer leurs exposants.
Exercice 4 — Signe et comparaison
Justifier que l'équation $\mathrm{e}^x = -2$ n'a aucune solution.
Étudier le signe de $\mathrm{e}^{x} - 1$ suivant les valeurs de $x$.
▶ Solution — Exercice 4
Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^x > 0$. Or $-2 < 0$, donc $\mathrm{e}^x = -2$ est impossible : aucune solution.
$\mathrm{e}^{x} \geqslant \mathrm{e}^{-x} \iff x \geqslant -x \iff 2x \geqslant 0 \iff x \geqslant 0$. Solutions : $[0 \,;\, +\infty\mathclose{[}$.
$\mathrm{e}^{x} - 1 > 0 \iff \mathrm{e}^{x} > 1 \iff x > 0$, et de même $\mathrm{e}^{x} - 1 < 0 \iff x < 0$. Le signe de $\mathrm{e}^{x} - 1$ se résume ainsi :
Dériver
Dériver une exponentielle
La fonction exponentielle est égale à sa dérivée : $\left(\mathrm{e}^x\right)' = \mathrm{e}^x$. Plus généralement, $\left(\mathrm{e}^{ax}\right)' = a\,\mathrm{e}^{ax}$. Pour un produit, on applique la formule $(uv)' = u'v + uv'$.
Exercice 5 — Calculer la dérivée
$f(x) = \mathrm{e}^{x}$
$g(x) = \mathrm{e}^{2x}$
$h(x) = x\,\mathrm{e}^{x}$
$k(x) = \mathrm{e}^{-3x}$
▶ Solution — Exercice 5
$f'(x) = \mathrm{e}^{x}$.
$g'(x) = 2\,\mathrm{e}^{2x}$.
Produit avec $u = x$ et $v = \mathrm{e}^x$, donc $u' = 1$ et $v' = \mathrm{e}^x$ : $h'(x) = 1 \times \mathrm{e}^x + x \times \mathrm{e}^x = (1 + x)\,\mathrm{e}^x$.
$k'(x) = -3\,\mathrm{e}^{-3x}$.
Un problème de décroissance
Modéliser une évolution
Une quantité qui diminue à une vitesse proportionnelle à sa valeur se modélise par $\mathrm{e}^{-kt}$ (désintégration, refroidissement, élimination d'un médicament). Comme l'exposant $-kt$ décroît quand $t$ augmente et que l'exponentielle est croissante, la quantité décroît.
Exercice 6 — Désintégration
La masse, en milligrammes, d'un échantillon radioactif est modélisée par $m(t) = 200\,\mathrm{e}^{-0{,}1 t}$, où $t$ est le temps en années.
Calculer la masse initiale $m(0)$.
Calculer $m(10)$ (arrondir au milligramme).
Expliquer pourquoi la masse est strictement décroissante.
Quand $t$ augmente, l'exposant $-0{,}1\,t$ diminue ; or l'exponentielle est strictement croissante, donc $\mathrm{e}^{-0{,}1 t}$ diminue, et $m(t)$ aussi. La masse est donc strictement décroissante.
Pour s'auto-évaluer
Cinq questions à se poser
Avant et pendant un exercice sur l'exponentielle, prendre l'habitude de se poser ces cinq questions.
Pour simplifier, est-ce que j'additionne les exposants (produit) ou les soustrais (quotient), sans jamais les multiplier ?
Pour résoudre $\mathrm{e}^a = \mathrm{e}^b$, ai-je pensé à utiliser la stricte croissance pour passer à $a = b$ ? Et à écrire $1 = \mathrm{e}^0$ si besoin ?
Ai-je en tête que $\mathrm{e}^x$ est toujours strictement positif (une équation $\mathrm{e}^x = $ nombre négatif n'a pas de solution) ?
Pour dériver, ai-je utilisé $\left(\mathrm{e}^{ax}\right)' = a\,\mathrm{e}^{ax}$, et la formule du produit si nécessaire ?
Dans un problème, le signe de la constante $k$ dans $\mathrm{e}^{kt}$ indique-t-il une croissance ($k > 0$) ou une décroissance ($k < 0$) ?