Maîtriser les équations

Trois objets, à ne pas confondre.

• Une expression algébrique comme $3x + 5$ est un nombre dépendant de $x$. Elle se calcule pour chaque valeur de $x$.
• Une égalité algébrique comme $2(x + 3) = 2x + 6$ est vraie pour toutes les valeurs de $x$. C'est une identité.
• Une équation comme $3x + 5 = 20$ est vraie seulement pour certaines valeurs de $x$. Résoudre l'équation, c'est trouver toutes les valeurs qui la rendent vraie. Ces valeurs sont appelées solutions.

Un nombre $a$ est solution d'une équation d'inconnue $x$ s'il vérifie l'égalité lorsqu'on remplace $x$ par $a$. La méthode pour le vérifier est immédiate : on substitue, on calcule séparément les deux membres, et l'on regarde s'ils donnent le même résultat.

Le principe d'équivalence est le c(oe)ur de la résolution des équations. Si l'on effectue la même opération sur les deux membres d'une équation, on obtient une nouvelle équation qui a exactement les mêmes solutions.

Les opérations autorisées sont les suivantes.

• Ajouter (ou soustraire) un même nombre aux deux membres.
• Multiplier (ou diviser) les deux membres par un même nombre non nul.

Image utile : on peut imaginer une balance équilibrée. Si l'on ajoute la même masse des deux côtés, l'équilibre est préservé. C'est cette même idée qui guide la résolution. Mais attention : cette image cesse d'être pertinente dès que des coefficients négatifs apparaissent, parce qu'on ne peut pas représenter une masse négative sur une balance. Dès lors, c'est le principe d'équivalence abstrait qui prend le relais.

Pour résoudre $ax + b = c$, on isole $x$ en deux étapes.

1. On isole le terme contenant $x$ en supprimant le terme indépendant ($-b$ aux deux membres).
2. On isole $x$ en supprimant le coefficient ($\div a$ des deux membres).

Vérification systématique. Une fois la solution trouvée, on la substitue dans l'équation initiale pour s'assurer qu'elle donne bien une égalité vraie. Cette étape n'est pas optionnelle : elle protège des erreurs de signe ou de calcul.

Lorsque l'équation contient des coefficients négatifs, l'image de la balance perd sa pertinence (on ne peut pas mettre une « masse de $-3$ » dans un plateau). C'est alors le principe d'équivalence abstrait qui guide la résolution. Il fonctionne exactement de la même façon : on applique la même opération aux deux membres.

Une étape clé est la division par un nombre négatif, qui change le signe de chaque membre. Par exemple, dans $-3x = 12$, on divise les deux membres par $-3$ : $$ x = \dfrac{12}{-3} = -4. $$ La règle des signes s'applique normalement, comme en calcul numérique.

Lorsqu'une équation contient une fraction, l'astuce consiste à multiplier les deux membres par le dénominateur (ou par un dénominateur commun) afin d'obtenir une équation à coefficients entiers. $$ \dfrac{x}{3} + 2 = 5 \quad \xrightarrow{\times 3} \quad x + 6 = 15 \quad \iff \quad x = 9. $$

Lorsqu'une équation comporte l'inconnue dans les deux membres, comme $5x - 2 = 3x + 8$, l'objectif est de regrouper les termes en $x$ d'un côté (généralement à gauche) et les nombres de l'autre. On applique pour cela le principe d'équivalence : on retranche aux deux membres le terme contenant $x$ qui se trouve à droite. $$ 5x - 2 = 3x + 8 \quad \xrightarrow{-3x} \quad 2x - 2 = 8 \quad \iff \quad 2x = 10 \quad \iff \quad x = 5. $$

Pièges fréquents.

• L'élève qui « change de côté, change de signe » sans réfléchir oublie souvent de l'appliquer aux deux côtés à la fois, ce qui produit des erreurs.
• Si le coefficient en $x$ devient négatif après regroupement, il faut diviser par ce coefficient en respectant la règle des signes.

Pour résoudre un problème par mise en équation, on procède en quatre étapes.

1. Choisir l'inconnue : on identifie la grandeur cherchée et on la note par une lettre.
2. Traduire l'énoncé : on exprime les autres grandeurs en fonction de cette inconnue.
3. Écrire l'équation : on traduit en égalité l'information clé du problème.
4. Résoudre, vérifier, conclure : on résout, on vérifie que la solution a un sens dans le contexte, et on rédige la conclusion.

Avant et pendant la résolution d'une équation, prendre l'habitude de se poser ces cinq questions.

• Suis-je face à une équation (à résoudre pour trouver les solutions) ou à une identité algébrique (vraie pour tout $x$) ?
• À chaque étape, quelle opération est-ce que j'applique ? L'ai-je bien appliquée aux deux membres de l'égalité ?
• Lorsque je divise par le coefficient de $x$, ai-je correctement géré son signe ?
• Ai-je vérifié ma solution en la substituant dans l'équation initiale ?
• Si l'équation vient d'un problème, la valeur trouvée a-t-elle un sens dans le contexte (positive si c'est une longueur, entière si c'est un effectif, etc.) ?