Attention : le signe $=$ dans une équation ne signifie pas « donne le résultat ». Il signifie que les deux membres ont la même valeur. C'est une balance en équilibre.
Pour vérifier si un nombre est solution d'une équation, on remplace l'inconnue par ce nombre dans chaque membre et on compare les résultats.
Le nombre $4$ est-il solution de $2x + 3 = 11$ ?
$$\begin{aligned}\text{Membre de gauche~:}&\quad 2 \times \boldsymbol{4} + 3 = 8 + 3 = 11 \\ \text{Membre de droite~:}&\quad 11\end{aligned}$$
On obtient $11 = 11$ : les deux membres sont égaux, donc $x = 4$ est solution.
Le nombre $3$ est-il solution de $5x - 1 = 2x + 7$ ?
$$\begin{aligned}\text{Membre de gauche~:}\quad 5 \times \boldsymbol{3} - 1 &= 15 - 1 = 14 \\ \text{Membre de droite~:}\quad 2 \times \boldsymbol{3} + 7 &= 6 + 7 = 13\end{aligned}$$
On obtient $14 \neq 13$ : les deux membres ne sont pas égaux, donc $x = 3$ n'est pas solution.
Le nombre $-2$ est-il solution de $x^2 + x = 2$ ?
$$\begin{aligned}\text{Membre de gauche~:}&\quad \boldsymbol{(-2)}^2 + \boldsymbol{(-2)} = 4 - 2 = 2 \\ \text{Membre de droite~:}&\quad 2\end{aligned}$$
On obtient $2 = 2$, donc $x = -2$ est solution.
Vérifier une solution est une compétence essentielle : elle permet de contrôler son travail et de repérer ses erreurs. Il faut toujours vérifier en remplaçant dans l'équation de départ.
Pour chaque équation, dire si la valeur proposée est solution :
Pour résoudre une équation, on utilise le principe d'équivalence :
On peut effectuer la même opération des deux côtés du signe $=$ sans changer la solution.
Concrètement :
L'objectif est d'isoler $x$ d'un côté du signe $=$.
Résoudre $x + 7 = 12$ :
$$\begin{aligned}x + 7 &= 12 \\ x + 7 \boldsymbol{- 7} &= 12 \boldsymbol{- 7} & \text{(on soustrait $7$ des deux côtés)} \\ x &= 5\end{aligned}$$
Vérification : $5 + 7 = 12$. ✓
Résoudre $3x = 18$ :
$$\begin{aligned}3x &= 18 \\ \dfrac{3x}{\boldsymbol{3}} &= \dfrac{18}{\boldsymbol{3}} & \text{(on divise les deux côtés par $3$)} \\[6pt] x &= 6\end{aligned}$$
Vérification : $3 \times 6 = 18$. ✓
Attention : « changer de côté, changer de signe » est un raccourci qui fonctionne, mais il cache le raisonnement. On recommande de toujours écrire l'opération effectuée des deux côtés, au moins dans un premier temps.
Résoudre chaque équation (une seule opération suffit) :
$x + 5 = 9$ :
$$\begin{aligned}x + 5 - 5 &= 9 - 5 & \text{(on soustrait $5$ des deux côtés)} \\ x &= 4\end{aligned}$$
Vérification : $4 + 5 = 9$. ✓
$x - 3 = 7$ :
$$\begin{aligned}x - 3 + 3 &= 7 + 3 & \text{(on ajoute $3$ des deux côtés)} \\ x &= 10\end{aligned}$$
Vérification : $10 - 3 = 7$. ✓
$4x = 20$ :
$$\begin{aligned}\dfrac{4x}{4} &= \dfrac{20}{4} & \text{(on divise les deux côtés par $4$)} \\[6pt] x &= 5\end{aligned}$$
Vérification : $4 \times 5 = 20$. ✓
$x + 12 = 4$ :
$$\begin{aligned}x + 12 - 12 &= 4 - 12 & \text{(on soustrait $12$ des deux côtés)} \\ x &= -8\end{aligned}$$
Vérification : $-8 + 12 = 4$. ✓
$-2x = 10$ :
$$\begin{aligned}\dfrac{-2x}{-2} &= \dfrac{10}{-2} & \text{(on divise les deux côtés par $-2$)} \\[6pt] x &= -5\end{aligned}$$
Vérification : $-2 \times (-5) = 10$. ✓
$\dfrac{x}{3} = 5$ :
$$\begin{aligned}\dfrac{x}{3} \times 3 &= 5 \times 3 & \text{(on multiplie les deux côtés par $3$)} \\[6pt] x &= 15\end{aligned}$$
Vérification : $\dfrac{15}{3} = 5$. ✓
Pour résoudre une équation de la forme $ax + b = c$, on procède en deux étapes :
Résoudre $3x + 5 = 20$ :
$$\begin{aligned}3x + 5 &= 20 \\ 3x + 5 \boldsymbol{- 5} &= 20 \boldsymbol{- 5} & \text{(on soustrait $5$)} \\ 3x &= 15 \\ \dfrac{3x}{\boldsymbol{3}} &= \dfrac{15}{\boldsymbol{3}} & \text{(on divise par $3$)} \\[6pt] x &= 5\end{aligned}$$
Vérification : $3 \times 5 + 5 = 15 + 5 = 20$. ✓
Résoudre $4x - 7 = 13$ :
$$\begin{aligned}4x - 7 &= 13 \\ 4x - 7 \boldsymbol{+ 7} &= 13 \boldsymbol{+ 7} & \text{(on ajoute $7$)} \\ 4x &= 20 \\ x &= \dfrac{20}{4} = 5 & \text{(on divise par $4$)}\end{aligned}$$
Vérification : $4 \times 5 - 7 = 20 - 7 = 13$. ✓
Résoudre $-2x + 9 = 3$ :
$$\begin{aligned}-2x + 9 &= 3 \\ -2x + 9 \boldsymbol{- 9} &= 3 \boldsymbol{- 9} & \text{(on soustrait $9$)} \\ -2x &= -6 \\ x &= \dfrac{-6}{-2} = 3 & \text{(on divise par $-2$)}\end{aligned}$$
Vérification : $-2 \times 3 + 9 = -6 + 9 = 3$. ✓
Résoudre chaque équation et vérifier la solution :
$2x + 3 = 11$ :
$$\begin{aligned}2x + 3 - 3 &= 11 - 3 & \text{(on soustrait $3$)} \\ 2x &= 8 \\ x &= \dfrac{8}{2} = 4 & \text{(on divise par $2$)}\end{aligned}$$
Vérification : $2 \times 4 + 3 = 11$. ✓
$5x - 4 = 16$ :
$$\begin{aligned}5x - 4 + 4 &= 16 + 4 & \text{(on ajoute $4$)} \\ 5x &= 20 \\ x &= \dfrac{20}{5} = 4 & \text{(on divise par $5$)}\end{aligned}$$
Vérification : $5 \times 4 - 4 = 16$. ✓
$7x + 2 = -12$ :
$$\begin{aligned}7x + 2 - 2 &= -12 - 2 & \text{(on soustrait $2$)} \\ 7x &= -14 \\ x &= \dfrac{-14}{7} = -2 & \text{(on divise par $7$)}\end{aligned}$$
Vérification : $7 \times (-2) + 2 = -14 + 2 = -12$. ✓
$-3x + 1 = 10$ :
$$\begin{aligned}-3x + 1 - 1 &= 10 - 1 & \text{(on soustrait $1$)} \\ -3x &= 9 \\ x &= \dfrac{9}{-3} = -3 & \text{(on divise par $-3$)}\end{aligned}$$
Vérification : $-3 \times (-3) + 1 = 9 + 1 = 10$. ✓
$6x - 5 = -23$ :
$$\begin{aligned}6x - 5 + 5 &= -23 + 5 & \text{(on ajoute $5$)} \\ 6x &= -18 \\ x &= \dfrac{-18}{6} = -3 & \text{(on divise par $6$)}\end{aligned}$$
Vérification : $6 \times (-3) - 5 = -18 - 5 = -23$. ✓
$-4x - 3 = 9$ :
$$\begin{aligned}-4x - 3 + 3 &= 9 + 3 & \text{(on ajoute $3$)} \\ -4x &= 12 \\ x &= \dfrac{12}{-4} = -3 & \text{(on divise par $-4$)}\end{aligned}$$
Vérification : $-4 \times (-3) - 3 = 12 - 3 = 9$. ✓
$\dfrac{x}{2} + 3 = 7$ :
$$\begin{aligned}\dfrac{x}{2} + 3 - 3 &= 7 - 3 & \text{(on soustrait $3$)} \\[6pt] \dfrac{x}{2} &= 4 \\[6pt] x &= 4 \times 2 = 8 & \text{(on multiplie par $2$)}\end{aligned}$$
Vérification : $\dfrac{8}{2} + 3 = 4 + 3 = 7$. ✓
$\dfrac{x}{5} - 1 = 3$ :
$$\begin{aligned}\dfrac{x}{5} - 1 + 1 &= 3 + 1 & \text{(on ajoute $1$)} \\[6pt] \dfrac{x}{5} &= 4 \\[6pt] x &= 4 \times 5 = 20 & \text{(on multiplie par $5$)}\end{aligned}$$
Vérification : $\dfrac{20}{5} - 1 = 4 - 1 = 3$. ✓
Quand l'inconnue $x$ apparaît des deux côtés, on regroupe d'abord les termes en $x$ d'un côté et les termes constants de l'autre.
Méthode :
Résoudre $5x + 3 = 2x + 15$ :
$$\begin{aligned}5x + 3 &= 2x + 15 \\ 5x + 3 \boldsymbol{- 2x} &= 2x + 15 \boldsymbol{- 2x} & \text{(on soustrait $2x$ des deux côtés)} \\ 3x + 3 &= 15 \\ 3x + 3 \boldsymbol{- 3} &= 15 \boldsymbol{- 3} & \text{(on soustrait $3$)} \\ 3x &= 12 \\ x &= \dfrac{12}{3} = 4 & \text{(on divise par $3$)}\end{aligned}$$
Vérification : $5 \times 4 + 3 = 23$ et $2 \times 4 + 15 = 23$. ✓
Résoudre $7x - 2 = 3x + 10$ :
$$\begin{aligned}7x - 2 &= 3x + 10 \\ 7x - 2 - 3x &= 3x + 10 - 3x & \text{(on soustrait $3x$)} \\ 4x - 2 &= 10 \\ 4x &= 12 & \text{(on ajoute $2$)} \\ x &= 3 & \text{(on divise par $4$)}\end{aligned}$$
Vérification : $7 \times 3 - 2 = 19$ et $3 \times 3 + 10 = 19$. ✓
Résoudre $2x + 9 = 5x - 6$ :
$$\begin{aligned}2x + 9 &= 5x - 6 \\ 2x + 9 - 2x &= 5x - 6 - 2x & \text{(on soustrait $2x$)} \\ 9 &= 3x - 6 \\ 9 + 6 &= 3x & \text{(on ajoute $6$)} \\ 15 &= 3x \\ x &= 5 & \text{(on divise par $3$)}\end{aligned}$$
Vérification : $2 \times 5 + 9 = 19$ et $5 \times 5 - 6 = 19$. ✓
Cas particuliers : il arrive que les termes en $x$ s'annulent des deux côtés.
Résoudre chaque équation et vérifier la solution :
$4x + 1 = 2x + 9$ :
$$\begin{aligned}4x + 1 - 2x &= 2x + 9 - 2x & \text{(on soustrait $2x$)} \\ 2x + 1 &= 9 \\ 2x &= 8 & \text{(on soustrait $1$)} \\ x &= 4 & \text{(on divise par $2$)}\end{aligned}$$
Vérification : $4 \times 4 + 1 = 17$ et $2 \times 4 + 9 = 17$. ✓
$6x - 5 = 3x + 7$ :
$$\begin{aligned}6x - 5 - 3x &= 3x + 7 - 3x & \text{(on soustrait $3x$)} \\ 3x - 5 &= 7 \\ 3x &= 12 & \text{(on ajoute $5$)} \\ x &= 4 & \text{(on divise par $3$)}\end{aligned}$$
Vérification : $6 \times 4 - 5 = 19$ et $3 \times 4 + 7 = 19$. ✓
$3x + 8 = 7x - 4$ :
$$\begin{aligned}3x + 8 - 3x &= 7x - 4 - 3x & \text{(on soustrait $3x$)} \\ 8 &= 4x - 4 \\ 12 &= 4x & \text{(on ajoute $4$)} \\ x &= 3 & \text{(on divise par $4$)}\end{aligned}$$
Vérification : $3 \times 3 + 8 = 17$ et $7 \times 3 - 4 = 17$. ✓
$9x - 1 = 4x + 14$ :
$$\begin{aligned}9x - 1 - 4x &= 4x + 14 - 4x & \text{(on soustrait $4x$)} \\ 5x - 1 &= 14 \\ 5x &= 15 & \text{(on ajoute $1$)} \\ x &= 3 & \text{(on divise par $5$)}\end{aligned}$$
Vérification : $9 \times 3 - 1 = 26$ et $4 \times 3 + 14 = 26$. ✓
$2x + 11 = 8x - 1$ :
$$\begin{aligned}2x + 11 - 2x &= 8x - 1 - 2x & \text{(on soustrait $2x$)} \\ 11 &= 6x - 1 \\ 12 &= 6x & \text{(on ajoute $1$)} \\ x &= 2 & \text{(on divise par $6$)}\end{aligned}$$
Vérification : $2 \times 2 + 11 = 15$ et $8 \times 2 - 1 = 15$. ✓
$x + 15 = 5x - 1$ :
$$\begin{aligned}x + 15 - x &= 5x - 1 - x & \text{(on soustrait $x$)} \\ 15 &= 4x - 1 \\ 16 &= 4x & \text{(on ajoute $1$)} \\ x &= 4 & \text{(on divise par $4$)}\end{aligned}$$
Vérification : $4 + 15 = 19$ et $5 \times 4 - 1 = 19$. ✓
Quand une équation contient des parenthèses, on développe d'abord, puis on résout comme précédemment.
Résoudre $3(x + 2) = 21$ :
$$\begin{aligned}3(x + 2) &= 21 \\ 3x + 6 &= 21 & \text{(on développe)} \\ 3x &= 15 & \text{(on soustrait $6$)} \\ x &= 5 & \text{(on divise par $3$)}\end{aligned}$$
Vérification : $3(5 + 2) = 3 \times 7 = 21$. ✓
Résoudre $2(3x - 1) = 4x + 6$ :
$$\begin{aligned}2(3x - 1) &= 4x + 6 \\ 6x - 2 &= 4x + 6 & \text{(on développe)} \\ 6x - 2 - 4x &= 4x + 6 - 4x & \text{(on soustrait $4x$)} \\ 2x - 2 &= 6 \\ 2x &= 8 & \text{(on ajoute $2$)} \\ x &= 4 & \text{(on divise par $2$)}\end{aligned}$$
Vérification : $2(3 \times 4 - 1) = 2 \times 11 = 22$ et $4 \times 4 + 6 = 22$. ✓
Résoudre $5(x + 1) - 3(x - 2) = 15$ :
$$\begin{aligned}5(x + 1) - 3(x - 2) &= 15 \\ 5x + 5 - 3x + 6 &= 15 & \text{(on développe~; attention au signe $-$ devant $3$)} \\ 2x + 11 &= 15 & \text{(on réduit)} \\ 2x &= 4 & \text{(on soustrait $11$)} \\ x &= 2 & \text{(on divise par $2$)}\end{aligned}$$
Vérification : $5(2 + 1) - 3(2 - 2) = 15 - 0 = 15$. ✓
Résoudre chaque équation et vérifier la solution :
$2(x + 5) = 16$ :
$$\begin{aligned}2x + 10 &= 16 & \text{(on développe)} \\ 2x &= 6 & \text{(on soustrait $10$)} \\ x &= 3 & \text{(on divise par $2$)}\end{aligned}$$
Vérification : $2(3 + 5) = 2 \times 8 = 16$. ✓
$4(x - 3) = 2x + 2$ :
$$\begin{aligned}4x - 12 &= 2x + 2 & \text{(on développe)} \\ 4x - 12 - 2x &= 2x + 2 - 2x & \text{(on soustrait $2x$)} \\ 2x - 12 &= 2 \\ 2x &= 14 & \text{(on ajoute $12$)} \\ x &= 7 & \text{(on divise par $2$)}\end{aligned}$$
Vérification : $4(7 - 3) = 16$ et $2 \times 7 + 2 = 16$. ✓
$3(2x + 1) = 5x + 7$ :
$$\begin{aligned}6x + 3 &= 5x + 7 & \text{(on développe)} \\ 6x + 3 - 5x &= 5x + 7 - 5x & \text{(on soustrait $5x$)} \\ x + 3 &= 7 \\ x &= 4 & \text{(on soustrait $3$)}\end{aligned}$$
Vérification : $3(2 \times 4 + 1) = 3 \times 9 = 27$ et $5 \times 4 + 7 = 27$. ✓
$5(x - 2) - 2(x + 1) = 5$ :
$$\begin{aligned}5x - 10 - 2x - 2 &= 5 & \text{(on développe)} \\ 3x - 12 &= 5 & \text{(on réduit)} \\ 3x &= 17 & \text{(on ajoute $12$)} \\ x &= \dfrac{17}{3} & \text{(on divise par $3$)}\end{aligned}$$
Vérification : $5\!\left(\dfrac{17}{3} - 2\right) - 2\!\left(\dfrac{17}{3} + 1\right) = 5 \times \dfrac{11}{3} - 2 \times \dfrac{20}{3} = \dfrac{55}{3} - \dfrac{40}{3} = \dfrac{15}{3} = 5$. ✓
$-(x - 4) = 2x + 1$ :
$$\begin{aligned}-x + 4 &= 2x + 1 & \text{(on développe~: distribuer $-1$)} \\ -x + 4 - 2x &= 2x + 1 - 2x & \text{(on soustrait $2x$)} \\ -3x + 4 &= 1 \\ -3x &= -3 & \text{(on soustrait $4$)} \\ x &= 1 & \text{(on divise par $-3$)}\end{aligned}$$
Vérification : $-(1 - 4) = -(-3) = 3$ et $2 \times 1 + 1 = 3$. ✓
$3(x + 4) - (2x - 5) = 20$ :
$$\begin{aligned}3x + 12 - 2x + 5 &= 20 & \text{(on développe)} \\ x + 17 &= 20 & \text{(on réduit)} \\ x &= 3 & \text{(on soustrait $17$)}\end{aligned}$$
Vérification : $3(3 + 4) - (2 \times 3 - 5) = 21 - 1 = 20$. ✓
La solution d'une équation n'est pas toujours un nombre entier. Si la division ne « tombe pas juste », on laisse le résultat sous forme de fraction irréductible.
Résoudre $5x + 2 = 9$ :
$$\begin{aligned}5x + 2 &= 9 \\ 5x &= 7 & \text{(on soustrait $2$)} \\ x &= \dfrac{7}{5} & \text{(on divise par $5$)}\end{aligned}$$
Vérification : $5 \times \dfrac{7}{5} + 2 = 7 + 2 = 9$. ✓
Résoudre $4x + 1 = 3x + 5$ :
$$\begin{aligned}4x + 1 - 3x &= 3x + 5 - 3x & \text{(on soustrait $3x$)} \\ x + 1 &= 5 \\ x &= 4\end{aligned}$$
(Ici la solution est entière, cela peut arriver même avec des coefficients plus grands.)
Résoudre $3x - 4 = x + 5$ :
$$\begin{aligned}3x - 4 - x &= x + 5 - x & \text{(on soustrait $x$)} \\ 2x - 4 &= 5 \\ 2x &= 9 & \text{(on ajoute $4$)} \\ x &= \dfrac{9}{2} & \text{(on divise par $2$)}\end{aligned}$$
Vérification : $3 \times \dfrac{9}{2} - 4 = \dfrac{27}{2} - \dfrac{8}{2} = \dfrac{19}{2}$ et $\dfrac{9}{2} + 5 = \dfrac{9}{2} + \dfrac{10}{2} = \dfrac{19}{2}$. ✓
Un résultat fractionnaire n'est pas une erreur ! Les élèves veulent souvent un nombre entier et arrondissent ou modifient leur calcul. Il faut résister à cette tentation et vérifier la fraction dans l'équation de départ.
Résoudre chaque équation (la solution n'est pas toujours entière) :
$3x + 1 = 8$ :
$$\begin{aligned}3x &= 7 & \text{(on soustrait $1$)} \\ x &= \dfrac{7}{3} & \text{(on divise par $3$)}\end{aligned}$$
Vérification : $3 \times \dfrac{7}{3} + 1 = 7 + 1 = 8$. ✓
$7x - 2 = 4x + 5$ :
$$\begin{aligned}7x - 2 - 4x &= 4x + 5 - 4x & \text{(on soustrait $4x$)} \\ 3x - 2 &= 5 \\ 3x &= 7 & \text{(on ajoute $2$)} \\ x &= \dfrac{7}{3} & \text{(on divise par $3$)}\end{aligned}$$
Vérification : $7 \times \dfrac{7}{3} - 2 = \dfrac{49}{3} - \dfrac{6}{3} = \dfrac{43}{3}$ et $4 \times \dfrac{7}{3} + 5 = \dfrac{28}{3} + \dfrac{15}{3} = \dfrac{43}{3}$. ✓
$2x + 3 = 10$ :
$$\begin{aligned}2x &= 7 & \text{(on soustrait $3$)} \\ x &= \dfrac{7}{2} & \text{(on divise par $2$)}\end{aligned}$$
Vérification : $2 \times \dfrac{7}{2} + 3 = 7 + 3 = 10$. ✓
$5x - 1 = 2x + 8$ :
$$\begin{aligned}5x - 1 - 2x &= 2x + 8 - 2x & \text{(on soustrait $2x$)} \\ 3x - 1 &= 8 \\ 3x &= 9 & \text{(on ajoute $1$)} \\ x &= 3 & \text{(on divise par $3$)}\end{aligned}$$
Vérification : $5 \times 3 - 1 = 14$ et $2 \times 3 + 8 = 14$. ✓
$4(x - 1) = 3x + 2$ :
$$\begin{aligned}4x - 4 &= 3x + 2 & \text{(on développe)} \\ 4x - 4 - 3x &= 3x + 2 - 3x & \text{(on soustrait $3x$)} \\ x - 4 &= 2 \\ x &= 6 & \text{(on ajoute $4$)}\end{aligned}$$
Vérification : $4(6 - 1) = 20$ et $3 \times 6 + 2 = 20$. ✓
$6x + 5 = 4x + 12$ :
$$\begin{aligned}6x + 5 - 4x &= 4x + 12 - 4x & \text{(on soustrait $4x$)} \\ 2x + 5 &= 12 \\ 2x &= 7 & \text{(on soustrait $5$)} \\ x &= \dfrac{7}{2} & \text{(on divise par $2$)}\end{aligned}$$
Vérification : $6 \times \dfrac{7}{2} + 5 = 21 + 5 = 26$ et $4 \times \dfrac{7}{2} + 12 = 14 + 12 = 26$. ✓
La mise en équation est l'utilisation la plus concrète des équations : on traduit un problème en langage mathématique. La méthode est la suivante.
« Un nombre augmenté de $8$ est égal au triple de ce nombre. »
On note $x$ le nombre cherché. L'équation est : $$x + 8 = 3x$$ Résolution :
$$\begin{aligned}x + 8 - x &= 3x - x \\ 8 &= 2x \\ x &= 4\end{aligned}$$
Vérification : $4 + 8 = 12$ et $3 \times 4 = 12$. ✓ Le nombre cherché est $4$.
« Dans un rectangle, la longueur mesure $3$ cm de plus que la largeur. Le périmètre est $26$ cm. Quelles sont les dimensions du rectangle ? »
On note $x$ la largeur (en cm). La longueur est $x + 3$. Le périmètre est : $$2x + 2(x + 3) = 26$$ Résolution :
$$\begin{aligned}2x + 2x + 6 &= 26 & \text{(on développe)} \\ 4x + 6 &= 26 & \text{(on réduit)} \\ 4x &= 20 & \text{(on soustrait $6$)} \\ x &= 5 & \text{(on divise par $4$)}\end{aligned}$$
La largeur est $5$ cm et la longueur est $5 + 3 = 8$ cm.
Vérification : périmètre $= 2 \times 5 + 2 \times 8 = 10 + 16 = 26$ cm. ✓
Pour chaque problème, poser l'équation, la résoudre et vérifier :
On note $x$ le nombre cherché. Le double diminué de $5$ donne $2x - 5$, et cela est égal à $13$ : $$2x - 5 = 13$$
$$\begin{aligned}2x &= 18 & \text{(on ajoute $5$)} \\ x &= 9 & \text{(on divise par $2$)}\end{aligned}$$
Vérification : $2 \times 9 - 5 = 18 - 5 = 13$. ✓ Le nombre cherché est $9$.
On note $x$ le plus petit des trois nombres consécutifs. Les trois nombres sont $x$, $x + 1$ et $x + 2$. $$x + (x + 1) + (x + 2) = 72$$
$$\begin{aligned}3x + 3 &= 72 & \text{(on réduit)} \\ 3x &= 69 & \text{(on soustrait $3$)} \\ x &= 23 & \text{(on divise par $3$)}\end{aligned}$$
Les trois nombres sont $23$, $24$ et $25$.
Vérification : $23 + 24 + 25 = 72$. ✓
On note $x$ l'âge actuel du fils (en années). L'âge du père est $x + 30$.
Dans $5$ ans, le fils aura $x + 5$ ans et le père aura $x + 30 + 5 = x + 35$ ans. La condition est : $$x + 35 = 3(x + 5)$$
$$\begin{aligned}x + 35 &= 3x + 15 & \text{(on développe)} \\ x + 35 - x &= 3x + 15 - x & \text{(on soustrait $x$)} \\ 35 &= 2x + 15 \\ 20 &= 2x & \text{(on soustrait $15$)} \\ x &= 10\end{aligned}$$
Le fils a $10$ ans et le père a $40$ ans.
Vérification : dans $5$ ans, le fils aura $15$ ans et le père $45$ ans. Or $3 \times 15 = 45$. ✓
On note $x$ le prix initial (en euros). Le prix réduit est $x - 15$, et il vaut $\dfrac{2}{3}$ du prix initial : $$x - 15 = \dfrac{2}{3}x$$
$$\begin{aligned}x - 15 - \dfrac{2}{3}x &= 0 & \text{(on soustrait $\dfrac{2}{3}x$)} \\[6pt] \dfrac{1}{3}x - 15 &= 0 & \text{(car $x - \dfrac{2}{3}x = \dfrac{1}{3}x$)} \\[6pt] \dfrac{1}{3}x &= 15 & \text{(on ajoute $15$)} \\[6pt] x &= 45 & \text{(on multiplie par $3$)}\end{aligned}$$
Le prix initial était $45$ \euro.
Vérification : $45 - 15 = 30$ et $\dfrac{2}{3} \times 45 = 30$. ✓
| Erreur | Exemple faux | Correction |
|---|---|---|
| Opérer sur un seul membre | $3x + 5 = 20$ donne $3x = 20 + 5 = 25$ | $3x + 5 = 20$ donne $3x = 20 - 5 = 15$ (on soustrait $5$ des deux côtés) |
| Changer de côté sans changer de signe | $x + 7 = 12$ donne $x = 12 + 7$ | $x + 7 = 12$ donne $x = 12 - 7 = 5$ |
| Diviser par le coefficient en oubliant un signe | $-2x = 8$ donne $x = 4$ | $-2x = 8$ donne $x = \dfrac{8}{-2} = -4$ |
| Oublier de développer avant de résoudre | $2(x + 3) = 10$ donne $x + 3 = 5$ | On développe d'abord : $2x + 6 = 10$, puis $2x = 4$, $x = 2$ |
| Confondre solution et calcul | « $x = 3 \times 5 + 2 = 17$ » | $x$ est l'inconnue, pas le résultat d'un calcul. On écrit $x = 17$ à la fin |
| Ne pas vérifier | On trouve $x = 3$ et on ne vérifie pas | On remplace dans l'équation de départ pour confirmer |
Résoudre chaque équation. Attention : les types sont mélangés.
$7x - 3 = 25$ : (type $ax + b = c$)
$$\begin{aligned}7x &= 28 & \text{(on ajoute $3$)} \\ x &= 4 & \text{(on divise par $7$)}\end{aligned}$$
Vérification : $7 \times 4 - 3 = 25$. ✓
$4(x + 2) = 3x + 11$ : (parenthèses + $x$ des deux côtés)
$$\begin{aligned}4x + 8 &= 3x + 11 & \text{(on développe)} \\ 4x + 8 - 3x &= 3x + 11 - 3x & \text{(on soustrait $3x$)} \\ x + 8 &= 11 \\ x &= 3 & \text{(on soustrait $8$)}\end{aligned}$$
Vérification : $4(3 + 2) = 20$ et $3 \times 3 + 11 = 20$. ✓
$5x + 1 = 5x + 1$ : (cas particulier : identité)
$$\begin{aligned}5x + 1 - 5x &= 5x + 1 - 5x & \text{(on soustrait $5x$)} \\ 1 &= 1\end{aligned}$$
On obtient une égalité toujours vraie : tout nombre est solution. L'équation a une infinité de solutions.
$2x - 9 = 6x + 3$ : ($x$ des deux côtés, solution négative)
$$\begin{aligned}2x - 9 - 6x &= 6x + 3 - 6x & \text{(on soustrait $6x$)} \\ -4x - 9 &= 3 \\ -4x &= 12 & \text{(on ajoute $9$)} \\ x &= \dfrac{12}{-4} = -3 & \text{(on divise par $-4$)}\end{aligned}$$
Vérification : $2 \times (-3) - 9 = -6 - 9 = -15$ et $6 \times (-3) + 3 = -18 + 3 = -15$. ✓
$3(2x - 5) - (x + 1) = 2(x + 3)$ : (plusieurs parenthèses)
$$\begin{aligned}6x - 15 - x - 1 &= 2x + 6 & \text{(on développe)} \\ 5x - 16 &= 2x + 6 & \text{(on réduit)} \\ 5x - 16 - 2x &= 2x + 6 - 2x & \text{(on soustrait $2x$)} \\ 3x - 16 &= 6 \\ 3x &= 22 & \text{(on ajoute $16$)} \\ x &= \dfrac{22}{3} & \text{(on divise par $3$)}\end{aligned}$$
Vérification : $3\!\left(2 \times \dfrac{22}{3} - 5\right) - \left(\dfrac{22}{3} + 1\right) = 3 \times \dfrac{29}{3} - \dfrac{25}{3} = 29 - \dfrac{25}{3} = \dfrac{62}{3}$ et $2\!\left(\dfrac{22}{3} + 3\right) = 2 \times \dfrac{31}{3} = \dfrac{62}{3}$. ✓
$\dfrac{x}{4} + 5 = 8$ : (fraction)
$$\begin{aligned}\dfrac{x}{4} + 5 - 5 &= 8 - 5 & \text{(on soustrait $5$)} \\[6pt] \dfrac{x}{4} &= 3 \\[6pt] x &= 3 \times 4 = 12 & \text{(on multiplie par $4$)}\end{aligned}$$
Vérification : $\dfrac{12}{4} + 5 = 3 + 5 = 8$. ✓
Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse et justifier :
Tu bloques sur un exercice ? Consulte la fiche Que faire quand je bloque ?
Tu veux retenir durablement ces méthodes ? Consulte la fiche Mémorisation et sciences cognitives.
Tu fais souvent les mêmes erreurs ? Remplis ton Carnet d'erreurs.