Le calcul littéral consiste à effectuer des calculs avec des nombres et des lettres. C'est le langage de l'algèbre : il permet de traduire des situations, de démontrer des propriétés et de résoudre des problèmes. Pourtant, il est l'une des premières causes de décrochage en mathématiques au collège. La difficulté vient souvent d'un malentendu fondamental : les élèves traitent les lettres comme des étiquettes (« $a$ = une pomme ») au lieu de comprendre qu'une lettre représente un nombre.
Vocabulaire (5e)
Expression littérale :
expression mathématique contenant au moins une lettre qui représente un nombre. Exemples : $3x + 5$ ; $2a - 7b + 1$ ; $x^2 + 3x$.
Variable :
la lettre qui représente un nombre dont on ne connaît pas (encore) la valeur. Dans $3x + 5$, la variable est $x$.
Terme :
chaque morceau d'une expression séparé par un $+$ ou un $-$. Dans $3x + 5$, les termes sont $3x$ et $5$.
Coefficient :
le nombre qui multiplie la variable dans un terme. Dans $3x$, le coefficient de $x$ est $3$. Dans $x$ tout seul, le coefficient est $1$ (car $x = 1 \times x$). Dans $-x$, le coefficient est $-1$.
Terme constant :
un terme sans variable (un nombre seul). Dans $3x + 5$, le terme constant est $5$.
Attention : une lettre représente un nombre, pas un objet. Écrire « $3a$ signifie 3 pommes » est un raccourci dangereux qui empêche de comprendre pourquoi $a + a = 2a$ et non $a^2$.
Autre piège courant : deux lettres différentes peuvent représenter le même nombre. Si $a + b = 10$, il est tout à fait possible que $a = 5$ et $b = 5$.
Conventions d'écriture (5e)
En algèbre, on adopte des conventions pour simplifier l'écriture. Ces conventions ne changent rien au calcul, mais il faut les connaître pour lire et écrire les expressions correctement.
Règle
Exemple
On supprime le signe $\times$ devant une lettre ou une parenthèse.
$3 \times x = 3x$
$5 \times (x + 1) = 5(x + 1)$
$a \times b = ab$
On écrit le nombre avant la lettre.
$x \times 3 = 3x$
(et non $x3$)
On n'écrit pas le coefficient $1$.
$1 \times x = x$ (et non $1x$)
$1 \times x^2 = x^2$
On écrit $-x$ au lieu de $-1 \times x$.
$-1 \times x = -x$
$-1 \times (x + 3) = -(x + 3)$
On écrit $x^2$ au lieu de $x \times x$, et $x^3$ au lieu de $x \times x \times x$.
$x \times x = x^2$
$2 \times x \times x = 2x^2$
Attention : $2x^2 \neq (2x)^2$
Exercice 1 — Conventions d'écriture (5e)
Simplifier l'écriture de chaque expression :
$A = 4 \times x + 3$
$B = 1 \times y - 7$
$C = x \times 5 + x \times x$
$D = -1 \times a + 3 \times b \times 2$
$E = 7 \times (y + 2) - 1 \times y$
$F = a \times a \times a + 2 \times a \times b$
▶ Solution — Exercice 1
$A = 4 \times x + 3 = 4x + 3$ (on supprime le $\times$ devant $x$).
$B = 1 \times y - 7 = y - 7$ (le coefficient $1$ ne s'écrit pas).
$C = x \times 5 + x \times x = 5x + x^2$ (le nombre avant la lettre ; $x \times x = x^2$).
$D = -1 \times a + 3 \times b \times 2 = -a + 6b$ ($-1 \times a = -a$ ; $3 \times 2 = 6$).
$E = 7 \times (y + 2) - 1 \times y = 7(y + 2) - y$ (on supprime le $\times$ devant la parenthèse ; $1 \times y = y$).
$F = a \times a \times a + 2 \times a \times b = a^3 + 2ab$ ($a \times a \times a = a^3$).
Substituer une valeur (5e)
Substituer, c'est remplacer une variable par un nombre pour calculer la valeur de l'expression. On met toujours le nombre entre parenthèses à la place de la lettre, surtout quand il est négatif.
Piège : $(-3)^2 = 9$ (le carré du nombre $-3$), mais $-3^2 = -(3^2) = -9$ (l'opposé de $3^2$). Les parenthèses changent tout !
Le signe $=$ dans ces calculs signifie « est égal à », pas « donne ». Quand on écrit $3x + 5 = 17$, on affirme que les deux côtés ont la même valeur. On peut vérifier cette affirmation en substituant : c'est le lien direct entre substitution et équation.
Exercice 2 — Substituer et calculer (5e)
Calculer chaque expression pour $x = 3$ :
$A = 5x - 7$
$B = x^2 + 2x$
$C = 4(x + 1) - 3x$
Calculer chaque expression pour $x = -2$ :
$D = 3x + 10$
$E = x^2 - 4x$
$F = 2x^2 + x - 5$
Déterminer si $x = 5$ est solution de l'équation $2x - 3 = 7$.
On calcule le membre de gauche pour $x = 5$ : $2 \times 5 - 3 = 10 - 3 = 7$. Le membre de droite vaut $7$. On obtient bien $7 = 7$, donc $x = 5$ est solution de l'équation.
Réduire une expression (5e)
Réduire une expression, c'est regrouper les termes de même nature : les termes en $x$ ensemble, les termes en $x^2$ ensemble, les termes constants ensemble.
Règle : on ne peut additionner que des termes qui contiennent la même partie littérale. On additionne alors les coefficients.
Attention : $3x + 5$ ne se réduit pas davantage ($3x$ et $5$ ne sont pas de même nature). De même, $3x + 5x^2$ ne se réduit pas ($x$ et $x^2$ ne sont pas de même nature).
Développer, c'est supprimer les parenthèses en utilisant la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition : $$k(a + b) = ka + kb \qquad \text{et} \qquad k(a - b) = ka - kb$$ où $k$, $a$ et $b$ sont des nombres (éventuellement des expressions littérales).
Comprendre : multiplier par $k$, c'est multiplier chaque terme à l'intérieur de la parenthèse par $k$. Si on oublie un terme, le résultat est faux.
Modèle du rectangle : la distributivité correspond au calcul de l'aire d'un rectangle découpé en deux parties.
Pour développer un produit de deux sommes, on multiplie chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde : $$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$$ Il y a toujours quatre produits à effectuer.
Développer et réduire $A = (x + 3)(x + 5)$ :
$$\begin{aligned}A &= x \times x + x \times 5 + 3 \times x + 3 \times 5 \\
A &= x^2 + 5x + 3x + 15 \\
A &= x^2 + 8x + 15\end{aligned}$$
Développer et réduire $B = (2x - 1)(x + 4)$ :
$$\begin{aligned}B &= 2x \times x + 2x \times 4 + (-1) \times x + (-1) \times 4 \\
B &= 2x^2 + 8x - x - 4 \\
B &= 2x^2 + 7x - 4\end{aligned}$$
Les trois identités remarquables sont des formules de développement que l'on utilise dans les deux sens : pour développer (écrire sans parenthèses) et pour factoriser (remettre des parenthèses).
Pour tous nombres $a$ et $b$ :
$$\begin{aligned}(a + b)^2 &= a^2 + 2ab + b^2 & \text{(carré d'une somme)} \\
(a - b)^2 &= a^2 - 2ab + b^2 & \text{(carré d'une différence)} \\
(a + b)(a - b) &= a^2 - b^2 & \text{(produit somme-différence)}\end{aligned}$$
Comprendre : $(a + b)^2$ signifie $(a + b)(a + b)$, c'est-à-dire le produit de $(a + b)$ par lui-même. Ce n'est pas $a^2 + b^2$.
Modèle du carré : l'aire du grand carré de côté $(a + b)$ est la somme des quatre aires.
$(a + b)^2 = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Pour simplifier une fraction littérale, on factorise le numérateur (et éventuellement le dénominateur), puis on simplifie le facteur commun.
Attention : on ne simplifie que des facteurs (des termes qui multiplient), jamais des termes d'une somme. Par exemple, dans $\dfrac{x + 3}{x}$, on ne peut pas simplifier $x$ car $x$ n'est pas facteur du numérateur entier.
Les deux programmes donnent la même expression $x^2 + 6x + 9$. Ils produisent donc toujours le même résultat, quel que soit le nombre de départ. Le calcul littéral permet de le prouver, alors que les tests numériques ne le prouvaient que pour des cas particuliers.
Exercice 11 — Vrai ou faux ?
Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse et justifier :
$5x + 3 = 8x$ pour tout nombre $x$.
$2(x + 4) = 2x + 4$.
$x^2$ est toujours positif ou nul, quel que soit le nombre $x$.
$3x^2$ et $5x^2$ sont des termes de même nature.
$(x + 1)^2 = x^2 + 1$.
$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.
Si $x = 3$, alors $2x^2 = 36$.
$-(x - 5) = -x + 5$.
▶ Solution — Exercice 11
Faux. $5x + 3$ ne peut pas se réduire car $5x$ et $3$ ne sont pas de même nature. Pour $x = 1$ : $5 \times 1 + 3 = 8$ mais $8 \times 1 = 8$, cela semble marcher ; mais pour $x = 2$ : $5 \times 2 + 3 = 13$ et $8 \times 2 = 16 \neq 13$. L'erreur consiste à additionner le coefficient et le terme constant ($5 + 3 = 8$).
Faux. $2(x + 4) = 2x + 8$ (on distribue le $2$ aux deux termes). L'erreur consiste à oublier de distribuer au second terme.
Vrai. Le carré de tout nombre réel est positif ou nul : si $x \geq 0$ alors $x^2 \geq 0$, et si $x < 0$ alors $x^2 > 0$. Et $0^2 = 0$.
Vrai. $3x^2$ et $5x^2$ ont la même partie littérale ($x^2$), on peut donc les additionner : $3x^2 + 5x^2 = 8x^2$.
Faux. $(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$, pas $x^2 + 1$. Il manque le double produit $2 \times x \times 1 = 2x$. Contre-exemple : pour $x = 2$, $(2 + 1)^2 = 9$ mais $2^2 + 1 = 5$.
Faux. $2x^2 = 2 \times x^2 = 2 \times 3^2 = 2 \times 9 = 18$, pas $36$. L'erreur vient de la confusion $(2x)^2 = (2 \times 3)^2 = 6^2 = 36$ avec $2x^2 = 2 \times 3^2 = 18$. Le carré porte uniquement sur $x$, pas sur $2x$.
Vrai. Distribuer le signe $-$ (c'est-à-dire $-1$) change le signe de chaque terme dans la parenthèse : $-(x - 5) = -x + 5$.
Tu bloques sur un exercice ? Consulte la fiche Que faire quand je bloque ? Tu veux retenir durablement ces méthodes ? Consulte la fiche Mémorisation et sciences cognitives. Tu fais souvent les mêmes erreurs ? Remplis ton Carnet d'erreurs.