En mathématiques, chaque verbe d’un énoncé correspond à une action précise. Confondre « montrer » et « vérifier », ou « développer » et « factoriser », conduit à une réponse hors sujet même si le calcul est correct. Cette fiche est un dictionnaire de référence : consulte-la chaque fois que tu hésites sur ce qu’on te demande.
1. Les verbes de calcul
Ces verbes te demandent d'effectuer des opérations. Le résultat doit être simplifié sauf indication contraire.
Définitions
- Calculer :
- effectuer les opérations et donner le résultat numérique simplifié.
- Simplifier :
- écrire sous la forme la plus épurée : supprimer les parenthèses inutiles, ne pas écrire le signe $\times$, écrire $x$ au lieu de $1x$, réduire une fraction.
- Développer :
- transformer un produit en somme. Si l'expression contient plusieurs produits, on développe chacun puis on réduit.
- Factoriser :
- transformer une somme en produit. C'est l'opération inverse du développement.
- Réduire :
- regrouper les termes semblables pour obtenir l'écriture la plus courte.
- Ordonner :
- écrire les termes par puissances décroissantes de la variable.
Erreur fréquente : « développer et réduire » demande deux actions. Un élève qui développe sans réduire n'a fait que la moitié du travail.
2. Les verbes de raisonnement
Ces verbes te demandent de produire un argument logique, pas seulement un calcul. Le correcteur attend une justification.
Définitions
- Justifier :
- expliquer pourquoi une affirmation est vraie en citant une propriété, une définition ou un théorème du cours. C'est le verbe le plus fréquent aux examens.
- Vérifier :
- contrôler qu'un résultat satisfait les conditions initiales, en général par substitution. La vérification n'a pas valeur de preuve : elle confirme un résultat, elle ne le démontre pas.
- Montrer :
- le résultat est donné par l'énoncé. On te demande de prouver qu'il est vrai en exposant le cheminement logique complet.
- Conjecturer :
- proposer un résultat que l'on pense vrai à partir d'observations ou de cas particuliers, sans le prouver.
- En déduire :
- utiliser le résultat de la question précédente comme point de départ. Ne jamais repartir de zéro.
- Démontrer / Prouver :
- produire un raisonnement rigoureux, étape par étape, où chaque affirmation découle logiquement de la précédente.
- Réfuter :
- montrer qu'une affirmation est fausse, le plus souvent en exhibant un contre-exemple.
Erreur fréquente : confondre « montrer » et « vérifier ». Si l'énoncé dit « montrer que $x = 3$ est solution », il ne suffit pas de remplacer $x$ par $3$ et de constater que « ça marche » : il faut expliquer pourquoi, en citant la propriété utilisée.
3. Les verbes de réflexion
Ces verbes apparaissent dans les questions ouvertes ou les problèmes. Ils te laissent une liberté de méthode.
Définitions
- Résoudre :
- trouver toutes les solutions d'une équation ou d'une inéquation et donner l'ensemble des solutions.
- Déterminer :
- trouver un résultat (une valeur, un ensemble, une expression) en utilisant la méthode de ton choix, puis le donner clairement.
- Exprimer … en fonction de … :
- écrire une quantité à l'aide d'une autre variable, en éliminant toutes les autres.
- Interpréter :
- donner le sens concret d'un résultat mathématique dans le contexte du problème.
- Étudier :
- mener une analyse complète (par exemple : étudier les variations d'une fonction signifie calculer la dérivée, dresser le tableau de signes et le tableau de variations).
Erreur fréquente : « résoudre » demande l'ensemble des solutions, pas une seule. Un élève qui trouve $x = 2$ sans préciser que c'est l'unique solution ne répond pas complètement à la question.
4. Propriété ou formule ?
Ces deux mots ne sont pas synonymes. La propriété est l'énoncé logique (la règle de droit) : « si un triangle est rectangle, alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés ». La formule est sa traduction symbolique (l'outil de calcul) : $a^2 + b^2 = c^2$.
Pour justifier un calcul, on cite la propriété qui autorise l'usage de la formule. Appliquer une formule sans citer la propriété, c'est utiliser un outil sans dire pourquoi on a le droit de s'en servir.