La trigonométrie — Fiche d'exercices

1. Le triangle $ABC$ est rectangle en $C$, avec $\widehat{A} = 35^{\circ}$ et $AB = 10$ cm. Calculer $BC$.
2. Le triangle $DEF$ est rectangle en $F$, avec $\widehat{D} = 50^{\circ}$ et $DF = 7$ cm. Calculer $EF$.
3. Le triangle $MNP$ est rectangle en $N$, avec $\widehat{P} = 28^{\circ}$ et $MP = 15$ cm. Calculer $MN$.

1. Le triangle $ABC$ est rectangle en $C$, avec $AC = 8$ cm et $AB = 12$ cm. Calculer $\widehat{A}$ au degré près.
2. Le triangle $RST$ est rectangle en $S$, avec $RS = 5$ cm et $ST = 9$ cm. Calculer $\widehat{R}$ au degré près.
3. Vérifier que la somme des angles du triangle $ABC$ de la question 1 vaut bien $180^{\circ}$.

Un randonneur se trouve au pied d'une falaise. Pour estimer la hauteur de la falaise, il recule de $50$ m et mesure l'angle d'élévation vers le sommet : il trouve $32^{\circ}$. Ses yeux sont à $1{,}70$ m du sol.

1. Faire un schéma en plaçant le point $A$ (les yeux du randonneur), le point $B$ (le pied de la falaise au niveau des yeux) et le point $S$ (le sommet de la falaise).
2. Quel triangle rectangle se forme ? Identifier l'angle de $32^{\circ}$ et les côtés.
3. Calculer la hauteur $BS$ au dixième de mètre près.
4. En déduire la hauteur totale de la falaise.

Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$, avec $AB = 6$ cm et $\widehat{A} = 40^{\circ}$.

1. Identifier l'hypoténuse du triangle $ABC$. Justifier.
2. En utilisant la trigonométrie, calculer la longueur $AC$ arrondie au dixième de centimètre.
3. En utilisant la trigonométrie, calculer la longueur $BC$ arrondie au dixième de centimètre.
4. Vérifier le résultat en appliquant le théorème de Pythagore : calculer $AB^2 + BC^2$ et comparer avec $AC^2$.
5. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{C}$ de deux façons différentes.

Pour chaque question, entourer la bonne réponse.

1. Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, $\cos(\widehat{B})$ est égal à :

   • A. $\dfrac{AB}{BC}$
   • B. $\dfrac{AC}{BC}$
   • C. $\dfrac{AB}{AC}$
   • D. $\dfrac{BC}{AB}$

2. $\sin(30^{\circ})$ vaut :

   • A. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
   • B. $\dfrac{1}{2}$
   • C. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
   • D. $1$

3. Dans un triangle rectangle, si l'on connaît un angle aigu et le côté opposé, et que l'on cherche l'hypoténuse, on utilise :

   • A. le cosinus
   • B. la tangente
   • C. le sinus
   • D. Pythagore

4. Le triangle $RST$ est rectangle en $T$, avec $RS = 10$ cm et $\widehat{R} = 60^{\circ}$. La longueur $ST$ vaut :

   • A. $10 \times \cos(60^{\circ})$
   • B. $10 \times \sin(60^{\circ})$
   • C. $10 \times \tan(60^{\circ})$
   • D. $\dfrac{10}{\sin(60^{\circ})}$

5. Si $\cos(\alpha) = 0{,}6$ et $\sin(\alpha) = 0{,}8$, alors $\tan(\alpha)$ vaut :

   • A. $0{,}48$
   • B. $1{,}4$
   • C. $\dfrac{4}{3}$
   • D. $0{,}75$

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse et justifier :

1. $\sin(\alpha)$ peut valoir $1{,}5$ pour un certain angle aigu $\alpha$.
2. Dans un triangle rectangle, $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$ pour tout angle aigu $\alpha$.
3. $\cos(60^{\circ}) = \sin(30^{\circ})$.
4. La tangente d'un angle aigu peut être supérieure à $1$.
5. Si $\sin(\alpha) = \sin(\beta)$, alors $\alpha = \beta$.
6. Le cosinus d'un angle augmente quand l'angle augmente (entre $0^{\circ}$ et $90^{\circ}$).