Le second degré — Fiche d'exercices

1. Pour chaque trinôme, donner les valeurs de $a$, $b$ et $c$ :

   1. $A = 2x^2 - 3x + 1$ : $a = $ $b = $ $c = $
   2. $B = -x^2 + 5x$ : $a = $ $b = $ $c = $
   3. $C = 4 - x^2$ : $a = $ $b = $ $c = $
   4. $D = (x - 1)(x + 3) = $ donc $a = $ $b = $ $c = $
2. Pour chacun des trinômes $A$, $B$, $C$ et $D$, dire si la parabole associée est tournée vers le haut ou vers le bas, et si la fonction admet un minimum ou un maximum.
3. L'expression $E = 3x + 2$ est-elle un trinôme du second degré ? Justifier.

On veut résoudre l'équation $x^2 - 3x - 4 = 0$. Compléter chaque étape.

1. Les coefficients sont $a = $ $b = $ et $c = $
2. $\Delta = b^2 - 4ac = (\underline{\hspace{1cm}})^2 - 4 \times \underline{\hspace{1cm}} \times \underline{\hspace{1cm}} = \underline{\hspace{1cm}} + \underline{\hspace{1cm}} = \underline{\hspace{1cm}}$
3. Comme $\Delta$ $0$, l'équation admet solution(s).
4. $x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{\underline{\hspace{1cm}} - \underline{\hspace{1cm}}}{\underline{\hspace{1cm}}} = \underline{\hspace{1.5cm}}$   et   $x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{\underline{\hspace{1cm}} + \underline{\hspace{1cm}}}{\underline{\hspace{1cm}}} = \underline{\hspace{1.5cm}}$
5. Vérification : remplacer $x$ par $x_1$ dans $x^2 - 3x - 4$ : $(\underline{\hspace{1cm}})^2 - 3 \times (\underline{\hspace{1cm}}) - 4 = \underline{\hspace{3cm}}$
6. L'ensemble des solutions est $S = \{\underline{\hspace{1cm}} \,;\, \underline{\hspace{1cm}}\}$.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes, en détaillant le calcul du discriminant lorsqu'il est nécessaire.

1. $x^2 - 7x + 10 = 0$
2. $x^2 - 4x + 4 = 0$
3. $x^2 + 2x + 5 = 0$
4. $3x^2 + 5x - 2 = 0$
5. $x^2 - 5x = 0$
6. $2x^2 - 18 = 0$

1. Le trinôme $2x^2 - 5x + 3$ a pour racines $1$ et $\dfrac{3}{2}$. Compléter : $2x^2 - 5x + 3 = \underline{\hspace{1cm}}\,(x - \underline{\hspace{1cm}})\left(x - \underline{\hspace{1cm}}\right) = (x - 1)(\underline{\hspace{1cm}}\, x - \underline{\hspace{1cm}})$

2. Factoriser lorsque c'est possible, en utilisant les racines trouvées à l'exercice précédent :

   1. $A = x^2 - 7x + 10 = $
   2. $B = 3x^2 + 5x - 2 = $
   3. $C = x^2 - 4x + 4 = $
   4. $D = x^2 + 2x + 5 = $
3. Vérifier la factorisation de $B$ en développant.

1. On considère le trinôme $P(x) = -x^2 + 4x - 3$.

   1. Calculer le discriminant et les racines de $P$.
   2. En déduire la forme factorisée de $P(x)$. $P(x) = $
   3. Dresser le tableau de signes de $P(x)$.
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $x^2 - x - 6 \leqslant 0$.
3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $2x^2 + 3x + 5 > 0$.

Un fabricant estime que son bénéfice, en milliers d'euros, pour $x$ centaines d'objets vendus, est $B(x) = -2x^2 + 12x - 10$, avec $0 \leqslant x \leqslant 6$.

1. Pour quelles quantités le bénéfice est-il nul ?
2. Déterminer les quantités pour lesquelles le bénéfice est positif.
3. Sans calcul supplémentaire, expliquer pourquoi le bénéfice admet un maximum.
4. En utilisant la symétrie de la parabole, déterminer la quantité qui rend le bénéfice maximal, puis calculer ce bénéfice maximal.

Pour chaque question, entourer la bonne réponse.

1. Le discriminant du trinôme $2x^2 - 3x + 1$ vaut :

   • A. $17$
   • B. $1$
   • C. $-1$
   • D. $-17$

2. Le trinôme $3x^2 - 6x + 3$ admet :

   • A. deux racines, $1$ et $-1$
   • B. aucune racine
   • C. une racine double égale à $1$
   • D. une racine double égale à $-1$

3. Le trinôme $x^2 - 5x + 6$ est strictement négatif :

   • A. sur $\mathopen{]}2 \,;\, 3\mathclose{[}$
   • B. sur $\mathopen{]}-\infty \,;\, 2\mathclose{[} \cup \mathopen{]}3 \,;\, +\infty\mathclose{[}$
   • C. pour aucune valeur de $x$
   • D. sur $\mathopen{]}-\infty \,;\, 6\mathclose{[}$

4. Le trinôme $2x^2 - 2x - 12$ a pour racines $-2$ et $3$. Sa forme factorisée est :

   • A. $(x + 2)(x - 3)$
   • B. $2(x - 2)(x + 3)$
   • C. $(2x - 4)(2x + 6)$
   • D. $2(x + 2)(x - 3)$

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse et justifier :

1. Si $\Delta < 0$, l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ n'a aucune solution réelle.
2. Un trinôme du second degré peut avoir trois racines.
3. Si $a > 0$, le trinôme $ax^2 + bx + c$ est positif pour tout réel $x$.
4. $-x^2 + 2x - 1 = -(x - 1)^2$.
5. L'équation $x^2 + 1 = 0$ admet deux solutions réelles.
6. Le nombre $3$ est une racine du trinôme $x^2 - 2x - 3$.
7. Si $\Delta = 0$, la parabole touche l'axe des abscisses en un seul point.
8. Les solutions de $2x^2 - 8 = 0$ sont $4$ et $-4$.