La proportionnalité

Pour chaque tableau, dire si les grandeurs sont proportionnelles. Justifier en calculant les rapports.

1. Nombre de cahiers	$3$	$5$	$8$
   Prix total (€)	$4{,}50$	$7{,}50$	$12$

2. Âge (ans)	$5$	$10$	$15$
   Taille (cm)	$110$	$140$	$165$

3. Côté du carré (cm)	$2$	$4$	$6$
   Aire du carré (cm²)	$4$	$16$	$36$

$5$ litres de peinture couvrent $40$ m² de mur.

1. Par la méthode du retour à l'unité : combien de m² couvre $1$ litre ? En déduire la surface couverte par $8$ litres.
2. Par le coefficient de proportionnalité : quel est le coefficient qui permet de passer du volume à la surface ? Calculer la surface couverte par $8$ litres.
3. Par la propriété de linéarité : en remarquant que $8 = 5 + 3$, calculer d'abord la surface couverte par $3$ litres, puis celle de $8$ litres.
4. Par le produit en croix : poser l'égalité des rapports et calculer.
5. Quelle méthode trouves-tu la plus naturelle ? Pourquoi ?

1. Un magasin propose une réduction de $15$ % sur un pantalon à $80$ €.

   1. Calculer le montant de la réduction.
   2. Calculer le prix après réduction.
   3. Retrouver ce résultat en multipliant $80$ par le coefficient approprié.

2. Le prix d'un abonnement passe de $45$ € à $54$ €. Quel est le pourcentage d'augmentation ?
3. Après une hausse de $20$ %, un vélo coûte $360$ €. Quel était son prix avant la hausse ?

1. Un cycliste roule à une vitesse constante de $24$ km/h.

   1. Quelle distance parcourt-il en $45$ minutes ?
   2. Combien de temps lui faut-il pour parcourir $60$ km ?

2. Un train parcourt $180$ km en $1$ h $30$ min, puis $120$ km en $1$ h.

   1. Calculer la vitesse moyenne sur chaque tronçon.
   2. La distance parcourue est-elle proportionnelle au temps sur l'ensemble du trajet ? Justifier.

Sur un plan à l'échelle $\dfrac{1}{250}$ :

1. Une pièce mesure $6$ cm de long sur le plan. Quelle est sa longueur réelle ?
2. La largeur réelle de la pièce est $3{,}75$ m. Quelle est sa largeur sur le plan ?
3. L'aire de la pièce sur le plan est-elle proportionnelle à l'aire réelle ? Justifier.

Pour chaque situation, dire si les grandeurs sont proportionnelles ou non. Justifier.

1. Un taxi facture une prise en charge de $3{,}50$ € plus $1{,}20$ € par kilomètre. Le prix est-il proportionnel à la distance ?
2. Un robinet remplit une baignoire à débit constant de $12$ litres par minute. Le volume d'eau est-il proportionnel au temps ?
3. Le nombre de parts de pizza et la quantité de pizza par personne (pour une pizza de taille fixe).
4. La longueur du côté d'un carré et son périmètre.

Une recette de crêpes pour $6$ personnes nécessite : $250$ g de farine, $4$ œufs, $50$ cL de lait et $30$ g de beurre.

1. Calculer les quantités nécessaires pour $9$ personnes en utilisant la méthode de ton choix.
2. On n'a que $3$ œufs. Pour combien de personnes peut-on préparer la recette ?
3. Pour ce nombre de personnes, calculer les quantités de farine, de lait et de beurre.
4. Un camarade dit : « pour $9$ personnes, il suffit d'ajouter les quantités de $6$ personnes et $3$ personnes. » A-t-il raison ? Justifier en vérifiant avec la farine.

Pour chaque question, une seule réponse est correcte.

1. $4$ kg de tomates coûtent $6$ €. Le prix de $10$ kg est :

   • A. $12$ €
   • B. $15$ €
   • C. $16$ €
   • D. $24$ €

2. Un article coûte $80$ €. Après une réduction de $25$ %, le nouveau prix est :

   • A. $55$ €
   • B. $60$ €
   • C. $65$ €
   • D. $20$ €

3. Sur un plan à l'échelle $\dfrac{1}{200}$, $4$ cm sur le plan représentent en réalité :

   • A. $80$ cm
   • B. $8$ m
   • C. $80$ m
   • D. $50$ m

4. Un prix passe de $200$ € à $250$ €. Le pourcentage d'augmentation est :

   • A. $20$ %
   • B. $25$ %
   • C. $50$ %
   • D. $125$ %

5. Parmi ces situations, laquelle n'est pas une situation de proportionnalité ?

   • A. Le prix de l'essence au litre
   • B. Le périmètre d'un carré et son côté
   • C. L'aire d'un carré et son côté
   • D. La conversion km en m

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse et justifier :

1. Si un tableau de proportionnalité contient les couples $(2\,;\,6)$ et $(5\,;\,15)$, alors le coefficient de proportionnalité est $3$.
2. Si $3$ kg de pommes coûtent $6$ €, alors $6$ kg coûtent $18$ €.
3. Une augmentation de $50$ % suivie d'une diminution de $50$ % ramène au prix initial.
4. Le graphique d'une situation de proportionnalité est toujours une droite passant par l'origine.
5. Si on double le rayon d'un cercle, son périmètre double aussi.
6. Si on double le côté d'un carré, son aire double aussi.
7. Le produit en croix ne fonctionne que si la situation est proportionnelle.
8. Sur une carte à l'échelle $\dfrac{1}{50\,000}$, $2$ cm représentent $1$ km.