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Probabilités et statistiques

5ᵉ4ᵉ3ᵉ2ⁿᵈᵉ
Moyenne, médiane, quartiles (5ᵉ–3ᵉ) · Événements, probabilité d'équiprobabilité, arbres (4ᵉ–2ⁿᵈᵉ)
Les statistiques décrivent ce qui s'est déjà produit : on organise, résume et représente des données (notes d'une classe, durées de trajet, tailles). Les probabilités anticipent ce qui pourrait se produire : on mesure la chance qu'un événement survienne dans une expérience aléatoire (lancer de dé, tirage d'une carte). Les difficultés principales viennent de confusions durables : confondre moyenne et médiane, croire que toutes les issues sont également probables (somme $7$ vs somme $12$ avec deux dés), traiter un événement comme une certitude parce que sa probabilité est élevée.

\section*{Partie I. Statistiques}

Vocabulaire (5e – 3e)
Série statistique :
liste de valeurs numériques collectées sur un ensemble d'individus (les notes des $25$ élèves d'une classe, les tailles de $30$ nouveau-nés).
Effectif d'une valeur :
nombre d'individus ayant cette valeur. Dans la série $(12\,;\, 8\,;\, 12\,;\, 15\,;\, 12)$, l'effectif de la valeur $12$ est $3$.
Effectif total :
nombre total d'individus de la série (noté $N$). Dans l'exemple ci-dessus, $N = 5$.
Fréquence d'une valeur :
rapport de l'effectif à l'effectif total, $f = \dfrac{\text{effectif}}{N}$. Elle est toujours comprise entre $0$ et $1$, ou exprimée en pourcentage entre $0\,\%$ et $100\,\%$.
Distribution des fréquences :
la somme de toutes les fréquences d'une série vaut toujours $1$ (ou $100\,\%$).

On relève les notes de douze élèves à un contrôle : $$12\,;\, 8\,;\, 15\,;\, 12\,;\, 10\,;\, 14\,;\, 8\,;\, 12\,;\, 17\,;\, 10\,;\, 14\,;\, 8.$$

Note$8$$10$$12$$14$$15$$17$
Effectif$3$$2$$3$$2$$1$$1$
Fréquence$\dfrac{3}{12}$$\dfrac{2}{12}$$\dfrac{3}{12}$$\dfrac{2}{12}$$\dfrac{1}{12}$$\dfrac{1}{12}$

Vérification : somme des effectifs $= 12 = N$ ✓\; somme des fréquences $= \dfrac{12}{12} = 1$ ✓.

Moyenne d'une série (5e – 4e)

La moyenne d'une série, notée $\bar{x}$, est la somme de toutes les valeurs divisée par l'effectif total : $$\bar{x} = \dfrac{\text{somme des valeurs}}{\text{effectif total}}$$

Moyenne pondérée : quand les valeurs se répètent, on utilise les effectifs. Si la valeur $x_i$ a pour effectif $n_i$ et que $N = n_1 + n_2 + \cdots + n_p$ : $$\bar{x} = \dfrac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \cdots + n_p x_p}{N}$$

Reprenons la série des douze notes. On appelle $A$ la moyenne de cette série :

$$\begin{aligned}A &= \dfrac{3 \times 8 + 2 \times 10 + 3 \times 12 + 2 \times 14 + 1 \times 15 + 1 \times 17}{12} \\ A &= \dfrac{24 + 20 + 36 + 28 + 15 + 17}{12} \\ A &= \dfrac{140}{12} \approx 11{,}67\end{aligned}$$

La moyenne de la classe est environ $11{,}67$.

Interprétation : la moyenne est la « valeur d'équilibre » : si l'on redistribuait équitablement toutes les valeurs, chacun aurait la moyenne. Attention : la moyenne peut ne correspondre à aucune valeur réelle de la série (ici, aucun élève n'a eu $11{,}67$).

Médiane d'une série (4e – 3e)

La médiane partage la série ordonnée en deux moitiés de même effectif : la moitié des valeurs lui sont inférieures ou égales, l'autre moitié lui sont supérieures ou égales.

Méthode :

  1. On range la série dans l'ordre croissant.
  2. Si l'effectif total $N$ est impair, la médiane est la valeur du milieu (la valeur de rang $\frac{N+1}{2}$).
  3. Si $N$ est pair, la médiane est la demi-somme des deux valeurs centrales (rangs $\frac{N}{2}$ et $\frac{N}{2}+1$).
  • Série $B$ à sept valeurs : $(5\,;\, 8\,;\, 9\,;\, 12\,;\, 14\,;\, 14\,;\, 20)$ (déjà triée). $N = 7$ impair, la médiane est la valeur de rang $4$ : $\text{Med}(B) = 12$.
  • Série $C$ à huit valeurs : $(5\,;\, 8\,;\, 9\,;\, 12\,;\, 14\,;\, 14\,;\, 18\,;\, 20)$. $N = 8$ pair, la médiane est la demi-somme des valeurs de rangs $4$ et $5$ : $$\text{Med}(C) = \dfrac{12 + 14}{2} = 13$$
  • Reprenons les douze notes. Triées : $(8\,;\, 8\,;\, 8\,;\, 10\,;\, 10\,;\, 12\,;\, 12\,;\, 12\,;\, 14\,;\, 14\,;\, 15\,;\, 17)$. $N = 12$, les valeurs de rangs $6$ et $7$ sont $12$ et $12$ : la médiane vaut $12$.

Moyenne et médiane ne coïncident pas en général. Quelques valeurs très grandes (ou très petites) influencent beaucoup la moyenne, mais peu la médiane. C'est pourquoi, pour décrire les salaires d'un pays, la médiane est souvent plus représentative que la moyenne : elle résiste aux valeurs extrêmes.

Exercice 1 — Moyenne et médiane (5e – 3e)

On relève le nombre de livres lus par huit élèves sur l'année : $$A = (3\,;\, 7\,;\, 5\,;\, 2\,;\, 8\,;\, 5\,;\, 4\,;\, 6).$$

  1. Calculer la moyenne et la médiane de $A$.
  2. Un neuvième élève a lu $30$ livres. Calculer la nouvelle moyenne et la nouvelle médiane de $A$.
  3. Quel indicateur a le plus changé ? Expliquer.
▶ Solution — Exercice 1
  1. Moyenne : $\bar{A} = \dfrac{3 + 7 + 5 + 2 + 8 + 5 + 4 + 6}{8} = \dfrac{40}{8} = 5$. Médiane : série triée $(2\,;\, 3\,;\, 4\,;\, 5\,;\, 5\,;\, 6\,;\, 7\,;\, 8)$. $N = 8$ pair, médiane $= \dfrac{5 + 5}{2} = 5$.
  2. Avec l'ajout de la valeur $30$ : Nouvelle somme : $40 + 30 = 70$. Nouvelle moyenne : $\dfrac{70}{9} \approx 7{,}78$. Nouvelle série triée : $(2\,;\, 3\,;\, 4\,;\, 5\,;\, 5\,;\, 6\,;\, 7\,;\, 8\,;\, 30)$. $N = 9$ impair, la médiane est la valeur de rang $5$ : $\text{Med} = 5$.
  3. La moyenne a fortement augmenté (de $5$ à $7{,}78$), la médiane n'a pas bougé (elle reste $5$). Une valeur très grande ($30$) a tiré la moyenne vers le haut, mais n'a changé la position centrale que d'un rang. La médiane est robuste aux valeurs extrêmes, la moyenne ne l'est pas.
Étendue et quartiles (3e – 2de)

Les indicateurs de position (moyenne, médiane) résument la série par un seul nombre. Les indicateurs de dispersion décrivent, eux, comment les valeurs sont réparties autour de ce centre.

Étendue :
différence entre la plus grande et la plus petite valeur de la série. $$\text{Étendue} = \max - \min$$
Premier quartile $Q_1$ :
plus petite valeur de la série triée telle qu'au moins $25\,\%$ des valeurs lui sont inférieures ou égales.
Troisième quartile $Q_3$ :
plus petite valeur telle qu'au moins $75\,\%$ des valeurs lui sont inférieures ou égales.
Écart interquartile :
$Q_3 - Q_1$. Il mesure la dispersion de la « moitié centrale » de la série.

Méthode pratique : on trie la série, on calcule $\dfrac{N}{4}$ pour $Q_1$ et $\dfrac{3N}{4}$ pour $Q_3$. Si le résultat est entier, on prend la valeur de ce rang ; sinon, on arrondit au rang entier supérieur.

Série triée : $(5\,;\, 7\,;\, 8\,;\, 10\,;\, 11\,;\, 12\,;\, 14\,;\, 16\,;\, 18\,;\, 20\,;\, 22\,;\, 25)$. $N = 12$.

  • Étendue : $25 - 5 = 20$.
  • $\dfrac{N}{4} = 3$ entier : $Q_1$ est la valeur de rang $3$, soit $Q_1 = 8$.
  • $\dfrac{3N}{4} = 9$ entier : $Q_3$ est la valeur de rang $9$, soit $Q_3 = 18$.
  • Écart interquartile : $Q_3 - Q_1 = 18 - 8 = 10$.

Les quartiles ne sont pas sensibles aux valeurs extrêmes. En décrivant la moitié centrale des données, l'écart interquartile complète la médiane de la même manière que l'écart-type (non traité ici) complète la moyenne.

Exercice 2 — Indicateurs complets (3e – 2de)

Voici les durées (en minutes) du trajet domicile-collège pour vingt élèves : $$B = (5\,;\, 8\,;\, 10\,;\, 12\,;\, 12\,;\, 15\,;\, 15\,;\, 18\,;\, 20\,;\, 20\,;\, 22\,;\, 25\,;\, 25\,;\, 28\,;\, 30\,;\, 30\,;\, 35\,;\, 40\,;\, 45\,;\, 60).$$ La série est déjà triée.

  1. Calculer la moyenne, la médiane, l'étendue et les deux quartiles.
  2. Calculer l'écart interquartile.
  3. Interpréter : la moitié des élèves ont un trajet de quelle durée maximale ?
▶ Solution — Exercice 2
  1. $N = 20$. Moyenne : somme : $5 + 8 + 10 + 12 + 12 + 15 + 15 + 18 + 20 + 20 + 22 + 25 + 25 + 28 + 30 + 30 + 35 + 40 + 45 + 60 = 475$. $$\bar{B} = \dfrac{475}{20} = 23{,}75 \text{ min.}$$ Médiane : $N = 20$ pair, moyenne des valeurs de rangs $10$ et $11$ : $\dfrac{20 + 22}{2} = 21$ min. Étendue : $60 - 5 = 55$ min. $Q_1$ : $\dfrac{N}{4} = 5$ entier, valeur de rang $5$, soit $Q_1 = 12$ min. $Q_3$ : $\dfrac{3N}{4} = 15$ entier, valeur de rang $15$, soit $Q_3 = 30$ min.
  2. Écart interquartile : $Q_3 - Q_1 = 30 - 12 = 18$ min.
  3. La médiane vaut $21$ min : la moitié des élèves ont un trajet de $21$ min ou moins. La moitié centrale (entre $Q_1$ et $Q_3$) a des trajets compris entre $12$ et $30$ min.

\section*{Partie II. Probabilités}

Vocabulaire des probabilités (4e – 3e)
Expérience aléatoire :
expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat à l'avance, mais dont on connaît tous les résultats possibles. Exemple : lancer un dé cubique équilibré.
Issue :
résultat possible de l'expérience. Pour un dé : les issues sont $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$.
Univers :
ensemble de toutes les issues, noté $\Omega$. Pour un dé : $\Omega = \{1\,;\, 2\,;\, 3\,;\, 4\,;\, 5\,;\, 6\}$.
Événement :
ensemble d'issues regroupées par une condition commune. Pour un dé, « obtenir un nombre pair » est l'événement $\{2\,;\, 4\,;\, 6\}$.
Événement élémentaire :
événement ne contenant qu'une seule issue.
Événement certain :
événement égal à l'univers (il se réalise toujours).
Événement impossible :
événement vide (il ne se réalise jamais).
Probabilité dans un cas d'équiprobabilité (4e – 3e)

Dans une expérience où toutes les issues ont la même chance de se produire (on parle d'équiprobabilité) : $$P(\text{événement}) = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}$$

Propriétés à connaître :

  • $0 \leqslant P(A) \leqslant 1$ pour tout événement $A$ ;
  • $P(\Omega) = 1$ (événement certain) ;
  • $P(\emptyset) = 0$ (événement impossible) ;
  • si $A$ et $B$ sont incompatibles (ils n'ont aucune issue commune), $P(A \text{ ou } B) = P(A) + P(B)$.

On lance un dé cubique équilibré. Calculons quelques probabilités. On note $A$, $B$, $C$ les événements suivants :

  • $A$ : « obtenir un nombre pair » $= \{2\,;\, 4\,;\, 6\}$. $P(A) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$.
  • $B$ : « obtenir un multiple de $3$ » $= \{3\,;\, 6\}$. $P(B) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$.
  • $C$ : « obtenir un nombre supérieur à $4$ » $= \{5\,;\, 6\}$. $P(C) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$.

Attention : l'équiprobabilité n'est pas automatique. Dans « lancer deux dés et noter la somme », les résultats $2$, $3$, …, $12$ ne sont pas équiprobables (voir plus loin). Avant d'appliquer la formule, il faut vérifier que les issues choisies sont effectivement équiprobables.

Événement contraire et opérations sur les événements (3e – 2de)
Événement contraire de $A$ :
noté $\bar{A}$. Il est constitué de toutes les issues qui ne sont pas dans $A$. Autrement dit, $\bar{A}$ se réalise lorsque $A$ ne se réalise pas. $$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$$
Intersection $A \cap B$ :
événement qui se réalise quand $A$ et $B$ se réalisent simultanément.
Union $A \cup B$ :
événement qui se réalise quand $A$ ou $B$ se réalise (au moins l'un des deux).
Formule générale :
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. Si $A$ et $B$ sont incompatibles ($A \cap B = \emptyset$), cette formule se simplifie en $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

On reprend le dé cubique et les événements $A$ (pair) et $B$ (multiple de $3$) définis plus haut.

  • Contraire de $A$ : $\bar{A} = \{1\,;\, 3\,;\, 5\}$ (« impair »). $P(\bar{A}) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} = 1 - P(A)$. ✓
  • Intersection : $A \cap B = \{6\}$ (pair et multiple de $3$). $P(A \cap B) = \dfrac{1}{6}$.
  • Union : $A \cup B = \{2\,;\, 3\,;\, 4\,;\, 6\}$ (pair ou multiple de $3$). $P(A \cup B) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$. On vérifie la formule : $P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$. ✓
Exercice 3 — Une urne (4e – 3e)

Une urne contient $4$ boules rouges, $3$ boules vertes et $5$ boules bleues, toutes indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Calculer :

  1. la probabilité de $R$ : « tirer une boule rouge » ;
  2. la probabilité de $\bar{V}$ : « ne pas tirer une boule verte » ;
  3. la probabilité de $R \cup B$ : « tirer une boule rouge ou bleue ».
▶ Solution — Exercice 3

L'urne contient $4 + 3 + 5 = 12$ boules. On suppose l'équiprobabilité (les boules sont indiscernables).

  1. $P(R) = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}$.
  2. Deux méthodes : Directe : $\bar{V}$ correspond aux boules rouges ou bleues, soit $4 + 5 = 9$ boules. $P(\bar{V}) = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}$. Par le contraire : $P(V) = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$, donc $P(\bar{V}) = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$. ✓
  3. $R$ et $B$ sont incompatibles (une boule n'est jamais à la fois rouge et bleue), donc : $$P(R \cup B) = P(R) + P(B) = \dfrac{4}{12} + \dfrac{5}{12} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}$$ On retrouve $P(\bar{V})$ : « tirer rouge ou bleue » et « ne pas tirer verte » sont le même événement.
Expériences à deux étapes : arbre et tableau (3e – 2de)

Quand une expérience se décompose en plusieurs étapes (lancer deux dés, tirer deux cartes, jouer deux parties), on peut énumérer les issues avec deux outils :

  • un arbre de probabilités, utile quand les étapes sont différentes ou dépendantes ;
  • un tableau à double entrée, bien adapté quand les deux étapes sont similaires (deux dés, deux pièces).

Exemple : somme de deux dés. On lance deux dés équilibrés et on note la somme. Le tableau à double entrée des $6 \times 6 = 36$ issues équiprobables :

$+$$1$$2$$3$$4$$5$$6$
$1$$2$$3$$4$$5$$6$$7$
$2$$3$$4$$5$$6$$7$$8$
$3$$4$$5$$6$$7$$8$$9$
$4$$5$$6$$7$$8$$9$$10$
$5$$6$$7$$8$$9$$10$$11$
$6$$7$$8$$9$$10$$11$$12$

On compte les issues favorables à chaque somme :

  • $P(\text{somme} = 2) = \dfrac{1}{36}$   (une seule case : $1+1$) ;
  • $P(\text{somme} = 7) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$   (six cases sur la diagonale) ;
  • $P(\text{somme} = 12) = \dfrac{1}{36}$   (une seule case : $6+6$).

Les sommes $2$, $7$ et $12$ ne sont pas équiprobables : la somme $7$ est six fois plus probable que la somme $12$. L'intuition qui veut que « tous les résultats soient également probables » est ici clairement fausse, car les sommes ne sont pas les issues élémentaires : les vraies issues sont les couples $(d_1\,;\, d_2)$, au nombre de $36$.

Exercice 4 — Deux dés (3e – 2de)

On lance deux dés cubiques équilibrés et on note la somme.

  1. Déterminer la probabilité d'obtenir la somme $10$.
  2. Déterminer la probabilité d'obtenir une somme au moins égale à $10$.
  3. Est-il plus probable d'obtenir une somme égale à $7$ ou une somme paire ?
  4. Soit $S$ l'événement « la somme est strictement inférieure à $5$ ». Calculer $P(S)$ puis $P(\bar{S})$.
▶ Solution — Exercice 4

L'univers contient $36$ issues équiprobables. On compte les cases favorables dans le tableau.

  1. Somme $10$ : les couples sont $(4\,;\, 6)$, $(5\,;\, 5)$, $(6\,;\, 4)$, soit $3$ issues. $P(\text{somme} = 10) = \dfrac{3}{36} = \dfrac{1}{12}$.
  2. Somme au moins égale à $10$ : on cumule les sommes $10$, $11$, $12$. Nombre d'issues : $3 + 2 + 1 = 6$. $P(\text{somme} \geqslant 10) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$.
  3. $P(\text{somme} = 7) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$. Pour les sommes paires, on compte les cases donnant $2$, $4$, $6$, $8$, $10$ ou $12$, soit $1 + 3 + 5 + 5 + 3 + 1 = 18$ issues. $P(\text{somme paire}) = \dfrac{18}{36} = \dfrac{1}{2}$. Conclusion : la somme paire est trois fois plus probable que la somme $7$.
  4. Somme strictement inférieure à $5$ : sommes $2$, $3$, $4$. Issues : $1 + 2 + 3 = 6$. $P(S) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$   et   $P(\bar{S}) = 1 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}$.
Exercice 5 — Arbre de probabilités (3e – 2de)

On dispose de deux urnes :

  • l'urne $U_1$ contient $3$ boules rouges et $2$ boules bleues ;
  • l'urne $U_2$ contient $1$ boule rouge et $4$ boules bleues.

On choisit d'abord une urne au hasard (équiprobabilité), puis on tire une boule dans l'urne choisie.

  1. Représenter la situation par un arbre de probabilités. Vérifier que la somme des probabilités des branches issues de chaque nœud vaut $1$.
  2. Calculer la probabilité de tirer une boule rouge.
  3. Calculer la probabilité de l'événement « avoir choisi l'urne $U_1$ et tiré une boule bleue ».
▶ Solution — Exercice 5

  1. Arbre de probabilités :

    [Diagramme tikz — voir la version PDF]

    Vérification : au nœud racine, $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ ✓\; depuis $U_1$, $\frac{3}{5} + \frac{2}{5} = 1$ ✓\; depuis $U_2$, $\frac{1}{5} + \frac{4}{5} = 1$ ✓.

  2. « Tirer une boule rouge » correspond à deux chemins : ($U_1$ puis R) ou ($U_2$ puis R). On multiplie les probabilités le long d'un chemin, puis on additionne les chemins : $$P(\text{rouge}) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{5} = \dfrac{3}{10} + \dfrac{1}{10} = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}$$
  3. « Choisir $U_1$ et tirer bleue » correspond à un seul chemin : $$P(U_1 \cap B) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5}$$
Erreurs classiques en probabilités et statistiques
ErreurExemple fauxCorrection
Confondre moyenne et médiane« La moyenne des salaires est $2000$ €, donc la moitié des salariés gagnent $2000$ € ou moins »La moyenne ne donne pas la répartition : c'est la médiane qui partage la série en deux moitiés
Équiprobabilité abusive des sommes« Avec deux dés, les sommes $7$ et $12$ sont aussi probables, il y a $11$ sommes possibles »Les sommes ne sont pas équiprobables : il y a $6$ façons d'obtenir $7$ contre $1$ seule pour $12$
Additionner $P(A)$ et $P(B)$ quand $A$ et $B$ ne sont pas incompatibles$P(\text{pair}) + P(\text{multiple de~}3) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$Il faut soustraire $P(A \cap B)$ : $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{2}{3}$
Oublier le contexte d'équiprobabilitéAppliquer $P = \frac{\text{favorables}}{\text{total}}$ sans vérifier que les issues sont équiprobablesLa formule n'est valable que lorsque toutes les issues de l'univers sont également probables
Confondre fréquence observée et probabilité théoriqueAprès $10$ lancers d'une pièce donnant $7$ Pile, conclure $P(\text{Pile}) = 0{,}7$La probabilité théorique est $0{,}5$ ; la fréquence observée ne la rejoint qu'après un grand nombre de lancers (loi des grands nombres)
Valeur extrême qui « casse » la moyenneIgnorer l'impact d'une valeur aberrante sur la moyenneVérifier l'étendue : si une valeur est très éloignée des autres, la médiane est plus représentative que la moyenne
Exercice 6 — QCM (4e – 2de)

Pour chaque question, une seule réponse est correcte.

  1. La série $(3\,;\, 7\,;\, 5\,;\, 3\,;\, 8\,;\, 4)$ a pour moyenne :

    • [A.] $5$
    • [B.] $5{,}5$
    • [C.] $4{,}5$
    • [D.] $6$

  2. Dans la même série, la médiane vaut :

    • [A.] $3$
    • [B.] $4$
    • [C.] $4{,}5$
    • [D.] $5$

  3. On tire une carte au hasard dans un jeu de $32$ cartes. La probabilité d'obtenir un cœur est :

    • [A.] $\dfrac{1}{2}$
    • [B.] $\dfrac{1}{4}$
    • [C.] $\dfrac{1}{8}$
    • [D.] $\dfrac{1}{32}$

  4. Un dé équilibré à six faces est lancé. La probabilité d'obtenir un nombre pair ou supérieur à $3$ est :

    • [A.] $\dfrac{3}{6}$
    • [B.] $\dfrac{4}{6}$
    • [C.] $\dfrac{6}{6}$
    • [D.] $\dfrac{7}{6}$

  5. On lance deux dés équilibrés et on note la somme. L'événement le plus probable est la somme égale à :

    • [A.] $2$
    • [B.] $6$
    • [C.] $7$
    • [D.] $12$

  6. Un sondage indique que $P(\text{vélo}) = 0{,}3$ et $P(\text{transport en commun}) = 0{,}5$. Sachant qu'aucun élève n'utilise les deux, la probabilité qu'un élève n'utilise ni vélo ni transport en commun est :

    • [A.] $0{,}2$
    • [B.] $0{,}5$
    • [C.] $0{,}8$
    • [D.] $1$
▶ Solution — Exercice 6

  1. Réponse A. Somme $= 30$, effectif $6$, moyenne $= \dfrac{30}{6} = 5$.

    • B ($5{,}5$) : erreur de calcul, somme $33$ au lieu de $30$.
    • C ($4{,}5$) : confusion avec la médiane calculée incorrectement.
    • D ($6$) : moyenne calculée avec $5$ valeurs au lieu de $6$.

  2. Réponse C. Série triée $(3\,;\, 3\,;\, 4\,;\, 5\,;\, 7\,;\, 8)$. $N = 6$ pair, médiane $= \dfrac{4 + 5}{2} = 4{,}5$.

    • A ($3$) : première valeur après le tri, pas la médiane.
    • B ($4$) : valeur de rang $3$ seule (on a oublié de faire la demi-somme).
    • D ($5$) : valeur de rang $4$ seule.

  3. Réponse B. Un jeu de $32$ cartes contient $8$ cœurs. $P(\heartsuit) = \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4}$.

    • A ($\frac{1}{2}$) : confusion avec « rouge » ($16$ cartes sur $32$).
    • C ($\frac{1}{8}$) : confusion avec une hauteur particulière (les $4$ as sur $32$ cartes).
    • D ($\frac{1}{32}$) : confusion avec une carte précise (un seul cas favorable).

  4. Réponse B. Pair $= \{2\,;\, 4\,;\, 6\}$, supérieur à $3$ $= \{4\,;\, 5\,;\, 6\}$, union $= \{2\,;\, 4\,;\, 5\,;\, 6\}$. $P = \dfrac{4}{6}$.

    • A : probabilité de « pair » seul, sans l'union.
    • C ($\frac{6}{6}$) : inclusion à tort de $1$ et $3$.
    • D ($\frac{7}{6}$) : erreur classique $P(A) + P(B) = \frac{3}{6} + \frac{4}{6} = \frac{7}{6} > 1$, qui signale que l'on a doublement compté $A \cap B = \{4\,;\, 6\}$.

  5. Réponse C. La somme $7$ est la plus probable : $6$ issues favorables sur $36$, soit $\frac{1}{6}$. Les autres : $P(2) = \frac{1}{36}$, $P(6) = \frac{5}{36}$, $P(12) = \frac{1}{36}$.

    • A : somme $2$, très peu probable (une seule issue).
    • B : somme $6$, presque aussi probable que $7$ mais strictement inférieure.
    • D : somme $12$, même probabilité que $2$.

  6. Réponse A. Les événements sont incompatibles : $P(\text{vélo ou TC}) = 0{,}3 + 0{,}5 = 0{,}8$. L'événement contraire est « ni vélo ni TC » : $P = 1 - 0{,}8 = 0{,}2$.

    • B ($0{,}5$) : probabilité de TC, sans passer par le contraire.
    • C ($0{,}8$) : probabilité d'utiliser l'un des deux, pas le contraire.
    • D ($1$) : aucune déduction conforme.
Exercice 7 — Vrai ou faux ?

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse et justifier :

  1. La moyenne d'une série est toujours l'une des valeurs de la série.
  2. La médiane d'une série de $10$ valeurs est toujours la cinquième valeur après tri.
  3. L'étendue mesure la dispersion autour de la moyenne.
  4. Une probabilité peut valoir $1{,}2$ si l'événement est très probable.
  5. Si $P(A) = 0{,}4$, alors $P(\bar{A}) = 0{,}6$.
  6. Avec deux pièces équilibrées, l'événement « obtenir au moins un Pile » a pour probabilité $\dfrac{1}{2}$.
  7. Dans une urne avec $5$ boules rouges et $5$ boules bleues, la probabilité de tirer une rouge est $\dfrac{1}{2}$, donc sur $10$ tirages on obtient toujours exactement $5$ rouges.
  8. $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ est vrai pour tous événements $A$ et $B$.
▶ Solution — Exercice 7
  1. Faux. Contre-exemple : la moyenne de $(3\,;\, 4)$ vaut $3{,}5$, qui n'appartient pas à la série. La moyenne est une « valeur d'équilibre  », pas nécessairement une valeur observée.
  2. Faux. Quand $N$ est pair ($N = 10$), la médiane est la demi-somme des valeurs de rangs $5$ et $6$. Elle peut être différente de la $5^\text{e}$ valeur.
  3. Faux. L'étendue mesure la dispersion totale ($\max - \min$), indépendamment de la moyenne. C'est l'écart-type (hors programme collège) qui mesure la dispersion autour de la moyenne.
  4. Faux. Une probabilité est toujours comprise entre $0$ et $1$. Un résultat supérieur à $1$ signale une erreur de calcul (souvent un double comptage de $A \cap B$).
  5. Vrai. C'est la formule du contraire : $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6$.
  6. Faux. Les $4$ issues équiprobables sont PP, PF, FP, FF ; « au moins un Pile » correspond à PP, PF, FP, soit $3$ issues : $P = \dfrac{3}{4}$. Une erreur fréquente consiste à oublier PP (on croit que « au moins un Pile » signifie « exactement un Pile »).
  7. Faux. Confusion entre probabilité théorique et fréquence observée. Sur $10$ tirages, on peut obtenir n'importe quel nombre de rouges entre $0$ et $10$. La probabilité $\dfrac{1}{2}$ indique que la fréquence observée se rapproche de $0{,}5$ à long terme (loi des grands nombres), pas sur $10$ tirages.
  8. Faux en général, vrai si $A$ et $B$ sont incompatibles. La formule générale est $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. Sans l'hypothèse d'incompatibilité, le terme $P(A \cap B)$ doit être retranché pour ne pas compter deux fois les issues communes.

Tu bloques sur un exercice ? Consulte la fiche Que faire quand je bloque ?
Tu veux retenir durablement ces méthodes ? Consulte la fiche Mémorisation et sciences cognitives.
Tu fais souvent les mêmes erreurs ? Remplis ton Carnet d'erreurs.

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