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Prérequis pour entrer en seconde

Cette fiche teste les acquis de troisième indispensables pour aborder la seconde sereinement. Essaie chaque exercice sans ton cours, note tes réponses au brouillon, puis consulte les solutions en fin de fiche. Si tu bloques, c'est le signe qu'il faut reprendre le point correspondant avant d'aller plus loin.

Réussi sans hésitation : passe au suivant. Réussi avec hésitation : fais deux exercices supplémentaires pour consolider. Échoué : retravaille la leçon correspondante avant de poursuivre.

1. Calcul avec les fractions

  1. Calculer $A = \dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{5}$.
  2. Calculer $B = \dfrac{7}{3} \times \dfrac{9}{14}$.
  3. Écrire $\dfrac{48}{72}$ sous forme irréductible.
  4. Calculer $C = \dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{4} \times \dfrac{3}{10}$.

2. Puissances

  1. Calculer $2^3 \times 2^5$.
  2. Simplifier $\dfrac{10^7}{10^4}$.
  3. Écrire sous la forme $a^n$ : $\dfrac{3^4 \times 3^2}{3^3}$.
  4. Écrire en notation scientifique : $0{,}000\,045$.

3. Racines carrées

  1. Simplifier $\sqrt{50}$.
  2. Calculer $\sqrt{3} \times \sqrt{12}$.
  3. Écrire $3\sqrt{2} + 5\sqrt{2}$ sous la forme $a\sqrt{2}$.

4. Calcul littéral

  1. Développer et réduire $(3x - 2)(x + 5)$.
  2. Factoriser $6x^2 - 9x$.
  3. Développer et réduire $(2x + 1)^2 - (2x + 1)(x - 3)$.

5. Équations du premier degré

  1. Résoudre $5x - 3 = 2x + 9$.
  2. Résoudre $\dfrac{x}{3} + 1 = \dfrac{x}{2} - 2$.
  3. Léo a trois fois l'âge de sa fille. Dans dix ans, il aura le double de l'âge de sa fille. Quel est l'âge de la fille de Léo ?

6. Théorème de Pythagore

  1. Dans un triangle rectangle en $A$ avec $AB = 3$ cm et $AC = 4$ cm, calculer $BC$.
  2. Un triangle $DEF$ vérifie $DE = 6$ cm, $DF = 8$ cm et $EF = 10$ cm. Est-il rectangle ? Justifier.

7. Théorème de Thalès

  1. Les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles, avec $A$, $B$, $D$ alignés et $A$, $C$, $E$ alignés. On donne $AB = 4$ cm, $AD = 6$ cm, $AC = 5$ cm et $BC = 3$ cm. Calculer $AE$ et $DE$.
  2. Dans un triangle $RST$, on place $M$ sur $[RS]$ et $N$ sur $[RT]$ tels que $RM = 3$ cm, $RS = 9$ cm, $RN = 2$ cm et $RT = 6$ cm. Les droites $(MN)$ et $(ST)$ sont-elles parallèles ? Justifier.

8. Trigonométrie dans le triangle rectangle

  1. Dans un triangle rectangle en $A$, on donne $\widehat{B} = 35°$ et $AB = 8$ cm. Calculer $AC$ (arrondir au dixième).
  2. Dans un triangle rectangle en $C$ avec $AC = 5$ cm et $BC = 12$ cm, calculer la mesure de l'angle $\widehat{A}$ (arrondir au degré).

Solutions

1. Calcul avec les fractions

  1. $A = \dfrac{15}{20} - \dfrac{8}{20} = \dfrac{7}{20}$.
  2. On simplifie avant de multiplier : $B = \dfrac{7 \times 9}{3 \times 14} = \dfrac{3}{2}$.
  3. $\text{PGCD}(48\,;\, 72) = 24$, donc $\dfrac{48}{72} = \dfrac{2}{3}$.
  4. On effectue d'abord la multiplication : $\dfrac{5}{4} \times \dfrac{3}{10} = \dfrac{3}{8}$. Puis $C = \dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{8} = \dfrac{16}{24} + \dfrac{9}{24} = \dfrac{25}{24}$.
Si tu échoues : reprends les opérations sur les fractions (mise au même dénominateur, simplification, priorité de la multiplication).

2. Puissances

  1. $2^3 \times 2^5 = 2^{3+5} = 2^8 = 256$.
  2. $\dfrac{10^7}{10^4} = 10^{7-4} = 10^3 = 1\,000$.
  3. $\dfrac{3^4 \times 3^2}{3^3} = \dfrac{3^6}{3^3} = 3^{6-3} = 3^3 = 27$.
  4. $0{,}000\,045 = 4{,}5 \times 10^{-5}$.
Si tu échoues : reprends les règles $a^m \times a^n = a^{m+n}$ et $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, ainsi que la notation scientifique ($a \times 10^n$ avec $1 \leqslant a < 10$).

3. Racines carrées

  1. $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$.
  2. $\sqrt{3} \times \sqrt{12} = \sqrt{36} = 6$.
  3. $3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$.
Si tu échoues : reprends les propriétés $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ et la simplification sous la racine (chercher un carré parfait comme facteur).

4. Calcul littéral

  1. $(3x - 2)(x + 5) = 3x^2 + 15x - 2x - 10 = 3x^2 + 13x - 10$.
  2. $6x^2 - 9x = 3x(2x - 3)$.
  3. $(2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$ et $(2x + 1)(x - 3) = 2x^2 - 5x - 3$. Donc $(2x + 1)^2 - (2x + 1)(x - 3) = 4x^2 + 4x + 1 - 2x^2 + 5x + 3 = 2x^2 + 9x + 4$.
Si tu échoues : reprends la double distributivité et la factorisation par un facteur commun. Attention au signe moins devant une parenthèse : il change le signe de tous les termes.

5. Équations du premier degré

  1. $5x - 3 = 2x + 9 \iff 3x = 12 \iff x = 4$.
  2. On multiplie par $6$ : $2x + 6 = 3x - 12 \iff -x = -18 \iff x = 18$.
  3. Soit $x$ l'âge de la fille. Léo a $3x$ ans. Dans dix ans : $3x + 10 = 2(x + 10) \iff x = 10$. La fille de Léo a dix ans (et Léo a trente ans). Vérification : dans dix ans, $40$ est bien le double de $20$.
Si tu échoues : reprends la résolution d'équations du premier degré. Pour l'exercice 3, entraîne-toi à la mise en équation.

6. Théorème de Pythagore

  1. Le triangle est rectangle en $A$, donc d'après le théorème de Pythagore : $BC^2 = AB^2 + AC^2 = 9 + 16 = 25$. Comme $BC > 0$, $BC = 5$ cm.
  2. On compare : $EF^2 = 100$ et $DE^2 + DF^2 = 36 + 64 = 100$. Comme $EF^2 = DE^2 + DF^2$, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $DEF$ est rectangle en $D$.
Si tu échoues : reprends le théorème de Pythagore et sa réciproque. L'hypoténuse est toujours le plus grand côté, opposé à l'angle droit.

7. Théorème de Thalès

  1. D'après le théorème de Thalès : $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE} = \dfrac{BC}{DE}$. Donc $\dfrac{4}{6} = \dfrac{5}{AE}$, soit $AE = 7{,}5$ cm. Et $\dfrac{4}{6} = \dfrac{3}{DE}$, soit $DE = 4{,}5$ cm.
  2. $\dfrac{RM}{RS} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$ et $\dfrac{RN}{RT} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$. Comme les rapports sont égaux, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(MN)$ et $(ST)$ sont parallèles.
Si tu échoues : reprends le théorème de Thalès et sa réciproque. Vérifie toujours que les rapports sont écrits dans le bon ordre.

8. Trigonométrie dans le triangle rectangle

  1. Le triangle est rectangle en $A$. Le côté $AC$ est opposé à l'angle $\widehat{B}$ et $AB$ est adjacent à $\widehat{B}$. On utilise la tangente : $\tan(\widehat{B}) = \dfrac{AC}{AB}$, donc $AC = 8 \times \tan(35°) \approx 5{,}6$ cm.
  2. Le triangle est rectangle en $C$. Le côté $BC$ est opposé à $\widehat{A}$ et $AC$ est adjacent à $\widehat{A}$. $\tan(\widehat{A}) = \dfrac{12}{5} = 2{,}4$, donc $\widehat{A} = \arctan(2{,}4) \approx 67°$.
Si tu échoues : reprends les trois rapports trigonométriques : $\cos = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$, $\sin = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$, $\tan = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$ (SOH-CAH-TOA).