Cercle trigonométrique et radians · Fonctions cosinus et sinus, dérivées, équations trigonométriques
Au collège, le cosinus et le sinus sont des rapports de longueurs dans un triangle rectangle : ils n'existent que pour un angle aigu. En terminale, on les étend à tout réel grâce au cercle trigonométrique : on enroule la droite des réels autour d'un cercle de rayon $1$, et le cosinus et le sinus d'un réel $x$ sont les coordonnées du point ainsi atteint. Cette construction fait naître deux fonctions définies sur $\mathbb{R}$, périodiques, bornées, dérivables, qui modélisent tout ce qui oscille : marées, températures, courant alternatif, vibrations. Le chapitre demande trois habiletés : lire le cercle (mesures en radians, valeurs remarquables, symétries), manipuler les fonctions cosinus et sinus comme les autres fonctions (dérivées, variations), et résoudre des équations en n'oubliant aucune solution.
cercle de centre $O$ et de rayon $1$, parcouru dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre), avec le point de départ $I(1 \,;\, 0)$.
Radian :
mesure d'un angle qui intercepte, sur ce cercle, un arc de longueur égale au rayon. Un tour complet mesure $2\pi$ radians : $\pi$ rad correspond à $180$°, et la conversion est proportionnelle ($x$° $= \dfrac{\pi x}{180}$ rad).
Enroulement :
à tout réel $x$ on associe le point $M$ du cercle obtenu en parcourant la longueur $|x|$ depuis $I$ (sens direct si $x > 0$). On pose alors $\cos x = $ abscisse de $M$ et $\sin x = $ ordonnée de $M$.
Périodicité :
$x$ et $x + 2k\pi$ ($k$ entier) donnent le même point : $\cos(x + 2\pi) = \cos x$ et $\sin(x + 2\pi) = \sin x$. Parmi toutes ces valeurs, celle qui appartient à $\mathopen{]}-\pi \,;\, \pi]$ est la mesure principale.
Exercice 1 — Radians et mesure principale (Tle)
Convertir en radians : $30$°, $45$°, $60$°, $90$°, $120$°, $135$°, $150$°, $180$°. Convertir en degrés : $\dfrac{\pi}{12}$, $\dfrac{5\pi}{4}$, $\dfrac{7\pi}{6}$, $2$ rad (arrondir au dixième).
Déterminer la mesure principale de $\dfrac{13\pi}{6}$, $-\dfrac{7\pi}{4}$, $\dfrac{17\pi}{3}$ et $\dfrac{25\pi}{4}$.
Dans quel quart du cercle se trouvent les points associés à $\dfrac{\pi}{3}$, $-\dfrac{\pi}{6}$, $\dfrac{5\pi}{6}$ et $-\dfrac{3\pi}{4}$ ? Donner dans chaque cas le signe du cosinus et du sinus.
$\dfrac{13\pi}{6} - 2\pi = \dfrac{\pi}{6}$ ; $-\dfrac{7\pi}{4} + 2\pi = \dfrac{\pi}{4}$ ; $\dfrac{17\pi}{3} - 6\pi = -\dfrac{\pi}{3}$ ; $\dfrac{25\pi}{4} - 6\pi = \dfrac{\pi}{4}$. Dans chaque cas on retire ou ajoute un multiple de $2\pi$ pour tomber dans $\mathopen{]}-\pi \,;\, \pi]$.
$\dfrac{\pi}{3}$ : premier quart (en haut à droite), cosinus et sinus positifs. $-\dfrac{\pi}{6}$ : quatrième quart (en bas à droite), cosinus positif, sinus négatif. $\dfrac{5\pi}{6}$ : deuxième quart (en haut à gauche), cosinus négatif, sinus positif. $-\dfrac{3\pi}{4}$ : troisième quart (en bas à gauche), cosinus et sinus négatifs.
Valeurs remarquables et symétries (Tle)
$x$
$0$
$\dfrac{\pi}{6}$
$\dfrac{\pi}{4}$
$\dfrac{\pi}{3}$
$\dfrac{\pi}{2}$
$\cos x$
$1$
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\dfrac{1}{2}$
$0$
$\sin x$
$0$
$\dfrac{1}{2}$
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$1$
Relation fondamentale :
pour tout réel $x$, $\cos^{2} x + \sin^{2} x = 1$ (théorème de Pythagore dans le cercle de rayon $1$), et $-1 \leqslant \cos x \leqslant 1$, $-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$.
Angles opposés :
$\cos(-x) = \cos x$ et $\sin(-x) = -\sin x$ (symétrie par rapport à l'axe des abscisses).
Angles supplémentaires :
$\cos(\pi - x) = -\cos x$ et $\sin(\pi - x) = \sin x$ (symétrie par rapport à l'axe des ordonnées).
Demi-tour :
$\cos(\pi + x) = -\cos x$ et $\sin(\pi + x) = -\sin x$ (symétrie par rapport à $O$).
Méthode : calculer le cosinus ou le sinus d'un réel quelconque
Ramener le réel dans $\mathopen{]}-\pi \,;\, \pi]$ en retirant des multiples de $2\pi$.
L'écrire sous la forme $\pi - a$, $\pi + a$ ou $-a$ avec $a$ une valeur remarquable du premier quart.
Appliquer la symétrie correspondante en surveillant les signes, et vérifier avec le quart du cercle.
$\dfrac{2\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{3}$, donc $\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\cos\dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$ et $\sin\dfrac{2\pi}{3} = \sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Vérification : le point est dans le deuxième quart, cosinus négatif et sinus positif. ✓
Exercice 2 — Valeurs remarquables, étape par étape (Tle)
Compléter : $\dfrac{5\pi}{6} = \pi - …$, donc $\cos\dfrac{5\pi}{6} = -\cos… = …$ et $\sin\dfrac{5\pi}{6} = \sin… = …$
Calculer $\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)$, $\cos\dfrac{7\pi}{6}$, $\sin\dfrac{4\pi}{3}$, $\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)$ et $\cos\dfrac{13\pi}{6}$.
On sait que $\cos x = \dfrac{1}{3}$ et que $x \in \left]-\dfrac{\pi}{2} \,;\, 0\right[$. Calculer $\sin x$.
On sait que $\sin x = \dfrac{3}{5}$ et que $x \in \left]\dfrac{\pi}{2} \,;\, \pi\right[$. Calculer $\cos x$.
▶ Solution — Exercice 2
$\dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6}$, donc $\cos\dfrac{5\pi}{6} = -\cos\dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\dfrac{5\pi}{6} = \sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$.
$\sin^{2} x = 1 - \dfrac{1}{9} = \dfrac{8}{9}$, donc $\sin x = \pm\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$. Comme $x \in \left]-\dfrac{\pi}{2} \,;\, 0\right[$, le sinus est négatif : $\sin x = -\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$.
$\cos^{2} x = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$, donc $\cos x = \pm\dfrac{4}{5}$. Dans $\left]\dfrac{\pi}{2} \,;\, \pi\right[$ le cosinus est négatif : $\cos x = -\dfrac{4}{5}$.
Les fonctions cosinus et sinus (Tle)
Définition :
$\cos : x \mapsto \cos x$ et $\sin : x \mapsto \sin x$ sont définies sur $\mathbb{R}$, à valeurs dans $[-1 \,;\, 1]$, et périodiques de période $2\pi$.
Parité :
$\cos$ est paire (courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées), $\sin$ est impaire (courbe symétrique par rapport à l'origine).
Dérivées :
$\cos' = -\sin$ et $\sin' = \cos$. Plus généralement $\left(\cos(ax + b)\right)' = -a\sin(ax + b)$ et $\left(\sin(ax + b)\right)' = a\cos(ax + b)$.
Variations sur $[0 \,;\, \pi]$ :
$\cos$ est décroissante de $1$ à $-1$ ; $\sin$ est croissante sur $\left[0 \,;\, \dfrac{\pi}{2}\right]$ (de $0$ à $1$) puis décroissante sur $\left[\dfrac{\pi}{2} \,;\, \pi\right]$ (de $1$ à $0$).
Méthode : étudier une fonction trigonométrique
Repérer la période et la parité pour réduire l'intervalle d'étude (souvent $[0 \,;\, \pi]$).
Dériver avec $\cos' = -\sin$ et $\sin' = \cos$, puis factoriser $f'$ (au besoin, remplacer $\sin^{2} x$ par $1 - \cos^{2} x$).
Étudier le signe de chaque facteur sur l'intervalle d'étude à l'aide du cercle, dresser le tableau, puis étendre par symétrie et périodicité.
Exercice 3 — Dériver des fonctions trigonométriques (Tle)
Calculer la dérivée de chaque fonction.
a) $f(x) = 3\cos x - 2\sin x$
b) $g(x) = \sin(2x)$
c) $h(x) = \cos\left(3x + \dfrac{\pi}{4}\right)$
d) $k(x) = x\sin x$
e) $m(x) = \cos^{2} x$
f) $p(x) = \dfrac{\sin x}{x}$ sur $\mathopen{]}0 \,;\, +\infty\mathclose{[}$
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $\sin$ au point d'abscisse $0$, puis celle de la tangente à la courbe de $\cos$ au point d'abscisse $\dfrac{\pi}{2}$.
▶ Solution — Exercice 3
$f'(x) = -3\sin x - 2\cos x$.
$g'(x) = 2\cos(2x)$.
$h'(x) = -3\sin\left(3x + \dfrac{\pi}{4}\right)$.
Produit : $k'(x) = \sin x + x\cos x$.
$m = u^{2}$ avec $u = \cos$ : $m'(x) = 2\cos x \times (-\sin x) = -2\sin x\cos x$.
Quotient : $p'(x) = \dfrac{x\cos x - \sin x}{x^{2}}$.
$\cos x = \cos a \iff x = a + 2k\pi$ ou $x = -a + 2k\pi$.
Sinus :
$\sin x = \sin a \iff x = a + 2k\pi$ ou $x = \pi - a + 2k\pi$.
Lecture :
deux points du cercle ont le même cosinus s'ils sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses ; le même sinus s'ils sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées. Il y a donc en général deux familles de solutions.
Méthode : résoudre une équation trigonométrique
Isoler $\cos x$ ou $\sin x$ et reconnaître une valeur remarquable : écrire $\cos x = \cos a$ ou $\sin x = \sin a$.
Écrire les deux familles de solutions dans $\mathbb{R}$ (avec $k \in \mathbb{Z}$).
Si un intervalle est imposé, donner à $k$ les valeurs qui y ramènent, en s'aidant du cercle.
$\cos x = \dfrac{1}{2} = \cos\dfrac{\pi}{3}$, donc $x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ ou $x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$. Dans $\mathopen{]}-\pi \,;\, \pi]$ : $x = -\dfrac{\pi}{3}$ ou $x = \dfrac{\pi}{3}$. Dans $[0 \,;\, 2\pi\mathclose{[}$ : $x = \dfrac{\pi}{3}$ ou $x = \dfrac{5\pi}{3}$.
Exercice 4 — Résoudre des équations trigonométriques (Tle)
Résoudre dans $\mathbb{R}$ puis dans $\mathopen{]}-\pi \,;\, \pi]$ : $\sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Résoudre dans $\mathopen{]}-\pi \,;\, \pi]$ : $2\cos x + \sqrt{3} = 0$.
Résoudre dans $[0 \,;\, \pi]$ : $\sin(2x) = \dfrac{1}{2}$.
Résoudre dans $\mathopen{]}-\pi \,;\, \pi]$ l'inéquation $\cos x \geqslant \dfrac{1}{2}$, à l'aide du cercle.
▶ Solution — Exercice 4
$-\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)$, donc $x = -\dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$ ou $x = \pi + \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi = \dfrac{5\pi}{4} + 2k\pi$. Dans $\mathopen{]}-\pi \,;\, \pi]$ : $x = -\dfrac{\pi}{4}$ ou $x = \dfrac{5\pi}{4} - 2\pi = -\dfrac{3\pi}{4}$. Les deux points sont dans la moitié inférieure du cercle, symétriques par rapport à l'axe des ordonnées. ✓
$\cos x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \cos\dfrac{5\pi}{6}$, donc $x = \dfrac{5\pi}{6}$ ou $x = -\dfrac{5\pi}{6}$ dans $\mathopen{]}-\pi \,;\, \pi]$.
$\sin(2x) = \sin\dfrac{\pi}{6}$ donne $2x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$ ou $2x = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi$, soit $x = \dfrac{\pi}{12} + k\pi$ ou $x = \dfrac{5\pi}{12} + k\pi$. Dans $[0 \,;\, \pi]$, seul $k = 0$ convient : $x = \dfrac{\pi}{12}$ ou $x = \dfrac{5\pi}{12}$ (pour $k = 1$, $\dfrac{13\pi}{12} > \pi$).
Sur le cercle, les points d'abscisse supérieure ou égale à $\dfrac{1}{2}$ forment l'arc allant de $-\dfrac{\pi}{3}$ à $\dfrac{\pi}{3}$ en passant par $I$ : l'ensemble des solutions est $\left[-\dfrac{\pi}{3} \,;\, \dfrac{\pi}{3}\right]$.
Exercice 5 — Étude complète d'une fonction trigonométrique (Tle)
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \sin x\,(1 + \cos x)$.
Montrer que $f$ est impaire et périodique de période $2\pi$. En déduire qu'il suffit d'étudier $f$ sur $[0 \,;\, \pi]$.
Montrer que $f'(x) = 2\cos^{2} x + \cos x - 1$, puis que $f'(x) = (2\cos x - 1)(\cos x + 1)$.
Étudier le signe de $f'$ sur $[0 \,;\, \pi]$ et dresser le tableau de variations de $f$ sur cet intervalle.
En déduire le maximum de $f$ sur $\mathbb{R}$ et les réels où il est atteint.
▶ Solution — Exercice 5
$f(-x) = \sin(-x)\,(1 + \cos(-x)) = -\sin x\,(1 + \cos x) = -f(x)$ : $f$ est impaire. $f(x + 2\pi) = f(x)$ car $\cos$ et $\sin$ sont $2\pi$-périodiques. La courbe sur $[-\pi \,;\, 0]$ se déduit de celle sur $[0 \,;\, \pi]$ par symétrie centrale, puis on translate de $2\pi$ : l'étude sur $[0 \,;\, \pi]$ suffit.
Produit : $f'(x) = \cos x\,(1 + \cos x) + \sin x\,(-\sin x) = \cos x + \cos^{2} x - \sin^{2} x$. Avec $\sin^{2} x = 1 - \cos^{2} x$ : $f'(x) = 2\cos^{2} x + \cos x - 1$. En posant $X = \cos x$, $2X^{2} + X - 1$ a pour racines $\dfrac{1}{2}$ et $-1$, donc $2X^{2} + X - 1 = 2\left(X - \dfrac{1}{2}\right)(X + 1) = (2X - 1)(X + 1)$.
Sur $[0 \,;\, \pi]$, $\cos x + 1 \geqslant 0$ (nul seulement en $\pi$). Le signe de $f'$ est celui de $2\cos x - 1$ : positif si $\cos x > \dfrac{1}{2}$, c'est-à-dire sur $\left[0 \,;\, \dfrac{\pi}{3}\right[$, négatif sur $\left]\dfrac{\pi}{3} \,;\, \pi\right]$. Valeurs : $f(0) = 0$, $f\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(1 + \dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{3\sqrt{3}}{4} \approx 1{,}30$, $f(\pi) = 0$.
Sur $[0 \,;\, \pi]$ le maximum est $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$ en $\dfrac{\pi}{3}$. Sur $[-\pi \,;\, 0]$, par imparité, $f \leqslant 0$. Par périodicité, le maximum de $f$ sur $\mathbb{R}$ est $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$, atteint en $x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.
Exercice 6 — Problème en contexte : hauteur d'eau dans un port (Tle)
Dans un port, la hauteur d'eau (en mètres) $t$ heures après minuit est modélisée sur $[0 \,;\, 24]$ par $h(t) = 4 + 1{,}5\cos\left(\dfrac{\pi t}{6}\right)$.
Calculer $h(0)$, $h(3)$ et $h(6)$. Quelle est la période de $h$ ? Interpréter.
Déterminer les hauteurs maximale et minimale et les instants où elles sont atteintes sur $[0 \,;\, 24]$.
Un bateau ne peut entrer que si la hauteur d'eau est au moins $4{,}75$ m. Résoudre $h(t) \geqslant 4{,}75$ sur $[0 \,;\, 24]$ et donner les créneaux d'entrée.
Calculer $h'(t)$ et déterminer à quels instants la hauteur diminue le plus vite. Quelle est alors cette vitesse ?
▶ Solution — Exercice 6
$h(0) = 4 + 1{,}5 = 5{,}5$ ; $h(3) = 4 + 1{,}5\cos\dfrac{\pi}{2} = 4$ ; $h(6) = 4 + 1{,}5\cos\pi = 2{,}5$. La période est $T$ telle que $\dfrac{\pi T}{6} = 2\pi$, soit $T = 12$ h : deux marées hautes par jour.
Le cosinus est compris entre $-1$ et $1$ : $h$ varie entre $2{,}5$ m et $5{,}5$ m. Maximum $5{,}5$ m quand $\cos\dfrac{\pi t}{6} = 1$, soit $\dfrac{\pi t}{6} = 2k\pi$, $t = 12k$ : à $0$ h, $12$ h et $24$ h. Minimum $2{,}5$ m quand $\dfrac{\pi t}{6} = \pi + 2k\pi$, $t = 6 + 12k$ : à $6$ h et $18$ h.
$h(t) \geqslant 4{,}75 \iff \cos\dfrac{\pi t}{6} \geqslant \dfrac{1}{2} \iff -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \leqslant \dfrac{\pi t}{6} \leqslant \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \iff -2 + 12k \leqslant t \leqslant 2 + 12k$. Sur $[0 \,;\, 24]$ : $t \in [0 \,;\, 2] \cup [10 \,;\, 14] \cup [22 \,;\, 24]$. Le bateau peut entrer de minuit à 2 h, de 10 h à 14 h et de 22 h à minuit.
$h'(t) = -1{,}5 \times \dfrac{\pi}{6}\sin\dfrac{\pi t}{6} = -\dfrac{\pi}{4}\sin\dfrac{\pi t}{6}$. La hauteur diminue le plus vite quand $\sin\dfrac{\pi t}{6} = 1$, soit $\dfrac{\pi t}{6} = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$, $t = 3 + 12k$ : à $3$ h et $15$ h, la vitesse vaut $-\dfrac{\pi}{4} \approx -0{,}79$ m/h, soit une baisse d'environ $79$ cm par heure.
Exercice 7 — Problème en contexte : température d'une journée (Tle)
La température extérieure (en degrés Celsius) $t$ heures après minuit est modélisée sur $[0 \,;\, 24]$ par $T(t) = 15 - 6\cos\left(\dfrac{\pi t}{12}\right)$.
À quelle heure la température est-elle minimale ? maximale ? Donner ces températures.
Pendant quelle plage horaire la température est-elle supérieure ou égale à $18$ °C ?
Calculer $T'(t)$. À quelle heure la température augmente-t-elle le plus vite, et de combien de degrés par heure ?
Un capteur relève $12$ °C. À quelles heures cela peut-il se produire ? (Valeur exacte, puis arrondie au quart d'heure.)
▶ Solution — Exercice 7
$T$ est minimale quand $\cos\dfrac{\pi t}{12} = 1$, soit $t = 0$ (et $t = 24$) : $T = 9$ °C à minuit. Maximale quand $\cos\dfrac{\pi t}{12} = -1$, soit $\dfrac{\pi t}{12} = \pi$, $t = 12$ : $T = 21$ °C à midi.
$T(t) \geqslant 18 \iff -6\cos\dfrac{\pi t}{12} \geqslant 3 \iff \cos\dfrac{\pi t}{12} \leqslant -\dfrac{1}{2} \iff \dfrac{2\pi}{3} \leqslant \dfrac{\pi t}{12} \leqslant \dfrac{4\pi}{3}$ (sur un tour, avec $\dfrac{\pi t}{12} \in [0 \,;\, 2\pi]$), soit $8 \leqslant t \leqslant 16$ : de 8 h à 16 h.
$T'(t) = 6 \times \dfrac{\pi}{12}\sin\dfrac{\pi t}{12} = \dfrac{\pi}{2}\sin\dfrac{\pi t}{12}$. Maximum quand $\sin\dfrac{\pi t}{12} = 1$, soit $t = 6$ : à 6 h, la température augmente de $\dfrac{\pi}{2} \approx 1{,}57$ °C par heure.
$T(t) = 12 \iff \cos\dfrac{\pi t}{12} = \dfrac{1}{2} \iff \dfrac{\pi t}{12} = \dfrac{\pi}{3}$ ou $\dfrac{\pi t}{12} = 2\pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{5\pi}{3}$ (dans $[0 \,;\, 2\pi]$), soit $t = 4$ ou $t = 20$ : à 4 h et à 20 h exactement.
Erreurs classiques à éviter
Erreur
Exemple faux
Correction
Oublier la seconde famille de solutions
« $\cos x = \dfrac{1}{2}$ donc $x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ »
aussi $x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ : deux points du cercle ont le même cosinus
Oublier le $+ 2k\pi$
« $\sin x = 1$ donc $x = \dfrac{\pi}{2}$ »
$x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$, sauf si un intervalle est imposé
Confondre les symétries
« $\sin(\pi - x) = -\sin x$ »
$\sin(\pi - x) = \sin x$ (symétrie d'axe vertical) ; c'est $\sin(\pi + x)$ qui vaut $-\sin x$
Oublier le coefficient en dérivant
« $(\sin(2x))' = \cos(2x)$ »
$(\sin(2x))' = 2\cos(2x)$ : dérivée de la fonction intérieure
Calculatrice en degrés
« $\cos 1 \approx 0{,}9998$ »
en radians, $\cos 1 \approx 0{,}54$ : vérifier le mode avant tout calcul
Exercice 8 — QCM (Tle)
Pour chaque question, une seule réponse est correcte.
Un angle de $150$° mesure, en radians :
A. $\dfrac{5\pi}{3}$
B. $\dfrac{3\pi}{4}$
C. $\dfrac{5\pi}{6}$
D. $\dfrac{2\pi}{3}$
Pour tout réel $x$, $\cos(\pi - x)$ est égal à :
A. $-\cos x$
B. $\cos x$
C. $\sin x$
D. $-\sin x$
La dérivée de $x \mapsto \sin(3x)$ est :
A. $x \mapsto \cos(3x)$
B. $x \mapsto -3\cos(3x)$
C. $x \mapsto 3\sin(3x)$
D. $x \mapsto 3\cos(3x)$
Dans $\mathopen{]}-\pi \,;\, \pi]$, l'équation $\sin x = \dfrac{1}{2}$ a pour solutions :
A. $\dfrac{\pi}{6}$ seulement
B. $\dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{5\pi}{6}$
C. $\dfrac{\pi}{6}$ et $-\dfrac{\pi}{6}$
D. $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{2\pi}{3}$
▶ Solution — Exercice 8
Réponse C. $150 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{5\pi}{6}$.
A : $\dfrac{5\pi}{3}$ correspond à $300$°.
B : $\dfrac{3\pi}{4}$ correspond à $135$°.
D : $\dfrac{2\pi}{3}$ correspond à $120$°.
Réponse A. Les points associés à $x$ et $\pi - x$ sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées : même sinus, cosinus opposés.
B : c'est $\cos(-x)$ qui vaut $\cos x$.
C : c'est $\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)$ qui vaut $\sin x$.
D : c'est $\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + x\right)$ qui vaut $-\sin x$.
Réponse D. $(\sin(ax))' = a\cos(ax)$ avec $a = 3$.
A : le coefficient $3$ de la fonction intérieure a été oublié.
B : le signe moins apparaît en dérivant un cosinus, pas un sinus.
C : la dérivée de $\sin$ est $\cos$, pas $\sin$.
Réponse B. $\sin x = \sin\dfrac{\pi}{6}$ donne $x = \dfrac{\pi}{6}$ ou $x = \pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}$.
A : la seconde famille de solutions manque.
C : $\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2}$ ; ce serait la réponse pour une équation en cosinus.
D : $\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, pas $\dfrac{1}{2}$.
Exercice 9 — Vrai ou faux ?
Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse et justifier :
Pour tout réel $x$, $\cos(x + 2\pi) = \cos x$.
La fonction sinus est paire.
Pour tout réel $x$, $\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$.
L'équation $\cos x = 0$ a pour unique solution $x = \dfrac{\pi}{2}$.
La dérivée de la fonction sinus est $-\cos$.
Pour tout réel $x$, $-1 \leqslant \cos x \leqslant 1$.
La fonction cosinus est décroissante sur $[0 \,;\, \pi]$.
$\sin x = \sin a$ équivaut à $x = a + 2k\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$.
▶ Solution — Exercice 9
Vrai. $x$ et $x + 2\pi$ correspondent au même point du cercle : la fonction cosinus est $2\pi$-périodique.
Faux. $\sin(-x) = -\sin x$ : la fonction sinus est impaire. C'est le cosinus qui est pair.
Vrai. Angles complémentaires : le cosinus de l'un est le sinus de l'autre.
Faux. $\cos x = 0$ pour $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$ (par exemple $-\dfrac{\pi}{2}$ et $\dfrac{3\pi}{2}$ conviennent).
Faux. $\sin' = \cos$ ; c'est $\cos' = -\sin$ qui comporte un signe moins.
Vrai. $\cos x$ est l'abscisse d'un point du cercle de rayon $1$.
Vrai. Quand $x$ parcourt $[0 \,;\, \pi]$, le point $M$ va de $I$ au point $(-1 \,;\, 0)$ par le haut du cercle et son abscisse décroît de $1$ à $-1$. On peut aussi noter que $\cos' = -\sin \leqslant 0$ sur $[0 \,;\, \pi]$.
Faux. Il manque la seconde famille $x = \pi - a + 2k\pi$. Par exemple $\sin\dfrac{5\pi}{6} = \sin\dfrac{\pi}{6}$ alors que $\dfrac{5\pi}{6} \neq \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$.