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Maîtriser la trigonométrie dans le triangle rectangle

Pourquoi cette fiche ?

La trigonométrie dans le triangle rectangle est souvent abordée comme une affaire de formules à apprendre par c(oe)ur (\textsc{soh-cah-toa}) sans que le sens conceptuel des trois rapports soit construit. Or, ce sens repose sur une idée géométrique précise : dans tous les triangles rectangles ayant un même angle aigu, les rapports entre les côtés sont les mêmes, indépendamment de la taille du triangle. Cette invariance par similitude est le c(oe)ur de la trigonométrie. Une fois acquise, elle rend les formules naturelles plutôt qu'arbitraires.

Cette fiche aborde la trigonométrie en partant de cette invariance. Elle progresse ensuite vers le choix raisonné du rapport (selon les données et l'inconnue), le calcul d'une longueur ou d'un angle, et l'usage de la relation fondamentale $\sin^2 + \cos^2 = 1$ comme outil de vérification. Une attention particulière est portée au contrôle de vraisemblance : $\sin(\alpha)$ et $\cos(\alpha)$ d'un angle aigu sont toujours dans $[0\,;\,1]$.

L'invariance par similitude

Pourquoi les rapports sont indépendants de la taille

Considérons deux triangles rectangles ayant un même angle aigu $\alpha$. Ils sont nécessairement semblables : l'un est l'agrandissement (ou la réduction) de l'autre. Si l'on multiplie toutes les longueurs par un même coefficient $k$, alors le rapport de deux longueurs reste inchangé : $$ \dfrac{k \times \text{opposé}}{k \times \text{hypoténuse}} = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}. $$ Autrement dit, le rapport ne dépend que de l'angle, pas de la taille du triangle. C'est précisément ce qu'expriment les notations $\sin(\alpha)$, $\cos(\alpha)$ et $\tan(\alpha)$ : ce sont des nombres qui ne dépendent que de l'angle aigu $\alpha$.

C'est la grande puissance de la trigonométrie : trois nombres associés à un angle suffisent à décrire toutes les proportions des triangles rectangles ayant cet angle.

Exercice 1 — Vérifier l'invariance

On considère trois triangles rectangles, chacun ayant un angle aigu de $30^{\circ}$. Leurs dimensions sont les suivantes.

  • Triangle 1 : hypoténuse $4$ cm, côté opposé $2$ cm.
  • Triangle 2 : hypoténuse $10$ cm, côté opposé $5$ cm.
  • Triangle 3 : hypoténuse $7$ cm, côté opposé $3{,}5$ cm.
  1. Calculer le rapport $\dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$ pour chaque triangle.
  2. Que constate-t-on ?
  3. Comment se nomme ce rapport, en lien avec l'angle de $30^{\circ}$ ?
▶ Solution — Exercice 1
  1. Triangle 1 : $\dfrac{2}{4} = 0{,}5$. Triangle 2 : $\dfrac{5}{10} = 0{,}5$. Triangle 3 : $\dfrac{3{,}5}{7} = 0{,}5$.
  2. Les trois rapports sont égaux : l'invariance par similitude est vérifiée.
  3. Ce rapport est $\sin(30^{\circ}) = 0{,}5$. C'est une valeur exacte qu'il vaut la peine de retenir.

Définir sinus, cosinus, tangente

Trois rapports, un schéma

Soit un triangle rectangle, et $\alpha$ l'un de ses angles aigus. Par rapport à $\alpha$, on distingue trois côtés.

  • L'hypoténuse, opposée à l'angle droit (toujours le plus long).
  • Le côté opposé à $\alpha$ (celui qui ne touche pas $\alpha$).
  • Le côté adjacent à $\alpha$ (celui qui forme l'angle droit avec l'opposé, et qui touche $\alpha$).

On définit alors trois rapports. $$ \sin(\alpha) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}} \quad ; \quad \cos(\alpha) = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} \quad ; \quad \tan(\alpha) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}. $$

Moyen mnémotechnique : \textsc{soh-cah-toa}. \textsc{Soh} pour $\sin = $ Opposé sur Hypoténuse, \textsc{Cah} pour $\cos = $ Adjacent sur Hypoténuse, \textsc{Toa} pour $\tan = $ Opposé sur Adjacent. Ce moyen mnémotechnique ne suffit pas : il doit toujours s'accompagner d'un schéma où l'angle de référence est clairement repéré.

Exercice 2 — Identifier opposé et adjacent

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $B$, on étudie l'angle $\widehat{BAC}$ (que l'on notera $\alpha$).

  1. Quel côté est l'hypoténuse ?
  2. Quel côté est opposé à $\alpha$ ?
  3. Quel côté est adjacent à $\alpha$ ?
  4. Et si l'on étudiait à présent l'angle $\widehat{BCA}$, comment changeraient les réponses ?
▶ Solution — Exercice 2
  1. L'hypoténuse est $[AC]$, côté opposé à l'angle droit $\widehat{ABC}$.
  2. Côté opposé à $\alpha = \widehat{BAC}$ : $[BC]$ (il ne touche pas $A$).
  3. Côté adjacent à $\alpha$ : $[AB]$ (il touche $A$ et forme l'angle droit avec $[BC]$).
  4. Pour l'angle $\widehat{BCA}$, l'hypoténuse reste $[AC]$. L'opposé devient $[AB]$, et l'adjacent devient $[BC]$. L'opposé et l'adjacent s'inversent quand on change l'angle de référence.

Choisir le bon rapport

Le rapport dépend des données et de l'inconnue

Pour choisir entre $\sin$, $\cos$ et $\tan$, on procède en deux temps.

  1. On identifie les trois côtés par rapport à l'angle de référence (hypoténuse, opposé, adjacent).
  2. On regarde quel côté est connu et quel côté est cherché. Le rapport à utiliser est celui qui fait intervenir uniquement ces deux côtés (et pas le troisième).

Exemples.

  • Si l'on connaît l'hypoténuse et l'opposé (ou l'inverse), on utilise $\sin$.
  • Si l'on connaît l'hypoténuse et l'adjacent (ou l'inverse), on utilise $\cos$.
  • Si l'on connaît l'opposé et l'adjacent (sans l'hypoténuse), on utilise $\tan$.
Exercice 3 — Sans calculer, choisir le rapport

Pour chaque situation, indiquer si l'on doit utiliser $\sin$, $\cos$ ou $\tan$. On ne demande pas le calcul, seulement le choix.

  1. Triangle rectangle d'angle aigu $\alpha$ : on connaît l'hypoténuse et le côté opposé à $\alpha$, on cherche $\alpha$.
  2. Triangle rectangle d'angle aigu $\alpha$ : on connaît l'angle $\alpha$ et l'hypoténuse, on cherche le côté adjacent à $\alpha$.
  3. Triangle rectangle d'angle aigu $\alpha$ : on connaît l'opposé et l'adjacent, on cherche $\alpha$.
  4. Triangle rectangle d'angle aigu $\alpha$ : on connaît l'angle $\alpha$ et le côté adjacent, on cherche le côté opposé.
▶ Solution — Exercice 3
  1. $\sin$ (les deux côtés en jeu sont l'opposé et l'hypoténuse).
  2. $\cos$ (adjacent et hypoténuse).
  3. $\tan$ (opposé et adjacent, sans l'hypoténuse).
  4. $\tan$ (opposé et adjacent).

Calculer une longueur ou un angle

Deux types de calculs, deux usages de la calculatrice

Calculer une longueur connaissant l'angle. On écrit l'égalité du rapport, on substitue les valeurs connues, on isole l'inconnue, on calcule à la calculatrice (mode degrés obligatoire).

Calculer un angle connaissant deux longueurs. On utilise les fonctions inverses $\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, $\tan^{-1}$ (touches arcsin, arccos, arctan sur la calculatrice). À partir du rapport calculé, ces fonctions donnent l'angle.

Erreur fréquente : le mode degrés/radians. Si la calculatrice est en mode radians, les résultats sont aberrants. Réflexe : vérifier que $\sin(30^{\circ}) = 0{,}5$ avant tout calcul. Si l'on obtient une autre valeur, le mode est mauvais.

Exercice 4 — Calculer une longueur

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $B$, on a $\widehat{BAC} = 35^{\circ}$ et $AC = 10$ cm.

  1. Calculer $AB$ (côté adjacent à $\widehat{BAC}$), à $0{,}1$ cm près.
  2. Calculer $BC$ (côté opposé à $\widehat{BAC}$), à $0{,}1$ cm près.
  3. Vérifier la cohérence par le théorème de Pythagore.
▶ Solution — Exercice 4
  1. $\cos(35^{\circ}) = \dfrac{AB}{AC}$, donc $AB = AC \times \cos(35^{\circ}) = 10 \times \cos(35^{\circ}) \approx 8{,}2$ cm.
  2. $\sin(35^{\circ}) = \dfrac{BC}{AC}$, donc $BC = AC \times \sin(35^{\circ}) = 10 \times \sin(35^{\circ}) \approx 5{,}7$ cm.
  3. Vérification : $AB^2 + BC^2 \approx 8{,}2^2 + 5{,}7^2 = 67{,}24 + 32{,}49 = 99{,}73 \approx 100 = AC^2$. ✓
Exercice 5 — Calculer un angle

Dans un triangle $RST$ rectangle en $S$, on a $RS = 4$ cm et $ST = 7$ cm.

  1. Calculer la longueur de l'hypoténuse $RT$.
  2. Calculer l'angle $\widehat{SRT}$ à $1^{\circ}$ près. Préciser le rapport utilisé.
  3. En déduire l'angle $\widehat{STR}$, sans nouveau calcul trigonométrique.
▶ Solution — Exercice 5
  1. Par Pythagore : $RT^2 = RS^2 + ST^2 = 16 + 49 = 65$, donc $RT = \sqrt{65} \approx 8{,}06$ cm.
  2. Par rapport à $\widehat{SRT}$, le côté opposé est $[ST]$ et le côté adjacent est $[RS]$. On utilise $\tan$ : $\tan(\widehat{SRT}) = \dfrac{ST}{RS} = \dfrac{7}{4} = 1{,}75$. Donc $\widehat{SRT} = \tan^{-1}(1{,}75) \approx 60^{\circ}$.
  3. Comme la somme des angles d'un triangle vaut $180^{\circ}$ et que $\widehat{RST} = 90^{\circ}$, on a $\widehat{STR} = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$.

Contrôler la vraisemblance

$\sin$ et $\cos$ entre 0 et 1

Pour un angle aigu, le sinus et le cosinus sont toujours strictement compris entre $0$ et $1$ : c'est l'opposé ou l'adjacent divisé par l'hypoténuse, qui est nécessairement plus longue que les autres côtés.

Si l'on obtient $\sin(\alpha) = 1{,}3$ ou $\cos(\alpha) = 2$, c'est que le calcul est faux : on a confondu un rapport avec son inverse, ou on s'est trompé d'angle de référence.

Repères à retenir. $$ \sin(30^{\circ}) = \dfrac{1}{2} \quad ; \quad \cos(60^{\circ}) = \dfrac{1}{2} \quad ; \quad \sin(45^{\circ}) = \cos(45^{\circ}) \quad ; \quad \tan(45^{\circ}) = 1. $$

Relation fondamentale. Pour tout angle $\alpha$, on a $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$. C'est une conséquence directe du théorème de Pythagore appliqué à un triangle rectangle d'hypoténuse $1$. Cette relation est un excellent outil de contrôle.

Exercice 6 — Détecter les valeurs aberrantes

Pour chaque résultat, dire s'il est vraisemblable pour un angle aigu. Sinon, indiquer ce qui est manifestement faux.

  • $\sin(\alpha) = 0{,}8$
  • $\cos(\alpha) = 1{,}2$
  • $\tan(\alpha) = 0{,}5$
  • $\cos(\alpha) = -0{,}3$
  • $\sin(\alpha) = \dfrac{3}{4}$
  • $\sin(\alpha) = 1{,}5$
▶ Solution — Exercice 6
  1. Vraisemblable.
  2. Aberrant : $\cos$ d'un angle aigu est dans $[0\,;\,1]$.
  3. Vraisemblable ($\tan$ peut prendre n'importe quelle valeur positive pour un angle aigu).
  4. Aberrant : $\cos$ d'un angle aigu est positif.
  5. Vraisemblable.
  6. Aberrant : $\sin$ d'un angle aigu est dans $[0\,;\,1]$.
Exercice 7 — Utiliser la relation fondamentale
  1. On sait que $\sin(\alpha) = 0{,}6$ pour un angle aigu $\alpha$. Sans calculatrice, calculer $\cos(\alpha)$.
  2. Vérifier ce résultat à la calculatrice en calculant $\alpha$ puis $\cos(\alpha)$.
  3. On sait que $\cos(\beta) = \dfrac{12}{13}$ pour un angle aigu $\beta$. Calculer $\sin(\beta)$ et $\tan(\beta)$ en valeurs exactes.
▶ Solution — Exercice 7
  1. D'après la relation fondamentale, $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$, donc $\cos^2(\alpha) = 1 - 0{,}36 = 0{,}64$. L'angle étant aigu, $\cos(\alpha) > 0$, donc $\cos(\alpha) = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8$.
  2. $\alpha = \sin^{-1}(0{,}6) \approx 36{,}87^{\circ}$, et $\cos(36{,}87^{\circ}) \approx 0{,}8$. ✓
  3. $\sin^2(\beta) = 1 - \dfrac{144}{169} = \dfrac{25}{169}$, donc $\sin(\beta) = \dfrac{5}{13}$. Puis $\tan(\beta) = \dfrac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)} = \dfrac{5/13}{12/13} = \dfrac{5}{12}$.

Pour s'auto-évaluer

Cinq questions à se poser

Avant et pendant un calcul trigonométrique, prendre l'habitude de se poser ces cinq questions.

  • Mon triangle est-il bien rectangle, et ai-je correctement repéré l'angle droit ?
  • Par rapport à l'angle de référence, ai-je bien identifié hypoténuse, opposé et adjacent ?
  • Quel est le rapport adapté aux deux longueurs (ou à l'angle et la longueur) en jeu ?
  • Ma calculatrice est-elle en mode degrés ? Le résultat est-il vraisemblable ($\sin$ et $\cos$ dans $[0\,;\,1]$, $\tan$ positif pour un angle aigu) ?
  • Puis-je vérifier mon résultat par la relation fondamentale ou par le théorème de Pythagore ?
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