Repérer un point dans le plan, c'est lui associer un couple de nombres $(x\,;\,y)$ qui décrivent sa position par rapport à deux axes orientés. Cette opération paraît élémentaire, mais elle accumule plusieurs difficultés : l'ordre des coordonnées (abscisse d'abord, ordonnée ensuite) doit être intériorisé ; les coordonnées négatives prolongent les difficultés des nombres relatifs et compliquent le placement dans les trois quadrants autres que le supérieur droit ; et lorsque le pas de graduation n'est pas $1$, l'élève qui compte les graduations sans lire les valeurs commet des erreurs prévisibles.
Cette fiche aborde le repérage en deux temps. D'abord, le repérage à une dimension sur une droite graduée, où l'on consolide la lecture et le placement en présence de coordonnées négatives ou de graduations non unitaires. Ensuite, le repérage à deux dimensions dans un repère du plan, en travaillant les quatre quadrants, l'ordre des coordonnées et la lecture sur des graduations variées.
Avant de repérer dans le plan, on s'assure de savoir repérer sur une droite. Sur une droite graduée orientée vers la droite, chaque point a pour abscisse un nombre relatif. Plus on va à droite, plus l'abscisse est grande ; plus on va à gauche, plus elle est petite (et négative dès qu'on dépasse l'origine $0$).
À l'aide de la droite graduée ci-dessus, donner l'abscisse de chacun des points $A$, $B$ et $C$.
$A$ a pour abscisse $-3$ ; $B$ a pour abscisse $2$ ; $C$ a pour abscisse $-0{,}5$.
Sur les droites graduées ci-dessous, lire les abscisses des points repérés.
Première droite : l'écart entre $0$ et $20$ est divisé en $10$ parts égales, chacune valant $2$. $P$ est à $3$ pas après $0$, donc $P = 6$. $Q$ est à $7$ pas après $0$, donc $Q = 14$.
Deuxième droite : l'écart entre $-5$ et $5$ est divisé en $10$ parts égales, chacune valant $1$. $R$ est à $4$ pas après $-5$, donc $R = -1$. $S$ est à $8$ pas après $-5$, donc $S = 3$.
Erreur classique : compter les graduations comme s'il s'agissait d'unités, sans tenir compte de la valeur du pas. La méthode sûre est de calculer d'abord la valeur d'un pas, puis de l'utiliser pour situer chaque point.
Un repère du plan est constitué de deux axes perpendiculaires se coupant en un point $O$ appelé origine.
Tout point $M$ du plan est repéré par un couple de coordonnées $(x\,;\,y)$, l'abscisse d'abord, l'ordonnée ensuite. L'ordre n'est jamais inversé. Pour le retenir : on lit comme on écrit, de gauche à droite (horizontal d'abord), puis de bas en haut (vertical ensuite).
Astuce : on peut associer le mot « abscisse » à « axe horizontal » (les deux commencent par la lettre A et l'on parle d'axe abscisse).
À partir de la figure ci-dessus, donner les coordonnées des quatre points $A$, $B$, $C$, $D$, et indiquer dans quel quadrant chacun se trouve.
Léa doit placer le point $E(-4\,;\,1)$ dans un repère. Elle place le point à l'intersection de l'axe horizontal au repère $1$ et de l'axe vertical au repère $-4$. A-t-elle raison ? Sinon, expliquer son erreur et placer le point correctement.
Non. Léa a inversé l'ordre des coordonnées. Dans le couple $(-4\,;\,1)$, $-4$ est l'abscisse (à lire sur l'axe horizontal) et $1$ est l'ordonnée (à lire sur l'axe vertical). Le point correct est donc à l'intersection de l'axe horizontal au repère $-4$ et de l'axe vertical au repère $1$ : il se situe dans le quadrant II. La règle est de lire toujours l'abscisse en premier, l'ordonnée en second.
Les élèves placent souvent les points avec aisance dans le quadrant supérieur droit (toutes coordonnées positives). Les trois autres quadrants impliquent au moins une coordonnée négative, ce qui combine la difficulté du repérage avec celle des nombres relatifs.
Une procédure sûre : pour placer $(x\,;\,y)$, partir de l'origine $O$, se déplacer horizontalement de $|x|$ unités (vers la droite si $x > 0$, vers la gauche si $x < 0$), puis verticalement de $|y|$ unités (vers le haut si $y > 0$, vers le bas si $y < 0$).
Pour chaque point, indiquer dans quel quadrant il se situe (ou s'il est sur un axe).
Dans un repère, placer les points $P(2\,;\,3)$, $Q(-3\,;\,3)$, $R(-3\,;\,-2)$, $S(2\,;\,-2)$.
Lorsque le pas de graduation n'est pas $1$, l'élève qui compte mécaniquement les graduations commet des erreurs. La règle est de déterminer d'abord la valeur d'un pas, puis de l'utiliser pour lire ou placer chaque point.
Pour calculer la valeur d'un pas, on prend deux graduations dont la valeur est connue, on calcule l'écart entre ces valeurs et on le divise par le nombre de pas séparant les deux graduations.
Sur le repère ci-dessous, l'axe des abscisses est gradué tous les $0{,}5$ et l'axe des ordonnées tous les $2$. Lire les coordonnées des points $A$, $B$, $C$.
Sur l'axe des abscisses, deux graduations consécutives sont distantes de $0{,}5$. Sur l'axe des ordonnées, deux graduations consécutives sont distantes de $2$.
Sur un repère du plan, plusieurs calculs reviennent souvent.
Milieu d'un segment $[AB]$ avec $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$. $$ M\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A + y_B}{2}\right). $$
Distance $AB$ (par Pythagore appliqué au triangle rectangle de côtés $|x_B - x_A|$ et $|y_B - y_A|$). $$ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}. $$
Symétriques. Le symétrique de $M(x\,;\,y)$ par rapport à l'axe des abscisses est $(x\,;\,-y)$. Par rapport à l'axe des ordonnées, c'est $(-x\,;\,y)$. Par rapport à l'origine, c'est $(-x\,;\,-y)$.
On place dans un repère les points $A(-1\,;\,2)$, $B(3\,;\,-1)$ et $C(5\,;\,4)$.
Avant et pendant un exercice de repérage, prendre l'habitude de se poser ces cinq questions.