Une copie bien rédigée est une copie qu'un lecteur peut suivre sans deviner ce que l'auteur a voulu faire. Concrètement, cela signifie que chaque ligne de calcul découle visiblement de la précédente, que la propriété ou le théorème utilisé est cité avant d'être appliqué, qu'aucune étape intermédiaire n'est escamotée et que la réponse à la question posée apparaît clairement dans une phrase de conclusion. Le brouillon sert à chercher ; la copie sert à convaincre.
Énoncé : résoudre l'équation $3x - 7 = 2x + 5$.
$$3x - 7 = 2x + 5$$ $$3x - 2x = 5 + 7$$ $$x = 12$$
Aucune justification des opérations effectuées, pas de conclusion.
$$3x - 7 = 2x + 5$$ $$3x - 2x - 7 = 2x - 2x + 5$$ $$x - 7 = 5$$ $$x - 7 + 7 = 5 + 7$$ $$x = 12$$ L'équation $3x - 7 = 2x + 5$ admet une unique solution : $12$.
Vérification : on remplace $x$ par $12$ dans chaque membre.
Les deux membres sont égaux : la solution est correcte.
Énoncé : soit $ABC$ un triangle tel que $AB = 6$, $AC = 8$ et $BC = 10$. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle.
$$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \quad \text{et} \quad 10^2 = 100$$ C'est égal donc c'est rectangle.
La réciproque du théorème de Pythagore n'est pas citée, on ne sait pas quel côté est le plus long, la conclusion est vague (« c'est rectangle » ne précise pas l'angle droit).
Le côté le plus long est $[BC]$ avec $BC = 10$.
On calcule séparément : $$BC^2 = 10^2 = 100$$ $$AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$$ On constate que $BC^2 = AB^2 + AC^2$.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
Énoncé : résoudre l'inéquation $-2x + 3 > 7$.
$$-2x + 3 > 7$$ $$-2x > 4$$ $$x > -2$$
Aucune justification, et surtout le sens de l'inégalité n'est pas inversé lors de la division par un nombre négatif. L'erreur de signe est passée inaperçue faute de rédaction.
$$-2x + 3 > 7$$ $$-2x + 3 - 3 > 7 - 3$$ $$-2x > 4$$ On divise les deux membres par $-2$. Comme $-2 < 0$, on inverse le sens de l'inégalité : $$\dfrac{-2x}{-2} < \dfrac{4}{-2}$$ $$x < -2$$ L'ensemble des solutions de l'inéquation $-2x + 3 > 7$ est $\left]-\infty\,;\,-2\right[$.
Vérification : on teste $x = -3$, qui appartient bien à $\left]-\infty\,;\,-2\right[$ : $$-2 \times (-3) + 3 = 6 + 3 = 9 > 7 \quad ✓$$
Énoncé : dans un repère, on donne $A(1\,;\,3)$, $B(3\,;\,7)$ et $C(5\,;\,11)$. Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
$$\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} \text{et} \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \end{pmatrix}$$ On voit que $\overrightarrow{AC} = 2\,\overrightarrow{AB}$ donc alignés.
Le calcul des coordonnées n'est pas détaillé, la colinéarité est affirmée « à vue » sans utiliser le déterminant, la conclusion ne forme pas une phrase complète.
Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées : $$\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 3 - 1 \\ 7 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$$ Le vecteur $\overrightarrow{AC}$ a pour coordonnées : $$\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 5 - 1 \\ 11 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \end{pmatrix}$$ On calcule le déterminant de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ : $$\det\left(\overrightarrow{AB}\,;\,\overrightarrow{AC}\right) = 2 \times 8 - 4 \times 4 = 16 - 16 = 0$$ Le déterminant est nul, donc les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires. Les points $A$, $B$ et $C$ sont donc alignés.
Énoncé : soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 3x + 1$. Étudier les variations de $f$.
$$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$$ Le tableau de signe montre que $f$ est croissante puis décroissante puis croissante.
Le tableau n'est pas tracé, les intervalles de croissance et de décroissance ne sont pas précisés, les valeurs de $f$ aux points remarquables sont absentes.
La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme fonction polynôme. On calcule sa dérivée : $$f'(x) = 3x^2 - 3$$ On factorise : $f'(x) = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$.
On résout $f'(x) = 0$. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul : $$x - 1 = 0 \quad \text{ou} \quad x + 1 = 0$$ $$x = 1 \quad \text{ou} \quad x = -1$$ On calcule les valeurs de $f$ aux extremums locaux : $$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3$$ $$f(1) = 1^3 - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1$$ On dresse le tableau de variations de $f$ :
La fonction $f$ est strictement croissante sur $\left]-\infty\,;\,-1\right]$, strictement décroissante sur $[-1\,;\,1]$ et strictement croissante sur $\left[1\,;\,+\infty\right[$. Elle admet un maximum local égal à $3$ en $x = -1$ et un minimum local égal à $-1$ en $x = 1$.
Énoncé : dans un repère orthonormé, on donne $A(1\,;\,2)$, $B(4\,;\,0)$ et $C(3\,;\,5)$. Montrer que les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires.
$$\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} \text{et} \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$$ $$3 \times 2 + (-2) \times 3 = 0 \quad \text{Perpendiculaires.}$$
Le calcul des coordonnées n'est pas détaillé, le produit scalaire n'est pas nommé, la propriété utilisée n'est pas citée, et la conclusion ne forme pas une phrase.
Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées : $$\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 4 - 1 \\ 0 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$$ Le vecteur $\overrightarrow{AC}$ a pour coordonnées : $$\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 3 - 1 \\ 5 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$$ On calcule le produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ dans le repère orthonormé : $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 3 \times 2 + (-2) \times 3 = 6 - 6 = 0$$ Comme $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont orthogonaux. Les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont donc perpendiculaires.
Énoncé : calculer $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2x^2 - 3x + 1}{x^2 + 5}$.
$$\dfrac{2x^2}{x^2} = 2 \quad \text{donc la limite est } 2.$$
Le raisonnement est juste intuitivement, mais il n'y a aucune factorisation, aucune justification des règles utilisées, et l'écriture $\dfrac{2x^2}{x^2} = 2$ ne constitue pas un argument mathématique rigoureux.
Pour tout $x \neq 0$, on factorise le numérateur et le dénominateur par $x^2$ : $$\dfrac{2x^2 - 3x + 1}{x^2 + 5} = \dfrac{x^2\left(2 - \dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(1 + \dfrac{5}{x^2}\right)} = \dfrac{2 - \dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{x^2}}{1 + \dfrac{5}{x^2}}$$ Par les théorèmes d'opérations sur les limites : $$\lim\limits_{x \to +\infty} \left(2 - \dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{x^2}\right) = 2 \qquad \text{et} \qquad \lim\limits_{x \to +\infty} \left(1 + \dfrac{5}{x^2}\right) = 1$$ Par quotient de limites : $$\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2x^2 - 3x + 1}{x^2 + 5} = \dfrac{2}{1} = 2$$
Énoncé : dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation $2x - y + 3z = 7$ et la droite $\mathcal{D}$ de représentation paramétrique : $$\begin{cases} x = 1 + t y = -1 + 2t z = 3 - t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$$ Déterminer l'intersection de $\mathcal{D}$ et $\mathcal{P}$.
$$2(1+t) - (-1+2t) + 3(3-t) = 7$$ $$2 + 2t + 1 - 2t + 9 - 3t = 7$$ $$-3t + 12 = 7$$ $$t = 5/3$$
Aucune explication de la méthode, aucune phrase de conclusion. Le lecteur ne sait pas ce que représente $t = \frac{5}{3}$, ni quelles sont les coordonnées du point d'intersection.
Un point $M$ de la droite $\mathcal{D}$ a pour coordonnées $(1 + t\,;\,-1 + 2t\,;\,3 - t)$ pour un certain réel $t$.
Ce point $M$ appartient au plan $\mathcal{P}$ si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation du plan : $$2(1 + t) - (-1 + 2t) + 3(3 - t) = 7$$ On développe : $$2 + 2t + 1 - 2t + 9 - 3t = 7$$ $$12 - 3t = 7$$ $$-3t = -5$$ $$t = \dfrac{5}{3}$$ L'équation admet une unique solution, donc $\mathcal{D}$ et $\mathcal{P}$ sont sécants.
On remplace $t$ par $\dfrac{5}{3}$ dans la représentation paramétrique de $\mathcal{D}$ : $$x = 1 + \dfrac{5}{3} = \dfrac{8}{3} \qquad y = -1 + \dfrac{10}{3} = \dfrac{7}{3} \qquad z = 3 - \dfrac{5}{3} = \dfrac{4}{3}$$ Le point d'intersection de $\mathcal{D}$ et $\mathcal{P}$ est le point $M\left(\dfrac{8}{3}\,;\,\dfrac{7}{3}\,;\,\dfrac{4}{3}\right)$.